Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 7/9/2009

A.A. 2008/2009

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: Determinare l’unica soluzione limitata y(t) dell’equazione y ⁰⁰ − 4y = 3e ^−2t , t > 0,

che verifica la condizione y(0) = 1.

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = (u cos v, u ² − 2u, u sin v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

`e una superficie regolare. Dimostrare inoltre che si tratta di una superficie di rotazione e determinarne la sua equazione cartesiana.

Problema 3: Calcolare l’integrale Z

|z|=2

(z ² − z)e

dz.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione ( −1, −π ≤ x < 0,

1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X ∞ n=0

1 (2n + 1) ² ,

X ∞ n=0

(−1) ⁿ 2n + 1 .

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Tema 2: Teorema di Cauchy per funzioni olomorfe.