a4.4 La Linea eLastica

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a4.4 La Linea eLastica

Progettando un elemento di una costruzione o di un organo meccanico, oltre a determinare le sollecitazioni e le tensioni, può essere utile co

noscere anche le deformazioni prodotte dai carichi esterni; ciò diventa indispensabile nella determinazione delle reazioni vincolari delle travi iperstatiche, ossia delle travi con vincoli sovrabbondanti. Inoltre, l’in

fluenza sulla deformazione dell’asse geometrico, det ta linea elastica o deformata elastica delle travi inflesse, da parte delle forze di taglio, è trascurabile, per cui si considerano solo le azioni di deformazione dovute al momento flettente.

Si consideri una trave inflessa, soggetta a un generico sistema di for

ze esterne, e si assuma un sistema di assi cartesiani ortogonali tali che, l’asse delle ascisse coincida con l’asse della trave e l’asse delle ordinate rappresenti l’abbassamento y subito da una sezione generica in se guito alla deformazione (4Fig. 4.23).

Fig. 4.23

Rappresentazione della linea elastica di una trave, sottoposta a un sistema generico di forze esterne.

"

L’abbassamento y si assume positivo verso il basso, affinché le ordinate y risultino positive nella maggior parte dei casi.

In riferimento alla figura 4.23, la generica sezione S posta alla di

stanza dx dall’origine degli assi, per effetto della deformazione, subisce una ro tazione dϕ rispetto alla posizione originaria, che può essere es

pres sa come:

dy

ds =tgϕ ^[4.83]

Essendo piccolissimo l’angolo di rotazione, non è un errore sensibile so

stituire tg ϕ con ϕ e ds (lunghezza del tronco dx in seguito alla deforma

zione) con dx; per cui la [4.83] diventa:

dy

dx =ϕ ^[4.84]

da cui, derivando rispetto a x, si ottiene:

d y dx

d dx

2 2 = ϕ ovvero:

d y

dx²₂ dx d= ϕ _[4.85]

poliglotta Linea elastica GB: Elastic curve F: Ligne élastique D: Elastische Linie

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Com’è stato detto riguardo alla flessione semplice, una trave di lunghez

za l, soggetta a un momento flettente costante su tutta la lunghezza, si deforma secondo un arco di cerchio, il cui raggio di curvatura R è:

R E I M_f

=

e la rotazione ϕ di una delle sezioni estreme della trave rispetto all’altra (angolo di flessione) risulta:

ϕ = l = R

M l E I

f

Pertanto l’angolo dϕ, espresso nella [4.85], rappresenta la rotazione fra le due se zioni comprendenti il tronco dx e vale:

d M dx

E I

ϕ = f [4.86]

Sostituendo nella [4.85] risulta:

d y dx

M E I

2 f

2 = [4.87]

che rappresenta l’equazione differenziale della linea elastica.

Osservazioni: il termine (dy/dx), espresso nella [4.84], rappresenta la de rivata prima di y(x) e si indica comunemente con y'; invece il ter- mine (d²y/dx²), espresso nella [4.87], indica la derivata seconda di y(x) e si rappresenta con y''; quindi le relazioni [4.84] e [4.87] si possono scrivere nel modo seguente:

y' = ϕ e:

y M

E I

"= f

Ipotizzando l’asse x positivo verso destra e l’asse y positivo verso il basso, l’equazione differenziale della linea elastica diventa:

y M

E I

"= − f [4.88]

in cui la curvatura y'' e il momento flettente M_f hanno segno opposto.

Infatti, se il momento è positivo, la linea elastica rivolge la concavità nel verso negativo dell’asse y, quindi la curvatura è negativa (4Fig. 4.24a);

mentre se il momento è negativo, la linea elastica rivolge la concavità nel verso positivo dell’asse y, perciò la curvatura è positiva (4Fig.4.24b).

