PRECORSO di MATEMATICA

PRECORSO di MATEMATICA

Francesca G. Alessio

Universit`a Politecnica delle Marche

DI COSA CI OCCUPEREMO...

ELEMENTI di LOGICA RICHIAMI di INSIEMISTICA RELAZIONI e FUNZIONI

RELAZIONI di EQUIVALENZA RELAZIONI d’ORDINE

FUNZIONI NUMERI REALI

RETTA REALE VALORE ASSOLUTO INTERVALLI

PIANO CARTESIANO

ELEMENTI di GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI REALI

OPERAZIONI tra FUNZIONI REALI TRASFORMAZIONI di GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI

POTENZE

ESPONENZIALI e LOGARITMI

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

TESTI CONSIGLIATI

I

“Matematica Zero”, F. Alessio, C. de Fabritiis, C. Marcelli e P.

Montecchiari, Pearson (ID classe Alessi-cb67)

I

“Geometria analitica con elementi di algebra lineare”, III ed., M. Abate e C. de Fabritiis, McGraw-Hill

I

“Analisi Matematica 1.Teoria con esercizi svolti”, ed. 2017, F.

Alessio e P. Montecchiari, Esculapio

ELEMENTI di LOGICA

La logica elementare si occupa di stabilire la verit` a di a↵ermazioni complesse a partire dalla verit` a di quelle pi` u semplici che le compongono.

Si parla in questo caso di proposizioni o enunciati: sono a↵ermazioni per le quali `e possibile stabilire un valore di verit` a, vero o falso, con un giudizio oggettivo.

I “ 3 `e un numero dispari ” `e una proposizione (vera) I “ 2 > 4 ” `e una proposizione (falsa)

I “ 50 `e molto pi` u grande di 2 ” non `e una proposizione

I “ 2 `e un numero positivo e non `e dispari ” `e una proposizione (vera) L’ultima proposizione `e una proposizione composta, `e costituita da due proposizioni semplici : “ 2 `e un numero positivo ” e “ 2 non `e un numero dispari ” unite mediante la congiunzione “e”.

La proposizione “ 2 non `e un numero dispari ” `e la negazione della

proposizione “ 2 `e un numero dispari”.

Data una proposizione P possiamo considerare la sua negazione, che denoteremo con ¬P e leggeremo come non P, ovvero la proposizione che `e vera quando P `e falsa, `e falsa quando P `e vera

P ¬P

V F

F V

I la negazione di “ 2 `e un numero dispari ” (falsa) `e “ 2 non `e un numero dispari ” (vera)

I la negazione di “ogni numero maggiore di 3 `e positivo” (vera) `e “esiste un numero maggiore di 3 che non ` e positivo” (falsa)

Possiamo facilmente vedere che la negazione della negazione di una proposizione P, ¬(¬P), ha lo stesso valore di verit`a di P, ovvero vale la legge della doppia negazione

¬(¬P) = P

che possiamo esprimere dicendo che due negazioni a↵ermano.

La negazione di una proposizione richiede particolare attenzione se contiene un quantificatore universale (“per ogni”, “qualunque”) o esistenziale (“esiste”, “c’`e”). Abbiamo che

la negazione di un esistenziale `e un universale la negazione di un universale `e un esistenziale

I la negazione di “ogni (qualsiasi) bambino `e allegro” `e “esiste (c’`e, almeno) un bambino non allegro”

I la negazione di “almeno un giorno al mese vado al cinema” `e “ogni giorno del mese non vado al cinema”

In matematica per indicare i quantificatori si usano i simboli 8 , si legge “per ogni”, “qualunque”, “qualsiasi”, `e un quantificatore universale;

9 , si legge “esiste”, “c’`e”, `e un quantificatore esistenziale.

I la negazione di “ 8 x 2 R 9 n 2 N tale che x  n ” ^{(propriet` a}

archimedea) `e “ 9 x 2 R tale che 8 n 2 N si ha x > n ”

La congiunzione di due proposizioni P e Q `e la proposizione, che si denota con P ^ Q , che `e vera quando P e Q sono entrambe vere ed `e falsa negli altri casi

P Q P ^ Q

V V V

V F F

F V F

F F F

La proposizione P ^ Q `e la proposizione composta che si ottiene collegando le due proposizioni P e Q nel linguaggio corrente con la congiunzione “e”

I La proposizione “4 `e un numero positivo e pari” pu` o essere riscritta come P ^ Q dove P `e la proposizione “4 `e un numero positivo” e Q la proposizione “4 `e un numero pari”

I ^Se P `e la proposizione “4 `e un numero intero maggiore di 2” e Q `e la proposizione “4 `e un numero intero minore di 6”, la proposizione P ^ Q `e “4 `e un numero intero maggiore di 2 e minore di 6”

La disgiunzione di due proposizioni P e Q `e la proposizione, denotata con P _ Q , che `e vera quando almeno una delle due proposizioni `e vera, `e falsa se le due proposizioni sono entrambe false

P Q P _ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

La proposizione P _ Q `e la proposizione che si ottiene nel linguaggio corrente collegando le due proposizioni P e Q con “o”, “oppure”

I La proposizione “4 `e un numero primo oppure pari” (vera) pu` o essere riscritta come P _ Q dove si `e denotata con P la proposizione “4 `e un numero primo” (falsa) e con Q la proposizione “4 `e un numero pari”

(vera)

I ^Se P `e la proposizione “10 `e divisibile per 3” (falsa) e Q `e la

proposizione “10 `e maggiore di 6” (vera), la proposizione P _ Q `e la

proposizione “10 `e divisibile per 3 oppure `e maggiore di 6” (vera).

I connettivi ^ e _ sono operazioni commutative, associative e distributive l’una rispetto all’altra.

Rispetto all’operazione di negazione valgono le leggi di De Morgan:

⌅ ¬(P ^ Q) = (¬P) _ (¬Q)

⌅ ¬(P _ Q) = (¬P) ^ (¬Q)

Abbiamo per esempio

I La negazione di “ 2 `e un numero positivo e minore di 3 ” `e “ 2 `e un numero non positivo oppure non minore di 3 ”

I La negazione di “ x `e un numero negativo oppure `e un numero primo

” `e “ x `e un numero non negativo e non `e un numero primo”

NOTA: l’ultima proposizione (e la sua negazione) contiene un’incognita, un’indeterminata, si parla pi` u propriamente in questo caso di predicato, in cui il valore di verit` a dipende dal valore assegnato all’incognita.

Date due proposizione P e Q, l’ implicazione da P a Q, che si denota con P ) Q e si legge “ P implica Q”, `e la proposizione che `e falsa se P `e vera e Q `e falsa, mentre `e vera in tutti gli altri casi

P Q P ) Q

V V V

V F F

F V V

F F V

I La proposizione “se piove allora le strade sono bagnate” si pu` o riscrivere come P ) Q dove P `e la proposizione “piove” e Q “le strade sono bagnate”.

I La proposizione “chi dorme non piglia pesci” si pu` o riscrivere come P ) Q dove P `e la proposizione “egli dorme” e Q “egli non piglia pesci”.

Osserviamo che se P `e falsa, l’implicazione P ) Q `e vera sia nel caso che Q

sia vera che falsa.

L’implicazione P ) Q ha lo stesso valore di verit`a (`e equivalente) dell’implicazione ¬Q ) ¬P , detta contronominale

P Q P ) Q ¬P ¬Q ¬Q ) ¬P

V V V F F V

V F F F V F

F V V V F V

F F V V V V

I L’implicazione “se piove allora le strade sono bagnate” `e equivalente alla proposizione contronominale “se le strade non sono bagnate allora non piove”.

I L’implicazione “chi dorme non piglia pesci” `e equivalente alla proposizione contronominale “chi piglia pesci non dorme” (nota la negazione di ”egli non piglia pesci” `e ”egli piglia pesci”).

NOTA: se `e vera l’implicazione P ) Q non `e detto che sia vera Q ) P: se le strade sono bagnate non possiamo concludere che piove, se non piglio pesci non `e detto che sto dormendo!!

