y 00 + y = 1 cos x . i) Determinare l’integrale generale.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 19/1/2011 Esercizio 1 Si consideri l’equazione

y ⁰⁰ + y = 1 cos x . i) Determinare l’integrale generale.

ii) Risolvere il problema di Cauchy con dati (y(π), y ⁰ (π)) = (0, 0) e calco- lare la soluzione in x = 5π/4.

iii) Scrivere l’integrale generale, in ] − π/2, π/2[, dell’equazione

y ⁰⁰⁰ + y ⁰ − 2y = sin x

cos ² x − 2 cos x log(cos x) − 2x sin x.

(N.B. Avendo gi`a risolto il punto i), non dovrebbe essere difficile trovare un integrale particolare per il punto iii)...)

Soluzione. i) ` E un’equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti, non omogenea. Notiamo che l’equazione ha senso per x 6= π/2 + kπ. L’equazione omogenea associata ha polinomio caratteristico λ ² + 1 = 0, da cui si ha il sistema fondamentale di soluzioni {cos x, sin x}. La matrice wronskiana e la sua inversa sono

W (x) =

µ cos x sin x

− sin x cos x

¶

, W ⁻¹ (x) =

µ cos x − sin x sin x cos x

¶ ,

da cui, mediante semplici integrazioni, si ottiene, da nota formula, il seguente integrale particolare

y(x) = cos x log(| cos x|) + x sin x.

L’integrale generale `e quindi, al variare di c ₁ , c ₂ ∈ R, k ∈ Z, c ₁ cos x + c ₂ sin x + cos x log(cos x) + x sin x x ∈ ¤ _π

2 + (2k − 1)π, ^π ₂ + 2kπ £ , c ₁ cos x + c ₂ sin x + cos x log(− cos x) + x sin x x ∈ ¤ _π

2 + 2kπ, ^π ₂ + (2k + 1)π £ . ii) Imponendo le condizioni iniziali all’integrale generale del punto i), si trova c ₁ = 0, c ₂ = −π e quindi la soluzione `e

˜

y(x) = −π sin x + cos x + log(− cos x) + x sin x, x ∈

¸ π 2 , 3π

2

· .

1

Da cui

˜ y

µ 5π 4

¶

= −

√ 2π

8 −

√ 2 2 log

Ã√ 2 2

! .

iii) Si vede che l’integrale particolare trovato per l’equazione al punto i)

`e anche integrale particolare per questa nuova equazione. Infatti, detto y quell’integrale particolare, si ha

y ⁰⁰⁰ + y ⁰ − 2y = (y ⁰⁰ + y) ⁰ − 2y =

µ 1 cos x

¶ ₀

− 2 cos x log(cos x) − 2x sin x = sin x

cos ² x − 2 cos x log(cos x) − 2x sin x.

Dallo studio dell’omogeneo associata si ha che, nell’intervallo richiesto, l’integrale generale `e, al variare di c ₁ , c ₂ , c ₃ ∈ R,

c ₁ e ^x + c ₂ e ⁻

cos Ã√ 7

2 x

!

+ c ₃ e ⁻

sin Ã√ 7

2 x

!

+ cos x log(cos x) + x sin x.

Eseercizio 2 Data l’equazione

y ⁰ (t) = sin ² (y(t)) + t ² (y(t) − π) ² log(2 + t ² ) ,

discutere l’esistenza e l’unicit`a locale delle soluzioni, l’esistenza di eventuali soluzioni costanti, la prolungabilit`a a t = ±∞, l’eventuale comportamento per t → ±∞ e disegnare un grafico qualitativo delle soluzioni.

Soluzione. La dinamica `e

f (t, x) = sin ² x + t ² (x − π) ² log(2 + t ² ) ,

che `e C <sup>1</sup> su tutto R <sup>2</sup> . Quindi c’`e esistenza ed unicit`a locale per ogni dato iniziale (t <sub>0</sub> , x <sub>0</sub> ) ∈ R <sup>2</sup> . L’unica soluzione stazionaria `e y ≡ π, definita, ovvi- amente, per tutti i tempi. Il segno di f `e sempre positivo quindi, a parte la soluzione stazionaria, tutte le soluzioni sono strettamente crescenti. Non potendosi intersecare, le soluzioni sopra π sono limitate “a sinistra” e quindi

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sono definite per tutti i tempi t → −∞. Analogamente quelle sotto π sono definite per tutti i tempi t → +∞. Limitiamoci a studiare le soluzioni mag- giori di π (lo studio delle altre `e analogo). Per la monotonia, deve esistere finito il limite lim t→−∞ y(t) = ` ≥ π. Se per`o fosse ` > π, allora si avrebbe lim _t→−∞ y ⁰ (t) = +∞ che `e assurdo. Quindi lim _t→−∞ y(t) = π.

Ora, supponiamo che le soluzioni siano definite anche per tutti i tempi t → +∞. Allora deve essere π < lim t→+∞ y(t) = ` ≤ +∞. Se fosse ` < +∞

si avrebbe, con i soliti ragionamenti, un assurdo. Quindi dovrebbe essere

` = +∞. Ma allora, da un certo tempo in poi, si avrebbe,

y ⁰ (t) = sin ² (y(t)) + t ² (y(t) − π) ²

log(2 + t ² ) ≥ t ² log(2 + t ² )

µ y(t) 2

¶ ₂

≥ y ² (t) 4 . Per il confronto, poich`e la soluzione di y <sup>0</sup> = y <sup>2</sup> /4 diverge prima che il tempo vada a +∞, anche la nostra soluzione dovrebbe divergere in tempo finito, mentre noi avevamo supposto che esistesse per tutti i tempi t → +∞. Quindi non `e vero che la soluzione esiste per tutti i tempi t → +∞, e quindi essa sicuramente diverge a +∞ in tempo finito (mano a mano che passa il tempo, il termine quadratico diventa dominante e la soluzione esplode).

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