L’integrazione della linea elastica può essere eseguita, caso per caso, se sono note le espressioni del momento flettente M_f, in funzione dell’ascissa x, e del momento quadratico I; integrando due volte si ottie

ne l’ordinata y, che tuttavia non è completamente determinata.

poliglotta

Equazione differenziale GB: Differential equation F: Equation differérentielle D: Differentialgleichung

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Meccanica, Macchine ed Energia – articolazione Energia 2 – Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro • Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A. Infatti, poiché in ogni operazione di integrazione compare una co stante, per determinare completamente l’ordinata y occorre calcolare il valore di due costanti C₁ e C₂, che si ottiene tenendo conto delle condizioni di vincolo della trave.

Eseguendo una prima integrazione della [4.87] si ricava l’espressione dell’angolo di rotazione ϕ = y' di ciascuna sezione, ossia dell’inclinazione della tangente in ogni punto della linea elastica; una seconda integrazio

ne consente di determinare l’espressione dell’ordinata y, ossia l’abbas

samento della sezione, detto freccia di inflessione o, semplicemente, freccia. Ricavato il valore delle co stanti, si calcola la freccia y, funzione della variabile x, assegnando alla x i valori corrispondenti alle sezioni di cui si vuole determinare l’abbassamento.

Esempio 1

Determinare la freccia e la rotazione dell’estremo libero di una tra

ve a mensola, di sezione costante, soggetta a un carico F concentrato nell’estremo libero (4Fig. 4.25).

Fig. 4.24

Andamento della linea elastica in funzione del momento flettente:

a) curvatura negativa con momento flettente positivo;

b) curvatura positiva con momento flettente negativo.

Fig. 4.25

Rappresentazione della linea elastica di una trave a mensola, di lunghezza l, sottoposta a un carico concentrato nell’estremo libero.

Soluzione

L’espressione del momento flettente è:

M_x = −F x [4.89]

Per la [4.88] l’espressione della linea elastica diventa:

E I y"=F x [4.90]

integrando tale equazione una prima volta si ha:

E I y'= F x² +C₁

2 [4.91]

poliglotta Freccia di inflessione GB: Deflection F: Flèche par pliage D: Durchbiegung

(4)

integrando la seconda volta si ottiene:

E I y= F x6³ +C x C1 + 2 [4.92]

Considerando l’origine degli assi x e y all’estremo libero della mensola e tenendo conto delle condizioni di vincolo della trave, nella sezione d’inca

stro (x = l) devono essere nulle sia la freccia sia la rotazione, ossia:

y = 0 e:

y' = 0 Quindi risulta:

C F l

1

2

= − 2 e:

C F l

2

3

= + 3

Sostituendo i valori delle due costanti nelle relazioni [4.91] e [4.92] si ottiene:

E I y'= F x² −F l²

2 2

e:

E I y= F x³ −F l²x+F l³

6 2 3

Pertanto i valori massimi della rotazione ϕ e della freccia f che si hanno nella sezione all’estremo libero (x = 0), sono:

ϕ = = −y F l ' E I²

2 e:

f y F l

= = E I³

3 [4.94]

L’angolo ϕ risulta negativo perché la rotazione è sinistrogira.

Nel caso delle travi appoggiate, si può eseguire il calcolo della freccia e della rotazione considerando la trave costituita da due mensole e adottan

do, quindi, le espressioni delle frecce e delle rotazioni concernenti queste ultime.

Esempio 2

Determinare la freccia massima e la rotazione degli appoggi di una trave appoggiata, soggetta a un carico F concentrato in mezzeria (4Fig. 4.26).

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La tangente alla deformata nel suo punto di mezzo è orizzontale, per cui ogni metà della trave si comporta come una mensola di lunghezza l/2, soggetta a un carico, concentrato nel suo estremo libero, di intensità F/2 (4Fig. 4.26b).

A tale mensola è possibile applicare la [4.94], per cui si ha:

f

F l E I

F l

= E I

 

 = 2 2

3 48

3

Per quanto riguarda l’angolo di rotazione dell’estremità, applicando la [4.93] risulta:

ϕ =

 

 = F l

E I

F l E I 2 2

2 16

2

Nella tabella 4.1 sono indicati i valori delle rotazioni ϕ e delle frecce f re la

tivi ad alcune travi a mensola e appoggiate, con diverse condizioni di ca ri co.