Nel caso in cui valgano sia l’implicazione P ) Q che Q ) P, si usa scrivere P , Q (e si legge “ P se e solo se Q”)

P , Q significa P ) Q ^ Q ) P La tavola di verit` a

P Q P ) Q Q ) P P , Q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

mostra che la doppia implicazione P , Q `e vera solo nel caso in cui le due proposizioni P e Q hanno stesso valore di verit`a, sono entrambe vere o entrambe sono false, sono equivalenti.

I “vieni promosso se e solo se hai un voto maggiore o uguale a 6 in ogni materia” esprime una doppia implicazione, un’equivalenza;

I “ x `e maggiore di 3 ” `e equivalente a “ x 3 `e maggiore di 0 ”, tra le

due a↵ermazioni intercorre la doppia implicazione.

Molti risultati in matematica sono delle implicazioni logiche della forma P ) Q e si esprimono in forme linguistiche diverse

• “Se vale l’ipotesi P allora vale la tesi Q”;

• “Condizione sufficiente affinch´e sia vera Q `e che sia vera P”;

• “Condizione necessaria affinch´e sia vera P `e che sia vera Q”.

Altri risultati sono delle equivalenze logiche, P , Q, che si possono esprimere come

• “Vale P se e solo se vale Q”;

• “Condizione necessaria e sufficiente affinch´e sia vera Q `e che sia vera P”.

RICHIAMI di INSIEMISTICA

Il concetto di insieme in Matematica viene considerato primitivo cio`e noto e non definibile nei termini di concetti pi` u elementari.

Un insieme `e costituito dai suoi elementi. Scriveremo

x 2 A per indicare che x appartiene ad A, cio`e che x `e un elemento dell’insieme A,

x / 2 A per indicare che x non appartiene ad A.

L’insieme privo di elementi viene detto insieme vuoto e lo si indica con il simbolo ; .

Un insieme pu` o essere descritto in diversi modi, i pi` u usati sono per elencazione, cio`e elencando i suoi elementi tra parentesi gra↵e, oppure attraverso una propriet` a che caratterizza i suoi elementi.

Per esempio, l’insieme A dei numeri naturali pari minori di 10 pu` o essere descritto

I per elencazione: A = {0; 2; 4; 6; 8};

I mediante la propriet` a che li caratterizza:

A = {n 2 N | n < 10, n `e divisibile per 2} o anche

A = {n 2 N | n < 10, 9 m 2 N tale che n = 2m}.

Dati due insiemi A e B diremo che B `e sottoinsieme di A (o anche che B

`e incluso o contenuto in A) quando ogni elemento di B `e anche elemento di A, scriveremo B ✓ A .

Se due insiemi A e B sono uno sottoinsieme dell’altro, cio`e se B ✓ A e A ✓ B, allora A e B sono uguali e si scrive A = B . Si indica che A `e diverso da B scrivendo invece A 6= B .

Se B ✓ A e B 6= A diremo che B `e un sottoinsieme proprio di A e scriveremo B ⇢ A .

I L’insieme B dei numeri naturali dispari minori di 7 `e un

sottoinsieme proprio dell’insieme A dei numeri naturali minori di 7:

B = {1; 3; 5} ⇢ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Dati due insiemi A e B la di↵erenza tra gli insiemi A e B, denotato con A \ B , `e l’insieme costituito dagli elementi di A che non siano anche elementi di B

A \ B = {x | x 2 A e x / 2 B}

L’insieme A \ B `e detto anche complementare di B in A.

I ^{Se A =} {x 2 N | 1  x  4} e B = {x 2 N | x 2 } allora A \ B = {x 2 N | 1  x < 2}.

I Se A `e l’insieme delle lettere della parola “babbo” e B l’insieme delle vocali allora

A \ B = {b} e B \ A = {e; i; u}.

NOTA: in generale A \ B 6= B \ A.

Dati due insiemi A e B, si dice intersezione degli insiemi A e B l’insieme denotato con A \ B costituito dagli elementi in comune tra A e B

A \ B = {x | x 2 A e x 2 B}

L’insieme costituito dalla globalit` a degli elementi di A e B viene detto unione degli insiemi A e B e denotato con A [ B

A [ B = {x | x 2 A oppure x 2 B}

I ^{Se A =} {x 2 N | 1  x  4} e B = {x 2 N | x 2 } allora

A \ B = {x 2 N | 2  x  4} e A [ B = {x 2 N | x 1 }.

Se A \ B = ; si dice che A e B sono insiemi disgiunti.

Le operazioni di unione e intersezione sono commutative, associative e distributive l’una rispetto all’altra.

Inoltre considerato un insieme universo X, per ogni sottoinsieme A ✓ X denotiamo con {A il complementare di A in X. Valgono allora le propriet` a

⌅ {({A) = A

⌅ se A ⇢ B allora {B ⇢ {A

⌅ A \ {A = ; e A [ {A = X e le leggi di De Morgan

⌅ {(A [ B) = {A \ {B

⌅ {(A \ B) = {A [ {B.

C’`e un’analogia tra le operazioni tra insiemi e quelle tra proposizioni:

• alla negazione corrisponde il passaggio al complementare,

• alla congiunzione corrisponde l’intersezione,

• alla disgiunzione corrisponde l’unione,

• all’inclusione corrisponde l’implicazione.

Infine, si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica con A ⇥ B , l’insieme costituito dalle coppie ordinate (a, b), dove a appartiene ad A e b appartiene a B

A ⇥ B = {(a, b) | a 2 A, b 2 B}

I ^{Se A =} {1, 2} e B = {↵, } allora A ⇥ B = {(1, ↵), (2, ↵), (1, ), (2, )}.

I ^{Se A =} {a} e B = {b, c} allora A ⇥ B = {(a, b), (a, c)} mentre B ⇥ A = {(b, a), (c, a)}.

NOTA: A ⇥ B `e in generale diverso da B ⇥ A, il prodotto cartesiano non `e commutativo.

Valgono invece le propriet` a

⌅ associativa A ⇥ (B ⇥ C) = (A ⇥ B) ⇥ C

⌅ distributiva

A ⇥ (B \ C) = (A ⇥ B) \ (A ⇥ C) A ⇥ (B [ C) = (A ⇥ B) [ (A ⇥ C) A ⇥ (B \ C) = (A ⇥ B) \ (A ⇥ C)

RELAZIONI

Dati due insiemi A e B si dice relazione tra A e B una legge che associa elementi di A ad elementi di B.

L’insieme A `e detto dominio e l’insieme B codominio della relazione.

Se R `e una relazione tra A e B, per indicare che a 2 A `e in relazione con un elemento b in B scriveremo a R b .

I Se A `e l’insieme delle auto immatricolate in Italia e B l’insieme delle persone di sesso femminile di cittadinanza italiana, la legge che associa a 2 A a b 2 B qualora “a sia l’auto di propriet`a di b” `e una relazione tra A e B.

I ^{Se A = B =} R, la legge che associa a 2 R con b 2 R se a

+ b

= 1 `e una relazione avente lo stesso dominio e codominio.

Si dice relazione binaria su A una relazione avente come dominio e codominio lo stesso insieme A.

Tra le relazioni binarie, di particolare importanza risultano essere quelle di

equivalenza e quelle d’ordine.

RELAZIONI di EQUIVALENZA

Una relazione binaria R su un insieme A si dice relazione di equivalenza se verifica le propriet` a

⌅ riflessiva a R a per ogni a 2 A

⌅ simmetrica se a R b allora b R a

⌅ transitiva se a R b e b R c allora a R c.

Per esempio

I la relazione tra due numeri interi n, m 2 Z definita da n ⇠ m se n m

`e un numero pari `e una relazione di equivalenza su Z;

I la relazione di similitudine nell’insieme dei triangoli del piano e la relazione di parallelismo tra rette nel piano sono relazioni di equivalenza.

