) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 12/2011 1

Gli esercizi che seguono servono per consolidare le abilità di base relative alla geometria analitica.

I gruppo di esercizi (Ripasso problemi di base)

Problema n. 1

1) Determinare l’equazione della parabola, avente asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per i punti A ( − 2; 4 ) ^, B ( 1;5 ) , B ( 6; 0 ) .

2) Determinare l’equazione della tangente alla parabola nel punto A . 3) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A , B , C . 4) Determinare il quarto punto di intersezione D fra la circonferenza e la parabola.

Nota: nella risposta all’ultima domanda si ottiene un’equazione di quarto grado di cui si conoscono già tre soluzioni (ascisse dei punti di passaggio) → il polinomio può essere agevolmente fattorizzato con la regola di Ruffini.

Equazione della parabola: ^{1 2 1}

6 6

5

y = − x + x +

Equazione della tangente:

y =

⁵₆

x +

¹⁷₃

Equazione della circonferenza:

x

²

+ y

²

− 2 x − 24 = 0

Coordinate punto

D

:

D ( − 3;3 ) Problema n. 2

1) Determinare l’equazione delle parabole, con asse parallelo all’asse delle ordinate, passanti per il punto A ( − 1; 0 ) e aventi fuoco nel punto F ( 1; −

¹⁵4

) ^.

Equazione della parabola:

y = x

²

− 2 x − 3

Equazione della parabola: ^{1 2 1 3}

16 8 16

y = − x + x +

Problema n. 3

1) Determinare l’equazione della circonferenza tangente nel punto A ( 2; 3 − ) alla retta

: 5 0

t x − − = y e avente centro sulla retta r : x + 2 y − = 1 0 ^.

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P ( 8;1 )

Equazione della circonferenza:

x

²

+ y

²

+ 6 x − 4 y − 37 = 0

Equazioni delle tangenti:

y = − + x 9

^;

y =

⁴⁹₇₁

x −

³²¹₇₁

Problema n. 4

1) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A ( − 4; 2 ) ^, B ( 2; 6 ) e avente centro sulla retta r : − + x 2 y + 15 = 0 ^.

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P ( − 20; 0 ) ^.

3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

Equazione della circonferenza:

x

²

+ y

²

+ 6 x − 4 y − 37 = 0

Equazioni delle tangenti:

7 x + 9 y + 140 = 0

^;

3 x − 11 y + 60 = 0

Punti di tangenza:

T

₁

( 2; 6 )

;

T

₂

( − − 2; 14 )

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

) Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti A( -4;2 ) , B( 2;6 ) e avente centro sulla retta r : -x + 2y + 15 = 0 .

2) Determinare le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P( -20;0 ) . 3) Determinare le coordinate dei punti di tangenza.

Liceo Scientifico “G. Castelnuovo” – Firenze Classe IV Sez. E-F

Prof. Franco Fusier – Rev. 12/2011 2

Problema n. 5

1) Determinare l’equazione dell’ellisse, con fuochi sull’asse delle ascisse, passante per il punto P ( 4;3 )

e avente eccentricità e =

₂³

^.

2) Determinare l’equazione dell’ellisse, con fuochi sull’asse delle ordinate, passante per il punto

( ^{2; 4} )

Q e avente eccentricità e =

₂³

^.

Equazione dell’ellisse:

2 2

52 13 1 y

x + =

Equazione dell’ellisse:

2 2

8 32 1 y

x + =

Problema n. 6

1) Determinare l’equazione dell’ellisse passante per i punti A ( 2; 4 ) e B ( 8; 2 ) . 2) Determinare le equazioni delle tangenti all’ellisse passanti per il punto ^P ( ^{3; 6} ) ^.

Equazione dell’ellisse:

x

²

+ 5 y

²

= 84

Equazioni delle tangenti:

4 x + 5 y − 42 = 0

^;

8 x − 25 y + 126 = 0

II gruppo di esercizi (Problemi di geometria analitica con discussione)

Problema n. 7

1) Determinare l’equazione dell’ellisse avente centro nell’origine e tangente nel punto P ( 3; 4 ) alla retta r : y = − 4 x + 16 . Verificare che l’ellisse presenta e =

^{2 13}₈

^.

2) Determinare per quali valori del parametro k le rette del fascio (proprio)

(

1

)

5 12 0

x + k − y + − k = incontrano l’arco di ellisse posto nel quarto quadrante.

Nota: l’equazione dell’ellisse può essere determinata rapidamente utilizzando la formula di sdoppiamento.

Equazione dell’ellisse:

2 2

12 64 1 x + y =

1 sol. per ^{13 2 3 5} 20

;

12

k ∈  

⁺

 

; 2 sol. per ^{2 3 5 3} 12

;

4

k ∈  

⁺

 

Problema n. 8

1) Determinare l’equazione della parabola, avente asse parallelo all’asse dello ordinate, passante per i punti ^A ( ^{0; 4} ) ^{, B} ( ^{6; 0} ) e tangente in B alla retta r : 8 x + 3 y − 48 = 0 .

2) Determinare per quali valori del parametro k le rette del fascio (proprio)

(

k + 1

)

x + 2 y −

(

18 + 6 k

)

= 0 incontrano l’arco di parabola posto nel primo quadrante.

Equazione della parabola:

y = −

¹₃

x

²

+

⁴₃

x + 4

1 sol. per ^{7 5}

3

;

7

k ∈ − −    

; 2 sol. per ^{5 7} 2

;

3

k ∈ − −    

Nota: i risultati non sono stati ricontrollati, si prega di segnalare eventuali errori.