Fig. 4.26

a) Rappresentazione della linea elastica di una trave appoggiata, di lunghezza l, sottoposta a un carico concentrato in mezzeria.

b) Trave a mensola di lunghezza l/2, soggetta a un carico concentrato F/2 all’estremità libera, che costituisce la metà della trave appoggiata.

Tabella 4.1 Valori delle frecce e delle rotazioni per alcune travi soggette a vari sistemi di carico (continua) Schema della trave Freccia f Rotazione ϕ

f F l

= E I³

3 ϕ = F l

E I

2

f Mf l

= E I

2

2 ϕ = Mf l

E I

(6)

Tabella 4.1 Valori delle frecce e delle rotazioni per alcune travi soggette a vari sistemi di carico (segue) Schema della trave Freccia f Rotazione ϕ

f q l

= E I⁴

8 ϕ= q l

E I

3

6

f F l

= E I

3

48 ϕ = F l

E I

2

16

f Mf l

= E I

2

8 ϕ = Mf l

E I 2

f q l

= 5 E I 384

4

ϕ = q l E I

3

24

a4.5 cenni suLLe travi iperstatiche

I problemi riguardanti le travi con vincoli sovrabbondanti, o travi iper- statiche, si dicono staticamente indeterminati e non possono essere ri solti con le sole equazioni cardinali della Statica (equazioni di equili

brio relative alla traslazione e alla rotazione). Ogni vincolo presenta da una a tre reazioni e il numero di equazioni di equilibrio corrisponde al numero del le reazioni vincolari. Pertanto, per risolvere i problemi iper

statici, oc cor re aggiungere al sistema formato dalle equazioni cardinali della Statica – sufficienti per i sistemi staticamente determinati (siste

mi isostatici) – le equazioni supplementari con cui completare il numero di equazioni costituenti il sistema.

Le equazioni supplementari si basano sul principio che i vincoli sovrabbondanti, non necessari per l’equilibrio, limitano la deformazione del corpo.

Il procedimento da seguire per risolvere questo tipo di problemi è il se guente:

— si eliminano i vincoli sovrabbondanti, sostituendoli con le reazioni in

co gnite; in questo modo si rende la trave isostatica e si determinano

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le deformazioni generate dai carichi esterni, nei punti dove sono posti tali vincoli;

— si determinano le deformazioni nei punti dei vincoli eliminati, consi

derando la trave soggetta alla sola azione delle reazioni eliminate;

— si impone che le deformazioni, generate separatamente dai carichi esterni e dai vincoli eliminati, siano uguali.

Si ottengono così tante equazioni quante sono le incognite sovrabbon

danti che, associate alle equazioni cardinali della Statica, consentono di risolvere il problema.

Esempio

Determinare le reazioni vincolari e tracciare i diagrammi delle sollecita

zioni di taglio e flessione della trave iperstatica (4Fig. 4.27), soggetta a un carico distribuito uniformemente.

Fig. 4.27

a) Trave incastrata a un estremo e appoggiata all’altro, sottoposta a un carico uniformemente distribuito su tutta la sua lunghezza.

b) Trave a mensola, soggetta al carico distribuito.

c) Trave a mensola, soggetta solo all’azione della reazione R_VB del vincolo.

d) Diagramma del taglio.

e) Diagramma del momento flettente.

" "

Soluzione

Il carico complessivo agente sulla trave è:

Q = q l Le equazioni di equilibrio sono:

R

R R Q

M Q l R l

OA

VA VB

A VB

=

+ − =

− + − =

0

2 0

[4.95]

(8)

Eliminando per esempio l’appoggio B, la trave diventa isostatica, ossia una trave a mensola con carico distribuito (4Fig. 4.27b) e il valore della freccia all’estremo B è dato da:

f Q l

'=1 E I 8

3 [4.96]

Tale relazione indica la freccia all’estremo libero di una trave a mensola, sottoposta a un carico uniformemente distribuito (4Tab. 4.1).