RELAZIONI d’ORDINE

Una relazione binaria R su un insieme A si dice relazione d’ordine su A se verifica le propriet` a

⌅ riflessiva a R a per ogni a 2 A

⌅ antisimmetrica se a R b e b R a allora a = b

⌅ transitiva se a R b e b R c allora a R c

Una relazione d’ordine R su A si dice totale se verifica inoltre la propriet` a

⌅ dicotomia se a, b 2 A allora a R b oppure b R a

I La relazione di inclusione `e una relazione d’ordine nell’insieme T dei triangoli nel piano, non `e per` o totale visto che, per esempio, due triangoli disgiunti non risultano confrontabili.

I Un esempio importante di insieme totalmente ordinato `e dato dalla retta orientata. Dati due punti P e Q su una retta orientata, diciamo che P precede Q, e scriviamo P Q, se P = Q oppure se P 6= Q e percorrendo la retta da P a Q seguiamo l’orientamento della retta.

Tale relazione `e una relazione d’ordine totale.

FUNZIONI

Dati due insiemi A e B, una funzione (o applicazione) da A in B `e una relazione che associa a ciascun elemento di A uno ed un solo elemento di B. Gli insiemi A e B prendono ancora il nome di dominio e codominio.

Per esempio consideriamo le relazioni tra A e B rappresentate in figura

La relazione f

non `e una funzione perch`e sono presenti elementi in A non associati ad alcun elemento di B.

La relazione f

`e una funzione da A in B, dato che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.

La relazione f

non `e una funzione perch`e vi `e un elemento di A associato a pi` u elementi di B.

Per indicare una funzione f da A in B scriveremo f : A ! B .

Scriveremo f (a) = b per indicare che la funzione f associa all’elemento a 2 A l’elemento b 2 B, diremo anche che b `e immagine di a tramite f . L’insieme degli elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A viene detto immagine di f e denotato con f (A) oppure con Im(f )

Im(f ) = f (A) = {b 2 B | 9 a 2 A tale che f(a) = b} = {f(a) | a 2 A}

Pi` u in generale, dato un sottoinsieme C del dominio A, si dice immagine di C tramite f , l’insieme

f (C) = {b 2 B | 9 a 2 C tale che f(a) = b} = {f(a) | a 2 C}

Considerato invece un sottoinsieme D del codominio B, si dice controimmagine di D l’insieme

f

(D) = {a 2 A | f(a) 2 D}

I Consideriamo la funzione f : A ! B rappresentata in figura

Abbiamo che

I

Im(f ) = f (A) = {1; 3; 5; 6} 6= B,

I

f ({a; b; c}) = {1; 3; 6},

I

f

( {1; 2; 3}) = {a; b}.

I Per la funzione f : N ! N definita da f(n) = 2n + 1 , risulta

I

Im(f ) = f ( N) = {1; 3; 5; 7; ...} `e costituito dai numeri naturali dispari,

I

f ( {1; 4}) = {3; 9},

I

f

({5; 6}) = {2}.

I La funzione f : R ! R definita da f(x) = x

ha per immagine l’intervallo [0, + 1).

FUNZIONE COMPOSTA

Date due funzioni f : A ! B e g : C ! D, se B ✓ C, risulta definita la funzione composta g f : A ! D che associa ad ogni x 2 A l’elemento

(g f )(x) = g(f (x))

Diremo che g f `e la composizione della funzione g con la funzione f . NOTA: se B 6✓ C la funzione composta g f potr`a essere definita sul dominio

A

= {a 2 A | f(a) 2 C}

I ^{Siano f :} N ! R e g : R ! R le funzioni definite da f(x) = p x e g(y) = y 3 . Abbiamo che

(g f )(x) = g(f (x)) = g( p x) = p x 3 mentre

(f g)(y) = f (g(y)) = f (y 3) = p y 3.

Osserviamo che il dominio di g f `e N, dato che f(n) 2 Dom(g) = R per ogni n 2 N, mentre quello di f g `e

{y 2 R | g(y) = y 3 2 Dom(f) = N} = {3; 4; 5; ..} = {y 2 N | n 3 }.

NOTA: in generale g f 6= f g

FUNZIONI INIETTIVE

Una funzione f : A ! B si dice iniettiva se associa a elementi distinti di A elementi distinti di B. In altre parole f : A ! B `e iniettiva se

8 x

, x

2 A si ha x

6= x

) f(x

) 6= f(x

) o, equivalentemente, se

8 x

, x

2 A si ha f(x

) = f (x

) ) x

= x

per esempio consideriamo le funzioni tra A e B rappresentate in figura

Abbiamo che f

`e iniettiva, manda elementi diversi in elementi diversi.

La funzione f

non lo `e, esistono elementi del codominio che corrispondono allo stesso elemento del dominio.

NOTA: una funzione f : A ! B non `e iniettiva se 9 x

, x

2 A con x

6= x

per i quali f (x

) = f (x

)

FUNZIONI SURIETTIVE

Una funzione f : A ! B si dice suriettiva se ogni elemento di B `e immagine di almeno un elemento di A, cio`e se

8 b 2 B 9 a 2 A tale che b = f(a)

o, equivalentemente, se la sua immagine coincide con il codominio f (A) = B

Consideriamo per esempio le funzioni rappresentate in figura

La funzione f

non `e suriettiva, esiste un elemento del codominio che non corrisponde ad alcun elemento del dominio. La funzione f

`e invece suriettiva, ogni elemento del codominio corrisponde ad almeno un elemento del dominio.

NOTA: una funzione f : A ! B non `e suriettiva se 9 b 2 B tale che 8 a 2 A risulta b 6= f(a)

FUNZIONI BIJETTIVE e FUNZIONE INVERSA

Una funzione f : A ! B si dice bijettiva o invertibile se risulta iniettiva e suriettiva. Una funzione `e quindi bijettiva se

8 b 2 B esiste ed `e unico a 2 A tale che f(a) = b

La legge che associa a ogni b 2 B l’unico a 2 A tale che f(a) = b definisce allora una funzione, detta funzione inversa di f e denotata con

f

: B ! A

f

(b) = a , b = f (a) Abbiamo che

⌅ Dom(f

) = B = Im(f ) e Im(f

) = A = Dom(f )

⌅ valgono le leggi di cancellazione:

f

(f (a)) = a, 8a 2 A e f(f

(b)) = b, 8b 2 B

I La funzione f : N ! N \ {0} definita da f(n) = n + 1 `e iniettiva n

6= n

) f (n

) = n

+ 1 6= n

+ 1 = f (n

) E suriettiva `

8 m 2 N \ {0} 9 n = m 1 2 N tale che f(n) = n + 1 = (m 1) + 1 = m La funzione `e quindi bijettiva, la sua funzione inversa `e la funzione f

: N \ {0} ! N definita da f

(m) = m 1;

I La funzione f : R ! R definita da f(x) = 3x + 2 `e iniettiva e suriettiva, risulta quindi invertibile.

Abbiamo che, dato y 2 R e posto x

=

, si ha f (x

) = y. Dunque f

(y) = x

= y 2

3 per ogni y 2 R.

NOTA: se f : A ! B `e iniettiva, allora restringendo il codominio

all’immagine f (A), possiamo dire che f : A ! f(A) `e iniettiva e suriettiva.

Tale funzione `e quindi invertibile ed `e definita la funzione inversa f

: f (A) ! A.

In questo senso si dice che se f : A ! B `e iniettiva allora f `e invertibile sulla sua immagine.

I La funzione f : [0, + 1) ! R definita da f(x) = 1 + x

`e iniettiva, poich´e se x

6= x

2 [0, +1) allora f(x

) 6= f(x

). Non risulta per` o suriettiva dato che

Im(f ) = f ([0, + 1)) = [1, +1) 6= R

Risulta per` o suriettiva se restringiamo il codominio all’immagine [1, + 1):

la funzione f : [0, + 1) ! [1, +1) `e iniettiva e suriettiva, la sua inversa

`e la funzione f

: [1, + 1) ! [0, +1) definita da f

(y) = p y 1.

