Forza elastica

Forza elastica

• Forza che origina dalla deformazione dei corpi. Molti corpi si comportano in modo elastico per piccole deformazioni rispetto all’equilibrio.

• E’ una forza variabile, il cui modulo

`e proporzionale allo spostamento rispetto alla posizione a riposo

• Legge di Hooke: F (x) = −kx

x `e l’allungamento o compressione della molla rispetto alla lunghezza di equilibrio, k `e detta costante della molla e si misura in N/m.

Moto armonico

Se tendiamo o comprimiamo una molla con una massa a un estremo e poi la lasciamo andare, la massa osciller`a avanti e indietro (trascuriamo gli attriti). Questa oscillazione `e chiamata moto armonico (semplice).

Ad ogni istante, lungo x: F = ma ma F = −kx da cui

ma = md²x

dt² = −kx ovvero

d²x(t)

dt² = − k

mx(t) = −ω²x(t) dove si `e introdotto ω² = k

m , ovvero ω =

r k

m (frequenza angolare).

Dinamica del moto armonico

La soluzione generale dell’equazione del moto armonico, d²x(t)

dt² = −ω²x(t), `e x(t) = A cos(ωt + φ) da cui

v(t) = dx(t)

dt = −Aω sin(ωt + φ), a(t) = d²x(t)

dt² = −Aω² cos(ωt + φ) = −ω²x(t) Periodo dell’oscillazione: T = 2π/ω

Frequenza dell’oscillazione: f = ω/2π.

Ampiezza massima dell’oscillazione: |x_max| = A. Velocit`a massima:

|v_max| = ωA. Accelerazione massima: |a_max| = ω²A = ω²|x_max|.

La fase φ e l’ampiezza A sono determinate dalle condizioni iniziali.

Da notare che ω non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni!

Moto armonico sotto forza costante

Cosa succede in presenza di forza elastica e di una forza costante?

Esempio: molla verticale con massa attaccata, in posizione y₁(t).

La condizione di equilibrio ci d`a −ky<sub>0</sub> − P = 0 (P = mg `e la forza peso) ovvero la massa scende a quota y₀ = −P/k. L’equazione del moto:

md²y₁(t)

dt² = −ky₁(t) − P

con un cambio di variabile y₁ = y₂ − y₀ ritorna identica a quella del moto armonico semplice. Il centro delle oscillazioni `e solo traslato di −P/k.

Vale per ogni forza costante.

Esercizio: forze elastiche

Nel sistema in figura, α = 45^◦, k = 20 N/m, m = 1 kg e M = 1.2 kg. In assenza di attriti, trascurando la massa della fune inestensibile e la massa e la lunghezza a riposo della molla, si determini:

• l’allungamento della molla per il quale il sistema `e in condizioni di equilibrio.

All’istante t = 0, quando la massa M si trova in x₀ = 0 con v₀ = 0, il sistema viene lasciato libero di oscillare. Determinare:

• l’equazione del moto per M ;

• la soluzione completa per x(t);

• il periodo dell’oscillazione intorno alla posizione di equilibrio;

• la tensione della fune.

Forze in sistemi di riferimento non inerziali

Se il sistema di riferimento SM (non inerziale) `e in moto rettilineo, con accelerazione ~a_t, rispetto al sistema di riferimento (inerziale) SL:

~a = ~a⁰ + ~a_t

Se il moto relativo `e di rotazione con velocit`a angolare ~ω:

~a = ~a⁰ − ω²~r_⊥ + 2~ω × ~v⁰

Nel sistema inerziale, vale la legge di Newton m~a = ~F .

Nel sistema non inerziale, come si applica la legge di Newton?

Forze apparenti

Nel sistema SM possiamo scrivere: m~a⁰ = ~F − ~F_t⁰ + ~F_c⁰ , dove ~F_t⁰ e F~_c⁰ sono forze apparenti. In particolare,

• per moto relativo rettilineo , ~F_t⁰ = m~a_t, dove ~a_t `e l’accelerazione di SM rispetto a SL

• Per moto relativo rotatorio, ~F_t⁰ = ω²~r_⊥ `e nota come forza centrifuga, F~<sub>c</sub><sup>0</sup> = −2~ω × ~v<sup>0</sup> `e nota come forza di Coriolis

Anche in un sistema non inerziale vale la legge di Newton, ma oltre alle forze “fisiche”, derivanti da interazioni fra particelle (qui indicate da ~F ) si debbono considerare forze “apparenti” (qui indicate da ~F_t⁰ e ~F_c⁰) che derivano dalla non-inerzialit`a del sistema di riferimento.

Esercizio: forze apparenti

Un cono di altezza H = 30 cm e raggio di base R = 10.0 cm `e disposto verticalmente con il vertice in basso e ruota a velocit`a angolare ω₀ intorno al suo asse (vedi figura). Sulla sua superficie interna `e poggiato un corpo puntiforme che ruota insieme al cono. Il corpo `e a una quota h = 15 cm al di sopra del vertice del cono ed `e in equilibrio statico rispetto ad esso. Determinare:

• la velocit`a angolare ω₀ del cono, supponendo che la sua superficie non presenti attrito;

• entro quali limiti pu`o essere variata la velocit`a angolare del cono mantenendo il corpo in equilibrio alla quota h, nel caso in cui la superficie del cono presenti attrito con coefficiente di attrito statico µ_s = 0.2.