Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Analisi Matematica IIb

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 10/07/2008

A.A. 2007/2008

Parte A. Risolvere i seguenti esercizi:

Problema 1: (a) Studiare qualitativamente la soluzione y(t) del problema di Cauchy ( y

= t

y(3 − 2y),

y(0) = 1.

(b) Risolvere il problema stesso e verificare i risultati ottenuti nel punto (a).

Problema 2: Verificare che la superficie (Σ, ~r) di equazione parametrica

~r(u, v) = (u

, u cos v, u sin v), (u, v) ∈ [1, 2] × [0, 2π),

`e una superficie regolare.

Calcolare il flusso del campo vettoriale F = ~

µ 0, y

y

+ z

, z y

+ z

¶

attraverso la superficie Σ.

Problema 3: (a) Classificare le singolarit`a della funzione e

z

+ 4 . (b) Calcolare l’integrale

+∞

Z

−∞

cos x 4 + x

dx.

Problema 4: Sia f il prolungamento periodico su R della funzione (

−1, −π ≤ x < 0, 1, 0 ≤ x < π.

Calcolare la serie di Fourier associata a f , studiarne la convergenza, scri- vere l’identit`a di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

X

1 (2n + 1)

,

X

(−1)

2n + 1 .

Parte B. Discutere almeno uno dei seguenti argomenti:

Tema 1: Prolungamento della soluzione locale del Problema di Cauchy.

Tema 2: Formula integrale di Cauchy.