NUMERI REALI

I numeri reali possono essere definiti in modo assiomatico nel seguente modo: postuliamo che esista un insieme, l’insieme dei numeri reali R , dove siano definite le due operazioni di somma e prodotto e la relazione minore o uguale soddisfacenti a delle stabilite propriet` a, gli assiomi.

Possiamo distinguere gli assiomi dei numeri reali in tre categorie (A) assiomi algebrici

(B) assiomi d’ordine (C) assioma di completezza

ASSIOMI ALGEBRICI

Sono definite in R due operazioni binarie interne, somma, a + b e prodotto, a · b, soddisfacenti le seguenti propriet`a

A.1 Propriet` a commutativa di somma e prodotto:

a + b = b + a e a · b = b · a, 8 a, b 2 R A.2 Propriet` a associativa di somma e prodotto:

(a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c), 8 a, b, c 2 R A.3 Propriet` a distributiva del prodotto rispetto alla somma:

a · (b + c) = a · b + a · c, 8 a, b, c 2 R

A.4 Esistenza dell’elemento neutro della somma o zero: esiste 0 2 R tale che a + 0 = a per ogni a 2 R.

A.5 Esistenza dell’elemento neutro del prodotto o uno: esiste 1 2 R \ {0}

tale che a · 1 = a per ogni a 2 R.

A.6 Esistenza dell’opposto: per ogni a 2 R esiste a 2 R tale che a + ( a) = 0.

A.7 Esistenza del reciproco: per ogni a 2 R con a 6= 0 esiste

2 R tale

che a ·

= 1.

ASSIOMI D’ORDINE

E definita in ` R una relazione d’ordine totale tra coppie di numeri reali, denotata con  e detta minore o uguale, quindi soddisfacente le propriet`a B.1 Propriet` a riflessiva: per ogni a 2 R risulta a  a.

B.2 Propriet` a antisimmetrica: se a  b e b  a allora a = b.

B.3 Propriet` a transitiva: se a  b e b  c allora a  c.

B.4 Propriet` a di dicotomia: per ogni a, b 2 R si ha a  b oppure b  a.

Infine si chiede che rispetto alle operazioni algebriche siano verificate le seguenti propriet` a

B.5 se a  b e c 2 R allora a + c  b + c B.6 se a  b e c 0 allora a · c  b · c.

ASSIOMA DI COMPLETEZZA

C per ogni coppia di insiemi non vuoti A, B ✓ R tali che a  b per ogni a 2 A e b 2 B esiste c 2 R tale che

a  c  b per ogni a 2 A e b 2 B.

Il numero reale c `e detto elemento separatore degli insiemi A e B.

Per esempio, la radice quadrata di 2 pu` o essere definita come l’unico elemento separatore degli insiemi

A = {a 2 R | a > 0, a

< 2 } e B = {b 2 R | b > 0, b

> 2 }.

Abbiamo infatti che a  b per ogni a 2 A e b 2 B. Dunque, per l’assioma di completezza, avremo che esiste c 2 R tale che a  c  b per ogni a 2 A e b 2 B. Si pu`o provare che

• c `e positivo;

• c verifica c

= 2;

• c `e l’unico elemento separatore degli insiemi A e B.

Ne segue allora che esiste un unico numero reale positivo c tale che c

= 2 , tale numero viene detto radice quadrata di 2 e denotato con p

2.

A partire dagli assiomi algebrici possiamo definire gli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali.

⌅ L’insieme dei numeri naturali N `e l’insieme dei numeri reali ottenuti aggiungendo 1 a 0 e ai successivi: 0; 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1;

3 = 2 + 1; ... Quindi

N = {0; 1; 2; 3; ...}

⌅ L’insieme dei numeri interi Z `e l’insieme costituito da tutti i numeri naturali e dagli opposti dei numeri naturali. Dunque

Z = {... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...}

⌅ L’insieme dei numeri razionali Q `e l’insieme dei numeri della forma

n

m

= n ·

dove m, n 2 Z e m `e non nullo, dove si considerano identificati numeri della forma

e

con p 2 Z \ {0}

Q = {

| m, n 2 Z, m 6= 0}

Chiaramente valgono le inclusioni

N ⇢ Z ⇢ Q ✓ R

Abbiamo che Q 6= R ovvero che l’insieme R \ Q dei numeri irrazionali

`e non vuoto.

Risulta difatti che p

2, e pi` u in generale pp con p numero primo, non `e un numero razionale vale infatti il seguente risultato

Teorema

p 2 non `e un numero razionale.

Altrimenti detto,

non esiste alcun c 2 Q con c > 0 tale che c

= 2.

Osserviamo che in particolare segue che Q non verifica l’assioma di completezza: gli insiemi di numeri razionali

A = ¯ {a 2 Q | a > 0, a

< 2 } e B = ¯ {b 2 Q | b > 0, b

> 2 }

non ammettono elemento separatore in Q.

Dim. Procediamo per assurdo e supponiamo che esista c 2 Q con c > 0 tale che c

= 2.

Per definizione di numero razionale siano m, n 2 N, tali che c =

.

Semplificando gli eventuali fattori comuni, potremo scegliere m, n primi tra loro, in particolare non entrambi pari.

Poich´e c

= 2 abbiamo c

= m

n

= 2 , m

= 2n

( ⇤)

Essendo 2n

numero pari, si ottiene che m

`e pari e quindi che anche m `e pari. Sia dunque h 2 N tale che m = 2h.

Allora da ( ⇤) segue che

m

= (2h)

= 2n

, 4h

= 2n

, n

= 2h

Come sopra, possiamo allora concludere che n

`e pari e quindi che anche n `e pari.

Abbiamo quindi ottenuto una contraddizione e dimostrato il teorema.

RETTA REALE

Una retta reale `e una retta r su cui `e stato fissato

I

un punto O, detto origine,

I

un’orientazione (o verso di percorrenza)

I

un’unit` a di misura, ovvero un punto P

che individua insieme all’origine un segmento di lunghezza unitaria.

Grazie all’assioma di completezza dei numeri reali, a ogni punto P 2 r corrisponde uno e un solo numero reale uguale alla distanza del punto P dall’origine O, ovvero la lunghezza del segmento di estremi P e O.

Indicheremo tale numero con d(P, O) .

In generale, la distanza sulla retta reale del punto P dal punto Q, definita

come la lunghezza del segmento P Q, verr` a indicata con d(P, Q) .

Viene detta funzione ascissa l’applicazione, denotata con x : r ! R, che a ogni punto P 2 r associa il numero reale x(P ) uguale a

• la distanza d(P, O) se P segue O rispetto all’orientazione prescelta (scriveremo P 2 r

),

• 0 se P ⌘ O,

• l’opposto della distanza d(P, O) se P precede O (scriveremo P 2 r ).

Quindi

x(P ) = 8 <

:

d(P, O) se P 2 r

0 se P ⌘ O

d(P, O) se P 2 r

Diremo che x(P ) `e l’ascissa del punto P della retta reale.

Viceversa, per ogni a 2 R esiste un unico punto P

2 r di ascissa a, cio`e tale che x(P

) = a

La funzione a 2 R 7! P

2 r `e quindi l’applicazione inversa della funzione ascissa P 2 r 7! x(P ) 2 R.

La funzione ascissa determina quindi una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali R e i punti della retta reale r.

Per tale motivo si usa identificare la retta reale con l’insieme dei numeri reali e indicare direttamente i punti della retta reale con i corrispondenti numeri reali.

NOTA: Per ogni a, b 2 R si ha che b < a se e solo se P

precede P

sulla

retta reale rispetto all’orientazione assegnata. In questo senso la funzione

ascissa preserva l’ordinamento tra i due insiemi.

VALORE ASSOLUTO

Diciamo valore assoluto, o modulo, di un numero reale x 2 R il numero

|x| =

® x se x 0, x se x < 0.

Dalle definizioni di valore assoluto e della funzione ascissa, abbiamo che per ogni x 2 R il punto P

2 r di ascissa x verifica d(P

, O) = |x|. In generale

⌅ per ogni x, x

2 R, |x x

| indica la distanza sulla retta reale tra il punto P

di ascissa x e il punto P

di ascissa x

In particolare, dato > 0 e x

2 R, la disequazione |x x

| < ammette come soluzioni tutti e soli i valori x

< x < x

+

Valgono le seguenti propriet` a del valore assoluto.