Considerando la trave a mensola soggetta solo all’azione della rea

zione R_VB del vincolo eliminato (4Fig. 4.27c), la freccia generata ha il valore (4Tab. 4.1):

f R l

E I^VB

"= 1 3

3 [4.97]

Poiché l’estremità della trave originaria non presenta alcuno sposta

mento, le due frecce si devono compensare, ossia devono avere lo stesso valore assoluto, f' = f'':

1 8

1 3

3 3

Ql E I

R l E I^VB

= [4.98]

l’equazione supplementare appena descritta è associata alle equazioni di equilibrio del sistema, espresse dalla [4.95], per ricavare tutte le rea

zioni vincolari.

Dalla [4.98] si ottiene il valore:

R_B= 3Q

8 [4.99]

sostituendo nel sistema [4.95], dalla seconda equazione si ricava:

R_VA = −Q 3Q= Q 8

5

8 [4.100]

dalla terza equazione si ricava:

M_A =Q l− Q l= Q l 2

3 8

1

8 [4.101]

Determinate le reazioni vincolari, è possibile disegnare i diagrammi di sollecitazione del taglio e del momento flettente.

Il taglio in una sezione generica pertanto vale:

T= −3ql q x−

8 [4.102]

e varia linearmente come rappresentato nella figura 4.27d.

(9)

Il momento flettente generico vale:

M=3ql x−q x

8 2

2 [4.103]

ed è rappresentato da un diagramma parabolico (4Fig. 4.27e).

Il momento flettente massimo si ha dove il taglio è nullo, ossia per x = (3/8) l e vale:

M_max = 9 Q l

128 [4.104]

(10)

L’unità didattica in breve a4

Generalità

Quando i vincoli di una struttura sono strettamente sufficienti al suo equilibrio, essa è detta isostatica; al contrario, quando i vincoli sono sovrabbondanti, la struttura è detta iperstatica.

L’effetto che le azioni esterne esercitano localmente in una sezione generica di una trave, ad asse rettilineo orizzontale e a sezione costan

te, è analizzato considerando la trave caricata da un sistema di forze, situato nel piano di sollecitazione, contenente il suo asse; la trave, in questo caso, è detta piana. Una trave, sottoposta a un sistema di forze perpendicolari al proprio asse geometrico, che generano sollecitazioni di taglio e flessione, è detta trave inflessa.

Per calcolare le sollecitazioni di taglio e di flessione nelle travi in

flesse, occorre inizialmente determinare le reazioni vincolari, i cui valori sono calcolati mediante le equazioni cardinali della Statica.

Poiché si considerano le travi piane ad asse orizzontale, sottoposte a carichi perpendicolari al proprio asse, i vincoli sviluppano solo reazio

ni verticali, per cui la condizione di isostaticità della tra ve può essere realizzata mediante due appoggi semplici, non essendovi differenza, in questo caso, fra la cerniera e il carrello; così facendo le reazioni vinco

lari da determinare si riducono a due. Pertanto, per la determinazio

ne delle reazioni vincolari, sono sufficienti due sole equazioni cardinali della Statica: quella di equilibrio relativa alla traslazione verticale e quella di equilibrio re la tiva alla rotazione intorno a qualunque punto del piano della trave.

Determinate le reazioni vincolari, si procede al calcolo delle solle

citazioni di taglio e di flessione in una generica sezione S della trave, prendendo in esame le forze a sinistra o a destra della suddetta sezione.

Sup ponendo, per esempio, di esaminare le forze a sinistra della sezione S, si osserva che la forza di taglio T è data dalla somma algebrica di tutte le forze (compresa la reazione vincolare) poste a sinistra della sezione considerata. Se nella sezione in esame è applicata una forza, essa non de v’essere compresa nella sommatoria. Il momento flettente si ricava dalla somma algebrica dei momenti di tutte le forze poste a sinistra del

la sezione S, compresa la reazione vincolare.

