: R → R con la topologia euclidea sono proprie: f

Tutorato di Geometria 3 del 13-11-2012 (P. Salvatore)

(1) Si dica quali tra le funzioni seguenti f

: R → R con la topologia euclidea sono proprie: f

(x) = sin(x); f

(x) = e

; f

(x) = x

; f

(x) = 0.

(2) Si ricorda che la retta proiettiva RP

= R ∪ {∞} `e omeomorfa a S

tramite la proiezione stereografica. Dimostrare che una funzione propria f : R → R si estende in modo unico a una funzione continua f : RP

→ RP

tale che f (∞) = ∞. Quali funzioni dell’esercizio precedente verificano questa propriet´ a ?

(3) Considerare la linea con due origini L, il quoziente di R × {−1, 1} per la relazione di equivalenza tale che (x, 1) ∼ (x, −1) se x 6= 0. Verificare se tale relazione ` e indotta da un’azione del gruppo Z

su R × {−1, 1}.

(4) Dimostrare che il quoziente di uno spazio di Hausdorff X per l’azione di un gruppo finito G ` e sempre di Hausdorff. Dare un controesempio nel caso X = S

, considerando un sottogruppo infinito G ⊂ S

.

(5) Dimostrare che lo spazio topologico [0, 1]

delle funzioni [0, 1] → [0, 1] con la topologia della convergenza puntuale non ` e compatto per successioni.

(6) Dimostrare che se f : X → Y ` e continua e C ⊂ X compatto per successioni allora f (C) ` e compatto per successioni.

(7) Dimostrare che la palla unitaria nello spazio C([0, 1]) delle funzioni continue [0, 1] → R con la topologia della convergenza uniforme non `e compatta.

(8) Trovare un esempio di funzione f : X → Y tra spazi topologici tale che f

(K) ` e compatto per ogni K ⊂ Y compatto ma f non ` e propria secondo la definizione vista a lezione.

(9) Sia X di Hausdorff e Y compatto. Dimostrare che una funzione f : X → Y

`

e continua se e solo se il grafico Γ(f ) = {(x, f (x))|x ∈ X} ` e un chiuso di X × Y . Utilizzare l’esercizio precedente.

(10) Dimostrare che non esiste la ”radice quadrata” di R, cio`e non esiste uno spazio topologico X tale che X

` e omeomorfo a R con la topologia euclidea.

(Utilizzare le propriet´ a della connessione per archi)