⌅ |x| 0 per ogni x 2 R e |x| = 0 se e solo se x = 0;

⌅ |x|  x  |x| per ogni x 2 R;

⌅ per ogni > 0, |x| < se e solo se < x < ;

⌅ Disuguaglianza triangolare : |x + y|  |x| + |y|, per ogni x, y 2 R;

⌅ |x · y| = |x| · |y|, per ogni x, y 2 R.

Dalla disuguaglianza triangolare segue inoltre

⌅ |x| |y|  |x y |, per ogni x, y 2 R.

INTERVALLI

Dati a, b 2 R con a  b si dice intervallo limitato un insieme della seguente forma

• [ a, b] = {x 2 R | a  x  b} • [ a, b) = {x 2 R | a  x < b}

• (a, b] = {x 2 R | a < x  b} • (a, b) = {x 2 R | a < x < b}

NOTA: Gli intervalli definiti sopra corrispondono sulla retta reale a dei segmenti che hanno come estremi i punti di ascissa a e b, e ampiezza b a.

NOTA: se a = b allora [a, b] = {a} mentre (a, b) = ;, tali insiemi sono detti intervalli degeneri.

Dato a 2 R, `e detto intervallo illimitato un insieme della forma

• [ a, + 1) = {x 2 R | x a } • ( 1, a] = {x 2 R | x  a}

• (a, + 1) = {x 2 R | x > a} • ( 1, a) = {x 2 R | x < a}

• ( 1, +1) = R

NOTA: Sulla retta reale gli intervalli sopra corrispondono a semirette uscenti dal punto di ascissa a, eccetto l’intervallo ( 1, +1) che corrisponde all’intera retta reale.

Gli intervalli sono caretterizzati dalla seguente propriet` a

I ✓ R `e un intervallo se e solo se presi comunque ↵, 2 I, con

↵ < , e c 2 R tale che ↵  c  , allora c 2 I.

PIANO CARTESIANO

Un sistema di riferimento cartesiano Oxy (o piano cartesiano) `e costituito da due rette reali tra loro perpendicolari che si intersecano nell’origine comune O.

Le due rette vengono dette assi cartesiani, le quattro regioni in cui il piano risulta diviso dai due assi vengono dette quadranti

Attraverso la funzione ascissa `e possibile determinare una corrispondenza biunivoca tra il piano cartesiano e l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali

R

= R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R}

A ogni punto del P del piano cartesiano corrisponde un’ascissa x 2 R e un’ordinata y 2 R pari rispettivamente all’ascissa del punto P

, proiezione del punto P sull’asse delle ascisse, e del punto P

, proiezione del punto P sull’asse delle ordinate

=

Si dice in tal caso che il punto P ha coordinate (x, y) 2 R

e si usa

scrivere P = (x, y), identificando il punto con le sue coordinate.

DISTANZA e PUNTO MEDIO

La distanza d(P

, P

) tra due punti P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) del piano

`e la lunghezza del segmento di estremi P

e P

. Grazie al teorema di Pitagora abbiamo che

d(P

, P

) = p

(x

x

)

+ (y

y

)

Il punto medio di un segmento `e il punto equidistante dai due estremi, ovvero `e il punto che divide il segmento in due parti uguali. Le coordinate del punto medio P

del segmento di estremi P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) sono date da

P

=

⇣ _x

1

+ x

2 , y

+ y

2

⌘

I La distanza tra i punti P

= (1, 3) e P

= (0, 2) vale d(P

, P

) = p

(1 0)

+ ( 3 2)

= p 26.

Il punto medio del segmento di estremi P

e P

`e il punto P

= ⇣ _{1 + 0}

2 , 3 + 2 2

⌘

= ⇣ ₁ 2 , 1

2

⌘ .

TRASFORMAZIONI del PIANO

Ricordiamo alcune trasformazioni del piano.

⌅ La traslazione di vettore ~v = (a, b) trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (x + a, y + b);

⌅ La simmetria centrale di centro il punto P

= (x

, y

) trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (2x

x, 2y

y);

⌅ la dilatazione orizzontale di parametro a > 0 trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (ax, y);

⌅ la dilatazione verticale di parametro b > 0 trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (x, by).

Per esempio

I la traslazione di vettore ~v = (0, 2) trasforma il punto P = (1, 3) nel punto P

= (1, 1);

I la simmetria centrale di centro l’origine O = (0, 0) trasforma il punto P = ( 1, 2) nel punto P

= (1, 2);

I il quadrato Q di vertici A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1) e D = (0, 1) per la dilatazione orizzontale di parametro a = 3 viene trasformato nel rettangolo di vertici A

= (0, 0), B

= (3, 0), C

= (3, 1) e D

= (0, 1);

la dilatazione verticale di parametro b =

lo trasforma nel rettangolo

di vertici A

= (0, 0), B

= (1, 0), C

= (1,

) e D

= (0,

).

LA RETTA

Ricordiamo innanzitutto che una retta in un sistema di riferimento cartesiano Oxy pu` o essere descritta da un’equazione implicita:

ax + by + c = 0 con a, b, c 2 R e a, b non entrambi nulli.

Se b 6= 0, l’equazione potr`a riscriversi nella forma y = mx + q con m, q 2 R , detta equazione esplicita.

Nell’equazione esplicita di una retta y = mx + q, il coefficiente m viene detto coefficiente angolare, q invece ordinata all’origine

Dati due punti P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) con x

6= x

, l’equazione implicita della retta passante per P

e P

`e

(y

y

)(x x

) (x

x

)(y y

) = 0 Se x

6= x

, l’equazione esplicita `e

y = y

+ y

y

x

x

(x x

)

NOTA: il coefficiente angolare della retta vale y

y

x

x

.

In particolare, l’equazione (detta segmentaria) della retta passante per i punti P = (p, 0) e Q = (0, q) `e data da

x p + y

q = 1

I L’equazione della retta passante per i punti (1, 2) e (3, 4) `e ( 4 2)(x 1) (3 2)(y + 4) = 0 ovvero 6x + y 2 = 0 o anche y = 6x + 2;

I L’equazione della retta passante per (3, 0) e (0, 2) `e

+

= 1

ovvero 2x + 3y + 6 = 0 o anche y =

x + 3

RETTE PARALLELE e PERPENDICOLARI

Date due rette di equazione implicita ax + by + c = 0 e a

x + b

y + c

= 0, queste sono

• parallele se e solo se a · b

= a

· b

• perpendicolari se e solo se a · a

+ b · b

= 0

Date due rette di equazione esplicita y = mx + q e y = m

x + q

, queste sono

• parallele se e solo se m = m

• perpendicolari se e solo se m · m

= 1 Per esempio

I Le rette y = 2x 10 e y = 2x + 1 sono parallele I Le rette y =

x + 1 e y =

x sono perpendicolari

PROIEZIONE ORTOGONALE e DISTANZA PUNTO-RETTA

Dati una retta r e un punto P

nel piano, la proiezione ortogonale di P

su r `e il punto H

di intersezione fra r e la retta ortogonale a r passante per P

.La distanza di P

da r `e la distanza di P

da H

.

Abbiamo che

⌅ la distanza fra la retta r di equazione ax + by + c = 0 e il punto P

= (x

, y

) `e

p

a²+b²

⌅ la distanza fra la retta r di equazione y = mx + q e il punto P

= (x

, y

) `e

p

1+m²

ASSE di un SEGMENTO e SIMMETRIA ASSIALE

L’asse di un segmento `e il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stessose e solo se

d(P, P

) = d(P, P

) , (x x

)

+ (y y

)

= (x x

)

+ (y y

)

. La simmetria assiale di asse r trasforma il punto P nel punto P

tale che la retta r sia l’asse del segmento P P

I La simmetria di asse x = 1 manda il punto di coordinate (3, 4) nel punto ( 5, 4), quella di asse y = 2 trasforma il punto ( 4, 3) in ( 4, 1).