Al fine di ottenere valore e segno coincidenti, dev’essere stabilita una convenzione per quanto riguarda il segno da attribuire al taglio e al mo

mento flettente.

Per le forze di sinistra si considerano positivi il taglio, se rivolto verso l’alto, e il momento flettente, se ha verso orario. Per le forze di destra si considerano positivi il taglio, se rivolto verso il basso, e il momento flet

tente, se ha verso antiorario. Il taglio T e il momento flettente M variano generalmente da sezione a sezione; inoltre il taglio, il momento flettente e il carico sono legati fra lo ro: nei tratti in cui la trave è scarica, il taglio è costante, mentre il mo mento flettente è massimo nelle sezioni dove il taglio è nullo. Le variazioni delle sollecitazioni di taglio e di flessione in tutte le se zioni di una trave pos sono essere rappresentate mediante dia

grammi. L’e sa me di tali diagrammi consente di individuare direttamente

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le sezioni più pericolose, os sia le sezioni dove si hanno i valori massimi delle sollecitazioni esterne, po tendo così procedere ai calcoli di progetto o di verifica della resistenza della trave.

Si disegna al di sotto della trave una linea orizzontale, detta linea fon damentale, avente la stessa lunghezza della trave, e si individua

no alcune sezioni caratteristiche, che di solito sono quelle in corrispon

denza dei carichi e degli appoggi. Si calcolano i valori della forza di ta glio, immediatamente prima o dopo le sezioni stesse, e si riportano sul la li nea fondamentale, secondo una scala opportuna (per esempio la stes sa di quella adottata per le forze), i segmenti verticali, proporzionali ai valori trovati del taglio; collegando gli estremi di tali segmenti con tratti rettilinei orizzontali si ottiene il diagramma del ta glio. Il dise

gno del diagramma è eseguito, convenzionalmente, riportando sopra o sotto la linea fondamentale le forze di taglio di valore, rispettivamente, positivo o ne gativo.

Il procedimento per determinare il diagramma del momento flettente è analogo a quello del taglio. Assumendo le stesse sezioni caratteristiche, si ricavano i valori dei momenti e si rappresentano sulla linea fon da

men tale, in corrispondenza delle sezioni considerate, mediante segmenti verticali a essi proporzionali secondo la scala prescelta. Unendo con tratti rettilinei i loro estremi si ottiene il diagramma del momento fletten- te, in cui sopra o sotto la linea fondamentale si riportano, rispettivamen

te, i valori positivi o quelli negativi.

La linea elastica

Progettando un elemento di una costruzione o di un organo meccanico, ol

tre a determinare le sollecitazioni e le tensioni, può essere utile conoscere anche le deformazioni prodotte dai carichi esterni; ciò diventa indispensa

bile nella determinazione delle reazioni vincolari delle travi iperstatiche.

L’influenza sulla deformazione dell’asse geometrico, detta linea ela- stica o deformata elastica delle travi inflesse, da parte delle forze di ta glio, è trascurabile, per cui si considerano solo le azioni di deformazio

ne dovute al momento flettente.

L’integrazione dell’equazione differenziale della linea elastica consente di determinare i parametri della deformazione, ossia, la frec- cia di inflessione e gli angoli di rotazione di ciascuna sezione.

I problemi riguardanti travi iperstatiche sono detti staticamente indeterminati e non possono essere risolti con le sole equazioni cardi

nali della Statica. Ogni vincolo presenta da una a tre reazioni e il nu

mero di equazioni di equilibrio corrisponde al numero delle reazioni vin

colari. Pertanto, per risolvere i problemi iperstatici, occorre aggiungere al sistema formato dalle equazioni cardinali della Statica (sufficienti per i sistemi isostatici), le equazioni supplementari, con cui completare il nu mero di equazioni costituenti il sistema.

