Modello dinamico dell’intero sistema robotico

1.1. MODELLISTICA - Modellistica dinamica 1.3 8

• Esempio: il sistema robotico Whole Arm Manipulator (WAM)

• Quattro motori elettrici movimentano un sistema robotico a quattro gradi di libert`a. Le coppie dei motori vengono trasmesse ai giunti tramite un sistema di cavi che possiedono una propria elasticit`a residua.

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1.3. MODELLISTICA - Power-Oriented Graphs 1.3 9

Modello dinamico dell’intero sistema robotico

• Dinamica del manipolatore ad n gradi di libert`a (n-link):

M(q)¨q + C(q, ˙q) ˙q + g(q) = τ

• Modello POG dell’intero sistema robotico:

Motori Elettrici V

I_a

- 

1 R + Ls

?

?

 - -K_τ^- τm

K^T_τ^{ -}

1 B + Js

6

6

ωm

- 

Cavi τrm

R^T_d

-R_d^{- - }

K_c

1 s

?

?

?

 τ -

Manipolatore

 -

M^-1

1 s

6 6 6

˙q

-  6g(q)

-

C

?

?



• Equazioni dinamiche nello spazio degli stati:

P 

⎡

⎢⎢

⎢⎣

L 0 0 0 0 J 0 0 0 0 K^-1_c 0 0 0 0 M

⎤

⎥⎥

⎥⎦

 ˙x

⎡

⎢⎢

⎢⎣

˙I_a

˙ωm

¨q˙τ

⎤

⎥⎥

⎥⎦ =

A 

⎡

⎢⎢

⎢⎣

−R −K^T_τ 0 0 K_τ −B −R^T_d 0

0 R_d 0 −1

0 0 1 −C

⎤

⎥⎥

⎥⎦

 x

⎡

⎢⎢

⎢⎣ I_a ωm

τ˙q

⎤

⎥⎥

⎥⎦+

 G

⎡

⎢⎢

⎢⎣ V

00

−g

⎤

⎥⎥

⎥⎦

P˙x = Ax + G.

• La matrice P `e simmetrica, definita positiva e rappresenta l’energia accu- mulata:

E_s = 1

2x^TPx

• Le dinamiche associate all’elasticit`a dei cavi di trasmissione sono spesso trascurabili. In questi casi sarebbe utile poter ottenere il modello “ridotto”.

• Quando K^-1_c → 0, le variabili di stato ω e ˙q risultano legate dalla seguente equazione algebrica:

R_dω_m − ˙q = 0, → ω_m = R^-1_d ˙q

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1.3. MODELLISTICA - Power-Oriented Graphs 1.3 10

• Quando la rigidit`a Kc → ∞, le variabili ωm e τ possono essere eliminate dal modello utilizzando la seguente “trasformazione di congruenza”:

x =

⎡

⎢⎢

⎢⎣ I_a ωm

τ˙q

⎤

⎥⎥

⎥⎦ =

⎡

⎢⎢

⎢⎣

1 00 R^-1_d 0 00 1

⎤

⎥⎥

⎥⎦  I_a

˙q 

= T z

• Le equazioni dinamiche del sistema ridotto sono le seguenti:

¯P˙z = ¯Az + ¯G

dove ¯P = T^TPT, ¯A = T^TAT, ¯G = T^TG. In forma espansa si ha che:

 L 0

0 R^-T_dJR^-1_d + M

  ˙I_a

¨q 

=

 −R −K^T_τR^-1_d R^-T_dK_τ −R^-T_dBR^-1_d − C

  I_a

˙q 

+  V

−g 

• Si noti che il momento di inerzia J dei motori elettrici `e stato trasformato e sommato alla matrice di inerzia M del manipolatore: R^-T_dJR^-1_d + M.

• Sistema dinamico ridotto con l’aggiunta di un controllore di coppia (c.c.):

τ_c ^-K_c^-

 -

c. c.

6

6

V

- 

- 

1 R + Ls

?

?

Ia

 - -K_τ^-

K^T_τ

-R^-T_d^- τ

R^-1_d^{ -}

M^-1_J

1 s

6 6 6

˙q

-  6g(q)

-

C_B

?

?



dove per brevit`a di notazione si `e indicato:

M_J = M(q) + R^-T_dJR^-1_d, C_B = C(q, ˙q) + R^-T_dBR^-1_d.

• Se il controllore garantisce un inseguimento perfetto della coppia si ha:

K_c = [ R^-T_d K_τ ]^-1 → τ = R^-T_dK_τI_a = τc

cio`e “scompare” la dinamica elettrica pi`u interna al sistema.

• Considerando τ = τc come nuovo ingresso, si ottiene:

M_J(q)¨q + CB(q, ˙q) ˙q + g(q) = τ

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