1. Provare che uno spazio metrizzabile numerabile con almeno due punti ` e totalmente sconnesso (in particolare, Q con la topologia euclidea `e totalmente sconnesso).

Geometria 1 – Foglio di esercizi n. 7

14 Novembre 2013

1. Provare che uno spazio metrizzabile numerabile con almeno due punti ` e totalmente sconnesso (in particolare, Q con la topologia euclidea `e totalmente sconnesso).

2. Dotiamo R e R ² delle rispettive topologie euclidee. Dimostrare che per ogni t ∈ R il sottospazio di R ² definito da

X _t := (x, y) ∈ R ² | xy = t non ` e omeomorfo a R.

3. Sia X un insieme infinito con la topologia cofinita. Mostrare che un sottoinsieme Y 6= ∅ di X ` e connesso se e solo se Y ` e infinito oppure ` e costituito da un solo punto.

4. Sia X uno spazio topologico, sia Y un insieme e sia f : X → Y un’applicazione localmente costante (ossia tale che per ogni x ∈ X esiste un intorno U _x di x in X con f | _U

: U _x → Y costante). Dimostrare che se X `e connesso allora f `e costante.

5. Poniamo su R la topologia euclidea e sia (q ⁿ ) _n∈N una successione (senza ripetizioni) costituita da tutti e soli i numeri razionali. Si definisca poi

A _n := R r {q 0 , . . . , q _n } per ogni n ∈ N. Si dimostri che

(a) A _n+1 ⊂ A _n per ogni n ∈ N;

(b) A _n ha n + 2 componenti connesse per ogni n ∈ N;

(c) ∩ _n∈N A _n ha una infinit` a pi` u che numerabile di componenti connesse.

6. Sia τ _con la topologia conumerabile su R. Provare che (R, τ con ) ` e connesso ma non connesso per archi.

7. Sia (X, d) uno spazio metrico, sia α : [0, 1] → X un arco in X tale che α(0) 6= α(1) e sia r ∈ R tale che 0 < r < d α(0), α(1)
. Dimostrare che esiste t ∈ [0, 1] tale che d α(0), α(t)
= r.

8. Provare che ogni sottoinsieme infinito di R euclideo ha almeno un sottoinsieme infinito totalmente sconnesso.

9. Sia τ _s la topologia della semicontinuit` a superiore su R. Provare che ogni sottospazio di (R, τ s ) ` e connesso e localmente connesso.

10. Dotiamo R della topologia euclidea e sia C([0, 1]) l’insieme delle applicazioni continue da [0, 1] in R. Definiamo una distanza d su C([0, 1]) ponendo

d(f, g) := max

x∈[0,1] |f (x) − g(x)| .

Mostrare che C([0, 1]) con la topologia indotta da d ` e uno spazio connesso per archi.