1. Risolvere il sistema iperstatico utilizzando l’equazione della linea elastica
Ricordando l’equazione differenziale della linea elastica del 4° ordine:
( )
EI z z q
IV( )=
η , si ha :
l z AB
≤
≤ 0
( )
( ) ( )
4 3 2 2 3 1 4
3 2 2 1 3
2 1 2
1
2 6
) 24 (
2 ) 6
( ) 2 (
) (
) (
c z z c z c
z c q z EI
z c
z z c z c
q z EI
z M c
z z c q z EI
z T c qz z EI
q z EI
I II III IV
+ + +
+
=
⋅
−
= + + +
=
⋅
−
= + +
=
⋅
−
= +
=
⋅
=
⋅
η
ϕ η
η η η
Impostando quindi le condizioni al contorno
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
00 2 0
2 0 6
0 24 0
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1 2
4 3 2 2 3 1 4 3 4
=
−
−
−
→
=
→
=
= + + +
+
→
=
→
=
=
→
=
→
=
=
→
=
→
=
c l l c q l
M B
M
c l l c l c
l c q l
B
c A
c A
η η
ϕ ϕ
η η
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e risolvendo il sistema:
=
−
=
=
=
→
−
−
=
=
− − +
+
=
=
→
−
−
=
= + + +
+
=
=
8 8 5 0 0
2
2 0 2
6 24
0 0
2
2 0 6
24 0 0
2 2 1 3 4
1 2 2
2 1 2 3
1 4 3 4
1 2 2
4 3 2 2 3 1 4 3 4
ql c
ql c
c c
l l c q c
l l l c l q
l c q c c
l l c q c
c l l c l c
l c q c c
da cui riassumendo:
l z AB
≤
≤ 0
( )
( ) ( )
2 2 3
4
2 2
3
2 2
16 1 48
5 24
) 1 (
8 1 16
5 6
) 1 (
8 1 8
5 2
) 1 (
8 ) 5
( ) (
z ql qlz
qz z
EI
z z
ql qlz
qz z
EI
z M ql
qlz qz
z EI
z T ql qz z EI
q z EI
I II III IV
+
−
=
⋅
−
= +
−
=
⋅
−
= +
−
=
⋅
−
=
−
=
⋅
=
⋅
η
ϕ η
η η η
Le reazioni vincolari:
( )
A T( )
A ql M( )
A ql y( )
B T( )
B qly 8
, 3 8
, 1 8
5 2
−
=
=
−
=
=
=
La valutazione della freccia:
I relativi diagrammi
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2. Risolvere il sistema iperstatico con il metodo delle forze
Introducendo una sconnessione semplice in A, si ottiene il sistema equivalente:
Ricordando quindi che, l’effetto momento in A porta a:
, 6
3 EI
Ml EI
Ml
B
A =+ ϕ =−
ϕ
e che, l’effetto carico distribuito porta a:
, 24 24
3 3
EI ql EI
ql
B
A =− ϕ =+
ϕ
ϕA ϕB
A B
ϕA ϕB
A B
dall’ equazione di congruenza, ϕA =0
tramite il principio di sovrapposizione degli effetti ( abbiamo convenzionalmente considerato le rotazioni positive in verso antiorario ) si ha:
0 8 24
3
2
3 ql
EI x ql EI
xl − = → =
+
dal calcolo dell’incognita iperstatica, si perviene poi alla risoluzione completa delle restanti reazioni vincolari ( utilizzando nuovamente il P.S.E):
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3. Risolvere il sistema iperstatico applicando il Principio dei Lavori Virtuali
Dal relativo sistema equivalente:
Sistema (0) Sistema (1) Sistema (2)
Impostando quindi a sistema , le equazioni di Mueller-Breslau:
= +
+
=
= +
+
=
0 0
22 2 21 1 20 2
12 2 11 1 10 1
η η
η η
η η
η η
x x
x x
con :
( )
( ) ( )
EI dz l EI
z lz dz l
EI z ds l
EI M M
EI dz ql
EI
ql qz qz
qz EI dz
z qz l
qlz ql EI ds
M M
EI ds M ds M
EI M ds M
EI M M
S
l l
S
l l
S S
S
3 2
8 2
2 3 2 3 2 2
2
0 ,
0 ,
0
3 0
2 2
0
2 2
2 22
4 0
3 2
3
0
2 2
2 0 20
2 1 12
1 1 11
1 0 10
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
+ =
= −
= −
=
−
=
− + −
=
−
− −
=
=
=
=
=
=
=
=
η η
η η
η
da cui si ha:
=
=
→
+
−
=
⋅
=
EI x ql x
EI x l EI ql x
8 3 0
3 0 8
0 0
2 1 3
2 4 1
.B. Algebricamente la prima equazione è verificata per qualsiasi valore di x1, in realtà il valore reale dix1 è nullo dal momento che sul sistema iperstatico assegnato non gravano azioni risultanti con direzione orizzontale.
Le reazioni vincolari ( utilizzando il P.S.E ):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
B y( )
B x y( )
B x y( )
B ql( )
ql yql l
ql ql A
M x A M x A M A M
ql ql
ql A
y x A y x A y A y
8 1 3 8 3
8 1 8
3 2
8 1 5 8 3
2 2 1 1 0
2 2
2 2 1 1 0
2 2 1 1 0
−
=
− +
= +
+
=
−
= +
−
= +
+
=
=
− + +
= +
+
=