I La simmetria di asse la bisettrice y = x manda ( 2, 4) in (4, 2) mentre la simmetria di asse y = x trasforma (4, 2) in (2, 4).

CIRCONFERENZA

Ricordiamo che una circonferenza di centro C e raggio r > 0 `e costituita dai punti P che hanno distanza r dal centro, ovvero tali che d(P, C) = r.

Se C = (x

, y

) il generico punto P = (x, y) della circonferenza dovr` a allora verificare l’equazione

p (x x

)

+ (y y

)

= r , (x x

)

+ (y y

)

= r

I L’equazione x

+ 2x + y

4y 1 = 0 pu` o essere riscritta come (x + 1)

+ (y 2)

= 6, rappresenta quindi una circonferenza di centro C = ( 1, 2) e raggio r = p

6.

I L’equazione x

+ x + y

4y + p

2 + 3 = 0 pu` o essere riscritta come (x +

)

+ (y 2)

=

+ 4 p

2 3 =

p

2 non rappresenta una circonferenza dato che p

2 >

.

In generale l’equazione x

+ y

+ ax + by + c = 0 si pu` o riscrivere come

x +

+ y +

=

c e rappresenta una circonferenza se e

solo se a

+ b

> 4c

ELLISSE

Ricordiamo che un’ellisse `e il luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due fuochi F

e F

risulta costante. Si dice asse focale la retta r passante per i due fuochi, mentre `e detto centro il punto medio del segmento F

F

L’equazione (x x

)

a

+ (y y

)

b

= 1 rappresenta un’ellisse di semiassi a e b, centro (x

, y

) e asse focale parallelo a uno degli assi cartesiani.

I L’equazione 4x

+ 9y

= 36 pu` o essere riscritta come

+

= 1, rappresenta quindi un’ellisse di centro l’origine e semiassi a = 3 e b = 2.

PARABOLA

La parabola P di fuoco F e direttrice `e il luogo dei punti P del piano che sono equidistanti da F e da .

Indicata con H la proiezione ortogonale di F su , il punto medio V del segmento F H si dice vertice della parabola, La retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco si chiama asse della parabola.

NOTA: l’asse della parabola `e asse di simmetria per la parabola

L’equazione y = ax

descrive i punti della parabola con vertice nell’origine, direttrice y =

, fuoco F = (0,

) e asse x = 0.

Osservato che possiamo scrivere

ax

+ bx + c = a x +

riconosciamo che la parabola y = ax

+ bx + c si pu` o ottenere dalla parabola y = ax

operando una traslazione di vettore ~v = Ä

b

2a

,

ä .

⌅ l’equazione y = ax

+ bx + c, a 6= 0, descrive una parabola con vertice V = Ä

2a

,

ä

, fuoco F = Ä

2a

,

ä

, asse x =

.

Si dice inoltre che una parabola y = ax

+ bx + c ha la concavit` a rivolta verso l’alto se a > 0, ha la concavit` a rivolta verso il basso se a < 0.

I La parabola di equazione y = 2x

+ 4x + 3 ha concavit` a verso l’alto, ha vertice V = ( 1, 1) e asse x = 1. L’equazione pu` o essere riscritta come y = 2(x + 1)

+ 1, la parabola si ottiene quindi per traslazione di vettore ~v = ( 1, 1) della parabola y = 2x

.

I L’equazione x = y

+ 1 descrive una parabola con asse orizzontale,

x = 0, vertice V = (1, 0) e concavit` a verso destra: si ottiene dalla

parabola x = y

per traslazione di vettore ~v = (1, 0)

IPERBOLE

Dati due punti distinti F

e F

nel piano, si chiama iperbole I di fuochi F

e F

l’insieme dei punti P del piano tali che il valore assoluto della di↵erenza delle distanze da F

e F

risulti costante.

Il punto medio C del segmento F

F

viene detto centro dell’iperbole, la retta per F

e F

si chiama asse focale.

Presi a, b > 0 e posto c = p

a

+ b

, abbiamo che

⌅ il luogo dei punti P = (x, y) tali che

b²

= 1 `e l’iperbole che ha centro nell’origine, fuochi ( ±c, 0) e asse focale y = 0;

⌅ il luogo dei punti P = (x, y) tali che

b²

= 1 `e l’iperbole che ha centro nell’origine, fuochi (0, ±c) e asse focale x = 0.

NOTA: Le rette y = ±

x sono dette asintoti dell’iperbole

= ±1.

I

L’equazione

= 1 descrive un’iperbole di centro l’origine, fuochi ( ±5, 0), asse focale y = 0 e asintoti y = ±

x

I

L’equazione

= 1 descrive un’iperbole di centro l’origine, fuochi (0, ±4), asse focale x = 0 e asintoti y = ±

x

L’equazione x

y

= k con k 6= 0 descrive un’iperbole avente per asintoti le bisettrici y = ±x, tale iperbole `e detta equilatera.

NOTA: l’equazione xy = k descrive un’iperbole equilatera con asse la bisettrice y = x se k > 0, y = x se k < 0, e con asintoti gli assi cartesiani

FUNZIONI REALI

Si dice funzione reale una funzione f : D ✓ R ! C ✓ R.

Il grafico di una funzione reale `e il sottoinsieme di R

definito da Graph(f ) = {(x, y) 2 R

| x 2 D, y = f(x)} = {(x, f(x)) 2 R

| x 2 D}

e potremo quindi rappresentarlo in un piano cartesiano Oxy

I La funzione f : R ! R definita da f(x) = x

ha per grafico la parabola di equazione y = x

I La funzione f : R \ {0} ! R data da f(x) =

ha per grafico l’iperbole

equilatera xy = 1.

Nel caso di funzioni reali, spesso si usa indicare solo la legge f (x), sottointendendo che il dominio D `e costituito da tutti i numeri reali per i quali sono possibili le operazioni indicate nella legge f (x).

I

Funzione costante: f (x) = b per ogni x 2 R, si ha Dom(f(x)) = R e Im(f (x)) = {b}

I

Funzione segno: sgn(x) =

® 1 se x > 0,

1 se x < 0, abbiamo Dom(sgn(x)) = R \ {0} e Im(sgn(x)) = { 1; 1}.

I

Funzione parte intera: f (x) = [x] = n dove n 2 Z `e tale che n  x < n + 1. Si ha che Dom([x]) = R e Im([x]) = Z .

I

Funzione lineare: f (x) = ax + b per ogni x 2 R, si ha Dom(f (x)) = R e se a 6= 0, Im(f(x)) = R;

I

Funzione valore assoluto: f (x) = |x| =

® x se x 0, x se x < 0, dove Dom(f (x)) = R e Im(f(x)) = [0, +1)

FUNZIONI PERIODICHE, PARI e DISPARI

Una funzione f : D ✓ R ! R `e detta periodica di periodo T 2 R se

• D `e tale che x + T 2 D per ogni x 2 D,

• f (x + T ) = f (x) per ogni x 2 D.

La funzione mantissa m(x) = x [x] `e un esempio di funzione periodica di periodo 1.

Data una funzione reale f : D ✓ R ! R , sia D simmetrico rispetto all’origine, cio`e sia tale che se x 2 D allora x 2 D.

La funzione `e detta pari se

f ( x) = f (x) per ogni x 2 D La funzione `e detta invece dispari se

f ( x) = f (x) per ogni x 2 D

Abbiamo che il grafico di una funzione pari risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate mentre quello di una funzione dispari risulta simmetrico rispetto all’origine del piano cartesiano.

Per esempio le funzioni |x| e x

sono pari, mentre sgn(x), x e x

sono

funzioni dispari.

FUNZIONI MONOTONE

Una funzione f : D ✓ R ! R si dice crescente in un intervallo I ✓ D se 8x

, x

2 I si ha che x

< x

) f(x

)  f(x

)

Si dice decrescente in un intervallo I ✓ R se

8x

, x

2 I si ha che x

< x

) f(x

) f (x

) Una funzione si dice monotona se `e crescente oppure decrescente.