Le equazioni supplementari si basano sul principio che i vincoli sovrabbondanti, non necessari per l’equilibrio, limitano la deformazione del corpo.

Il procedimento da seguire per risolvere questo tipo di problemi è il seguente:

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— si eliminano i vincoli sovrabbondanti, sostituendoli con le reazioni in cognite, e si rende la trave isostatica, determinando le deforma

zioni generate dai carichi esterni nei punti dove sono posti tali vincoli;

— si determinano le deformazioni nei punti dei vincoli eliminati, con

siderando la trave soggetta alla sola azione delle reazioni eliminate;

— si impone che le deformazioni generate separatamente dai carichi esterni e dai vincoli eliminati siano uguali.

Si ottengono così tante equazioni quante sono le incognite sovrabbon

danti che, associate alle equazioni cardinali della Statica, consentono di risolvere il problema.

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prObLeMi di riepiLOGO a4

1. Eseguire il dimensionamento della trave a mensola (4Fig. 4.28), realiz

zata con un profilato IPE in acciaio S 235, sapendo che la forza applicata all’estremo libero ha intensità F = 2000 N e la lunghezza della trave è l = 3 m.

Fig. 4.28

Trave a mensola soggetta a un carico F concentrato all’estremo libero.

2. Dimensionare la trave a mensola di lunghezza l = 4,5 m, soggetta a più carichi concentrati (4Fig. 4.29), impiegando un profilato HE in acciaio S 235 e considerando i seguenti dati: F₁ = 500 N, F₂ = 900 N, F₃ = 600 N, x₁ = 1,5 m e x₂ = 3 m. Eseguire, inoltre, una verifica a taglio.

3. Eseguire il dimensionamento della trave su due appoggi di estremità, a sezione circolare piena e di lunghezza l = 6 m, sottoposta a un sistema di forze concentrate (4Fig. 4.30), sapendo che il materiale utilizzato è l’acciaio S 235 e che F₁ = 8000 N, F₂ = 4000 N, F₃ = 6000 N, x₁ = 2,5 m, x₂ = 3 m e x₃ = 4,5 m. Eseguire, inoltre, una verifica a taglio.

ud15

4. Una trave con due appoggi di estremità, realizzata con un profilato HE in acciaio S 275, è sottoposta a un carico uniformemente distribuito (4Fig. 4.31). Eseguire il dimensionamento della trave, sapendo che ha

Fig. 4.29

Trave a mensola soggetta a più carichi concentrati.

Fig. 4.30

Trave appoggiata alle estremità, soggetta a più carichi concentrati.

(14)

una lunghezza l = 7 m e che l’intensità per unità di lunghezza del carico è q = 550 daN/m.

Fig. 4.31

Trave appoggiata alle estremità, soggetta a un carico uniformemente distribuito.

5. Una trave con due appoggi di estremità (4Fig. 4.32) è soggetta a un ca

rico uniformemente distribuito su una parte della sua lunghezza.

Dimensionare la trave considerando i seguenti dati: carico distribuito q = 6000 N/m; lunghezza della trave l = 6 m; lunghezza del tratto di trave interessato dal carico distribuito a = 2,5 m; sezione quadrata;

σ_ams = 160 N/mm².

Fig. 4.32

Trave appoggiata alle estremità, soggetta a un carico uniformemente distribuito su una parte della sua lunghezza.

6. Si consideri una trave con due appoggi intermedi, sottoposta a un siste

ma di forze concentrate (4Fig. 4.33). Si vuole eseguire il dimensiona

mento della trave realizzata con un profilato IPE in acciaio S 275, ipo

tizzando i seguenti dati: lunghezza totale della trave l_t = 9 m; distanza fra gli appoggi l = 5 m; lunghezza degli sbalzi x₁ = x₄ = 2 m; x₂ = 2,5 m;

x₃ = 3,5 m; F₁ = 800 N; F₂ = 1600 N; F₃ = 1800 N; F₄ = 1000 N.

Fig. 4.33

Trave con appoggi intermedi, soggetta a carichi concentrati.