1 Continuit´a in un punto Affinch´e una funzione

ANALISI MATEMATICA - PROF. G. SURACE PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI CONTINUE

1 Continuit´ a in un punto

Affinch´ e una funzione f (x) sia continua in un punto x 0 ´ e necessario che:

1. f (x) sia definita in x 0 (ovvero x 0 appartenga al suo dominio)

2. esistano finiti e siano uguali i limiti destro e sinistro di f (x) per x → x 0 , cio´ e:

lim

x→x

f (x) = lim

x→x

f (x) = `

3. il valore dei suddetti limiti, `, sia uguale al valore f (x 0 ) della funzione calcolato in corrispondenza ad x ₀ cio´ e:

f (x ₀ ) = `

1.1 Remark

Tutte queste tre condizioni si possono riassumere dicendo che ”una funzione ´ e continua in punto se il suo valore coincide con quello del limite”, cio´ e:

x→x lim

f (x) = f (x 0 )

Si noti che in questa ”compattazione” non compaiono pi´ u limite destro e lim- ite sinistro giacch´ e la loro esistenza e la loro uguaglianza ´ e gi´ a implicita nella generica dicitura

x→x lim

f (x) .

2 Continuit´ a in un intervallo

Una funzione f (x) si dice continua in un intervallo [a, b] se ´ e continua per tutti i valori di x appartenenti a questo intervallo, inclusi gli estremi.

3 Alcuni teoremi sulle funzioni continue

Teorema 1 (della permanenza del segno) Se una funzione f (x) ´ e continua in un punto x ₀ ed inoltre risulta che f (x ₀ ) 6= 0, allora esiste un intorno di x ₀ in cui la funzione assume lo stesso segno di f (x ₀ ).

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Proof : la dimostrazione di questo teorema ´ e del tutto analoga a quella vista per il teorema di permanenza del segno quando abbiamo parlato di limiti. Dalla definizione di continuit´ a sappiamo, infatti, che possiamo sostituire il valore della funzione f (x 0 ) con quello del limite. Pertanto il teorema si riduce ad un teorema gi´ a dimostrato.(Solo per completezza facciamo la solita analisi sulla struttura del teorema individuando ipotesi e tesi:

IPOTESI :

f (x ₀ ) = lim

x→x

f (x) ed inoltre f (x 0 ) 6= 0.

TESI : in un opportuno intorno di x 0 risulta f (x) > 0 se f (x 0 ) > 0 (o viceversa f (x) < 0 se f (x 0 ) < 0)

Teorema 2 (di esistenza degli zeri (senza dimostrazione)) Se una fun- zione f (x) ´ e continua in un intervallo chiuso [a, b] e se f (a) e f (b) sono di segno opposto, allora esister´ a almeno un punto x ₀ in cui la funzione si annulla.

Osservazione: Questo teorema afferma in pratica che se f (a) e f (b) sono di segno opposto allora la funzione f (x) ammette almeno uno ”zero”. Prendiamo ad esempio la funzione y = x ³ nell’intervallo [−2, 2]. Se calcolo f (−2) = −8 mentre f (+2) = +8. Come si vede i due valori di f (−2) e f (+2) sono opposti. Il teorema ci garantisce allora che la funzione y = x ³ sicuramente ”avr´ a uno zero”

(cio´ e intersecher´ a l’asse x) in un punto x 0 appartenente all’intervallo [−2, 2]. Si scopre facilmente che il punto ignoto ´ e proprio x 0 = 0.

Teorema 3 (di Weierstrass (senza dimostrazione)) Se una funzione f (x)

´ e continua in un intervallo chiuso [a, b], essa ´ e limitata in tale intervallo ed es- iste in [a, b] almeno un punto in cui f (x) assume un valore massimo, M , ed almeno un punto dove f (x) assume un valore minimo, m.

Osservazione: il teorema di Weierstrass dice solamente che esistono due valori di x (appartenenti all’intervallo [a, b]) in corriapondenza ai quali la funzione assumer´ a un valore massimo, M (massimo della funzione) ed un valore minimo m (minimo della funzione) ma non spiega come trovarli.

Teorema 4 (di Bolzano (senza dimostrazione)) Se una funzione f (x) ´ e continua in un intervallo chiuso [a, b], e x 1 e x 2 sono due punti di tale in- tervallo tali che f (x 1 ) 6= f (x 2 ), allora al variare di x nell’intervallo (x 1 , x 2 ) la funzione f (x) assumer´ a tutti i valori compresi tra f (x 1 ) e f (x 2 ).

Osservazione: Questo teorema, detto anche ”dei valori intermedi” ´ e quello che corrisponde da vicino alla nostra idea di continuit´ a nel senso che assicura che una funzione f (x) non pu´ o passare da un suo valore f (x 1 ) ad un valore f (x 2 ) senza passare per tutti i valori intermedi (non pu´ o quindi saltare).

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