Quando vale la disuguaglianza stretta anche per i valori della f (x), allora la funzione si dice strettamente monotona. In particolare, la funzione `e strettamente crescente in un intervallo I ✓ D se

8x

, x

2 I si ha x

< x

) f(x

) < f (x

)

`e strettamente decrescente in un intervallo I ✓ D se 8x

, x

2 I si ha x

< x

) f(x

) > f (x

) Osserviamo che ogni funzione strettamente monotona `e iniettiva

EQUAZIONI e DISEQUAZIONI

Ricordiamo che un’equazione `e un’espressione del tipo a(x) = b(x)

dove a(x) e b(x) sono funzioni a valori reali, definite in un insieme D ✓ R.

Una disequazione `e una relazione della forma a(x) < b(x)

dove a(x) e b(x) sono funzioni reali definite in D ✓ R. Risolvere una disequazione vuol dire determinare tutte le soluzioni, cio`e tutti i numeri reali x 2 D per i quali la disuguaglianza `e verificata.

La prima cosa da fare per risolvere un’equazione o disequazione `e determinarne il dominio (o campo di esistenza), cio`e l’insieme dei numeri reali in cui sono definite le funzioni che vi intervengono.

Si procede quindi a trasformare l’equazione o disequazione in altre

equivalenti, fino ad ottenere equazioni o disequazioni la cui soluzione `e

nota.

Due equazioni (risp. disequazioni) si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, in tal caso scriveremo

a(x) = b(x) , A(x) = B(x) (risp. a(x) < b(x) , A(x) < B(x) )

• Quali sono le trasformazioni corrette di un’equazione?

Ogni trasformazione di un’equazione pu` o essere vista come l’applicazione di una particolare funzione f , cio`e a(x) = b(x) f(a(x)) = f(b(x)).

I

quando si eleva al quadrato a(x) = b(x) (a(x))

= (b(x))

si sta applicando la funzione f (x) = x

.

Tali passaggi sono corretti se e solo se vale la relazione a(x) = b(x) , f (a(x)) = f (b(x))

cio`e se e solo se la funzione f `e iniettiva e a(x), b(x) appartengono al suo dominio D

:

⌅ le equazioni a(x) = b(x) e f (a(x)) = f (b(x)) sono equivalenti se e solo se f `e iniettiva e a(x), b(x) 2 D

.

I

2x + 1 = 2 + x ⇢ , (2x + 1) ⇢

= (2 + x)

poich`e l’elevamento al quadrato non `e una funzione iniettiva.

• Quali sono le trasformazioni corrette di una disequazione?

Come per le equazioni, ogni passaggio nella risoluzione di una disequazione pu` o essere visto come l’applicazione di una particolare funzione f , cio`e

a(x) < b(x) f(a(x)) < f(b(x)) oppure a(x) < b(x) f(a(x)) > f(b(x)) . I passaggi sopra sono corretti se valgono le relazioni

a(x) < b(x) , f(a(x)) < f(b(x)) oppure a(x) < b(x) , f(a(x)) > f(b(x)) Questo equivale a dire che a(x), b(x) appartengono al dominio D

della funzione f e che la funzione f `e strettamente crescente nel primo caso, strettamente decrescente nel secondo caso:

⌅ le disequazioni a(x) < b(x) e f (a(x)) < f (b(x)) sono equivalenti se e solo se f `e strettamente crescente e a(x), b(x) 2 D

;

⌅ le disequazioni a(x) < b(x) e f (a(x)) > f (b(x)) sono equivalenti se e

solo se f `e strettamente decrescente e a(x), b(x) 2 D

.

La disequazione a(x) < b(x) non `e equivalente a a

(x) < b

(x) dato che la corrispondente funzione f (x) = x

non `e monotona in R.

Abbiamo per` o che f (x) = x

`e strettamente crescente in [0, + 1) e strettamente decrescente in ( 1, 0], quindi

0  a(x) < b(x) , a

(x) < b

(x) mentre

a(x) < b(x)  0 , a

(x) > b

(x).

Per esempio 2x + 1 < 2 + x ⇢ , (2x + 1) ⇢

< (2 + x)

, la prima ha come soluzioni ogni x 2 ( 1, 1), la seconda solo gli x 2 ( 1, 1). Si ha invece che

I

se 2x + 1 e 2 + x sono entrambi non negativi, allora 2x + 1 < 2 + x , (2x + 1)

< (2 + x)

I

se 2x + 1 e 2 + x sono entrambi non positivi, allora 2x + 1 < 2 + x , (2x + 1)

> (2 + x)

I

se 2x + 1 e x + 2 hanno segno discorde e 2x + 1 < x + 2, non si pu` o dedurre nulla sull’ordinamento di (2x + 1)

e (x + 2)

!!

OPERAZIONI tra FUNZIONI REALI

A partire dalle operazioni tra numeri reali si possono definire analoghe operazioni tra funzioni reali.

Date due funzioni f, g : D ✓ R ! R, possiamo definire:

I

la funzione somma e di↵erenza f ± g , definite da (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) per ogni x 2 D;

I

la funzione prodotto f · g definita da (f · g)(x) = f(x) · g(x) per ogni x 2 D;

I

la funzione quoziente, ^f

g definita da ⇣ _f

g

⌘

(x) = f (x)

g(x) per ogni x 2 D tale che g(x) 6= 0.

NOTA: Le funzioni somma e prodotto sono definite nello stesso dominio D

delle funzioni f e g, mentre la funzione quoziente `e definita nel sottoinsieme

D

= {x 2 D | g(x) 6= 0}

TRASFORMAZIONI di GRAFICI

Per alcune particolari composizioni di funzioni `e possibile ricavare il grafico della funzione composta a partire da quello delle funzioni componenti, con semplici trasformazioni geometriche del grafico come traslazioni, simmetrie assiali e riscalamenti.

I Traslazioni

Data una funzione reale f (x), se g(x) = x + k, dove k 2 R, il grafico delle funzioni composte

(g f )(x) = f (x) + k e (f g)(x) = f (x + k).

si ottiene per traslazione del grafico di f (x). Precisamente, per ogni k 2 R si ha

⌅ il grafico della funzione f (x) + k si ottiene traslando verticalmente il grafico di f (x), verso l’alto se k > 0, verso il basso se k < 0,

⌅ il grafico della funzione f (x + k) si ricava traslando

orizzontalmente il grafico di f (x), verso sinistra se k > 0, verso destra se k < 0.

I Simmetrie

Altre composizioni rilevanti si trovano componendo la funzione g(x) = x con una funzione f (x), ottenendo le funzioni

(g f )(x) = f (x) e (f g)(x) = f ( x).

⌅ il grafico di f (x) `e il simmetrico rispetto all’asse x del grafico di f (x),

⌅ il grafico di f ( x) `e il simmetrico rispetto all’asse y del grafico

di f (x).

Particolari simmetrie, parziali, si trovano componendo una funzione f (x) con la funzione g(x) = |x|

(g f )(x) = |f(x)| e (f g)(x) = f ( |x|).

⌅ il grafico di |f(x)| si ottiene da quello della funzione f(x) operando una simmetria rispetto all’asse x della porzione di grafico in cui y = f (x) < 0;

⌅ il grafico di f ( |x|) si ottiene da quello della funzione f(x) operando una simmetria rispetto all’asse y della porzione di grafico in cui x > 0.

I Ricaviamo il grafico della funzione g(x) = 2

.

A partire dal grafico della funzione f (x) =

(l’iperbole equilatera xy = 1) eseguiamo, nell’ordine, le seguenti trasformazioni sui grafici

I

1 x

1

|x|

I

1

|x|

1

|x 1|

I

1

|x 1 |

1

|x 1 |

I

1

|x 1 | 2 1

|x 1 |

I

2 1

|x 1 | 2 1

|x 1 |

I Riscalamenti

Altre interessanti composizioni di funzioni si ottengono componendo una funzione f (x) con la funzione g(x) = kx, dove k > 0,

(g f )(x) = kf (x) e (f g)(x) = f (kx).

