Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche 7/7/2010

A.A. 2009/2010

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y

= t sin 2y,

y(0) =

. (b) Risolvere esplicitamente il problema stesso.

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = ¡

(u

− u) cos v, (u

− u) sin v, u ¢

, (u, v) ∈ [0, 1] × [0, 2π],

`e una superficie regolare, di rotazione e calcolare il flusso del campo F = (x

y + z, y − xy

, x − z)

attraverso Σ.

Problema 3: Calcolare il seguente integrale Z

R

x

− x + 1

x

+ 10x

+ 9 cos x dx.

Problema 4: Sia A ⊂ R un insieme esprimibile come unione di un numero finito di intervalli a due a due disgiunti.

(i) Dimostrare che se A ⊂ [0, 1], allora

n→+∞

lim Z

A

x

e

cos nx dx = 0 e lim

n→+∞

Z

A

x

e

sin nx dx = 0.

(ii) Se A `e limitato, l’asserzione al punto (i) continua ad essere vera?

Parte B. Discutere i seguenti argomenti:

Tema 1: Teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli.

Tema 2: Equazioni di Cauchy-Riemann.