⌅ Il grafico della funzione kf (x) si ottiene operando un riscalamento della variabile y, che ha l’e↵etto di una dilatazione verticale se k > 1, una contrazione verticale se k < 1;

⌅ il grafico della funzione f (kx) si ottiene operando un riscalamento della variabile x, che ha l’e↵etto di una dilatazione orizzontale se k < 1, una contrazione orizzontale se k > 1.

Il grafico delle funzioni f (x) = x

1 e g(x) = kf (x) per k = 2 e k =

Il grafico delle funzioni f (x) = x

1 e g(x) = f (kx) per k = 2 e k =

GRAFICO della FUNZIONE INVERSA

Data una funzione reale bijettiva f : D ! C, per ogni a 2 D, posto b = f (a), si ha

(a, b) = (a, f (a)) 2 Graph(f) , (b, a) = (b, f

(b)) 2 Graph(f

) Essendo i punti (a, b) e (b, a) del piano simmetrici rispetto alla bisettrice y = x, otteniamo

⌅ il grafico della funzione inversa y = f

(x) `e simmetrico al grafico di y = f (x) rispetto alla bisettrice y = x.

0 a

x b

y

b a

y = x (a, f (a))

(b, f

(b))

POTENZE a ESPONENTE INTERO

Dato n 2 Z intero positivo, si pone per definizione x

= x | · x · ... · x {z }

n volte

per ogni x 2 R.

Per ogni x 2 R non nullo si definisce inoltre x

= 1 e x

=

. Per n 2 Z e x 2 R non nullo, il numero x

`e detto potenza di esponente n e base x.

Per ogni x, y 2 R \ {0} e n, m 2 Z risulta

⌅ x

· x

= x

⌅ (x

)

= x

= (x

)

⌅ x

=

⌅ (x · y)

= x

· y

In particolare, dall’ultima propriet` a, per ogni x 2 R \ {0} e n 2 Z, si ha

⌅ ( x)

= x

se n `e pari, ( x)

= x

se n `e dispari;

⌅ x

0 se n `e pari.

Inoltre per ogni n, m interi positivi abbiamo

⌅ se 0 < x < y allora x

< y

⌅ per n < m, se x 2 (0, 1) allora x

> x

, mentre se x 2 (1, +1) si ha x

< x

NOTA: Se n 2 N `e dispari, risulta

x < y se e solo se x

< y

. Se invece n 2 N `e pari con n 6= 0, abbiamo che

se 0 < x < y allora x

< y

e se x < y < 0 allora x

> y

Se invece x < 0 < y nulla si pu` o dire riguardo all’ordinamento di x

e y

.

I Dato che 0 < 2 <

, abbiamo 2

<

mentre essendo

<

< 0 abbiamo

>

.

I ^Risulta 2 < 0 < 3 e ( 2)

= 4 < 3

= 9 mentre 1 < 0 <

ma ( 1)

= 1 >

=

.

Dato n intero positivo consideriamo la funzione potenza a esponente intero positivo p

(x) = x

. Abbiamo

⌅ ^DOMINIO : Dom(p

) = R;

⌅ ^IMMAGINE : Im(p

) = R se n `e dispari, Im(p

) = [0, + 1) se n `e pari;

⌅ ^SIMMETRIE : p

(x) `e funzione dispari se n `e dispari, pari se n `e pari;

⌅ ^MONOTONIA : p

(x) `e strettamente crescente in R se n `e dispari,

mentre se n `e pari p

(x) `e strettamente crescente in [0, + 1),

strettamente decrescente in ( 1, 0].

Per ogni n, m interi con 0 < n < m si ha

⌅ ^CONFRONTO : p

(x) > p

(x) per x 2 (0, 1) mentre p

(x) < p

(x) per x 2 (1, +1).

Per ogni n intero positivo, consideriamo la funzione potenza a esponente intero negativo p

(x) = x

=

. Si ha

⌅ ^DOMINIO : Dom(p

) = R \ {0}

⌅ ^IMMAGINE : Im(p

) = R \ {0} se n `e dispari, Im(p

) = (0, + 1) se n `e pari

⌅ ^SIMMETRIE : p

(x) `e funzione dispari se n `e dispari, pari se n `e pari

⌅ ^MONOTONIA : p

(x) `e strettamente decrescente in (0, + 1), mentre

in ( 1, 0) `e strettamente decrescente se n `e dispari, strettamente

crescente se n `e pari.

POLINOMI

A partire dalle potenze a esponente naturale x

con n 2 N sono definiti i polinomi.

p(x) = a

x

+ a

x

+ ... + a

x + a

,

dove a

2 R per ogni k = 0, ..., n, sono i coefficienti del polinomio, a

il termine noto, a

se non nullo coefficiente direttore.

Si dice grado del polinomio p(x) il grado massimo delle potenze che compaiono nel polinomio.

Si dice inoltre monomio un polinomio dove compare una sola potenza, binomio se compaiono due potenze, trinomio se le potenze sono tre.

Ricordiamo inoltre che si dice zero o radice di un polinomio p(x) ogni numero reale x

per il quale risulta p(x

) = 0.

I Il polinomio p(x) = 2x

+ x + 1 `e un trinomio, ha grado 4, termine noto 1 e coefficiente direttore 2. x

= 1 `e un suo zero.

EQUAZIONI e DISEQUAZIONI ALGEBRICHE

Un’equazione o disequazione algebrica `e un’equazione o disequazione dove sono coinvolti dei polinomi, che potremo scrivere in forma canonica come

p(x) = 0, p(x) > 0 oppure p(x) < 0, dove p(x) `e un polinomio.

Si dice grado dell’equazione o della disequazione il grado del polinomio p(x), coinvolto nell’equazione o disequazione.

I ^x

+ x = 0 `e un’equazione di grado 2.

I ^x

x + 1 > 0 `e una disequazione di grado 3.

Per risolvere un’equazione o per trasformarla in un’equazione equivalente potremo usare le seguenti propriet` a, conseguenze degli assiomi algebrici.

⌅ Aggiungendo o togliendo ad ambo i membri di un’equazione una stessa quantit` a, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

⌅ Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per una stessa quantit` a non nulla, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

I l’equazione 3x

+ 2x = x 1 risulta equivalente all’equazione 3x

+ x + 1 = 0,

I l’equazione

x

+ x = 1 risulta equivalente all’equazione x

+ 2x = 2.

Attenzione a quando si moltiplicano o dividono ambo i membri di un’equazione per un’espressione contenente un’indeterminata

I L’equazione x

(x 3) = x 3 non risulta equivalente all’equazione x

= 1, essendo x

= 3 soluzione della prima ma non della seconda equazione.

I L’equazione ↵x

+ 2↵x = ↵

, dove ↵ `e un parametro reale, risulta equivalente all’equazione x

+ 2x = ↵ solo nel caso in cui ↵ 6= 0. Se

↵ = 0 l’equazione risulta verificata da ogni x 2 R.

Per risolvere una disequazione o per trasformarla in una disequazione equivalente potremo invece usare le seguenti propriet` a, conseguenze degli assiomi d’ordine.

⌅ Aggiungendo o togliendo ad ambo i membri di una disequazione una stessa quantit` a, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

⌅ Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una disequazione per una stessa quantit` a positiva, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

I ^2x

^{+ 2x}  1 `e equivalente a 2x

+ 2x 1  0 a sua volta equivalente a x

+ x

 0

Attenzione a quando si moltiplicano o dividono ambo i membri di una disequazione per un’espressione contenente un’indeterminata (incognita o parametro).

I La disequazione x

+ 2x  x non risulta equivalente alla disequazione x + 2  1, essendo x

= 0 soluzione della prima ma non della seconda.

I La disequazione ↵x  2 , dove ↵ `e un parametro reale, risulta

equivalente all’equazione x 

solo nel caso in cui ↵ > 0. Se ↵ < 0 la

disequazione risulta verificata da ogni x

.