Teorema di Clausius

Teorema di Clausius

le proprietà di una trasformazione ciclica a due temperature sono descritte

Q₁

L

T₁

T₂

T_N-1

T_N

Q₂

Q₃

Q_N

T₃

Q_N-1

poi si deve cercare una trasformazione equivalente

l’idea è quella di considerare una trasformazione ciclica che

possono avvenire a qualunque temperatura

percio’ occorre estendere il teorema di Carnot

soddisfacentemente dal teorema di Carnotma in una generica trasformazione nel caso limite a temperature variabili

con continuità

intermedi possono avvenire nei due sensi, differenti,

scambia calore con una serie di serbatoi a temperature

teorema di Carnot

trasformazioni cicliche a due serbatoi in modo da potere sfruttare il

che realizzi gli stessi scambi di calore e lavoro, costituita da

ciclica gli scambi di calore

si noti gli scambi di calore con i serbatoi

per iniziare inseriamo tra ogni sorgente una macchina ciclica

consideriamo la seguente sequenza di

trasformazioni |Q₁’’|

T₁

T₂

|Q₂’|

L₁

|Q₂’’|

T₃

|Q₃’|

L₂

|Q_N-1’’|

T_N

|Q_N’|

L_N-1

T_N-1

ed applichiamo il teorema di

cicliche tra due serbatoi

Carnot alla j-esima trasformazione

|Q_j^’’|

T_j+1

|Q_j+1’|

L_j

T_j

con T₁ > T_N





1| ^1'|

| ^J_J ''|

Q

Q ^{ 1 1}

| '|

| ''|

Jrev Jrev

Q Q

1 ^1

  ^J

J

T T

1 ^c

a

Q

   Q per il teorema di Carnot

quindi

1| ^1'|

| ^J_J ''|

Q

Q ^{ 1 J}_J^1 T

T

per definizione di rendimento

1 1

 

| '|  

| ^J_J ''| ^J_J

Q T

Q T ossia | ^1'|  ^1

| ^J_J ''| ^J_J

Q T

Q T

T_j+1 > 0inoltre Q_Je’ positivo per definizione^'' percio’ e’ possibile moltiplicare per

entrambi i membri della disuguaglianza dividere per

T_j+1 verso della disuguaglianza

J '' Q senza dover modificare il

e

1 1

 1



| '| 

| ''|

J

J J J

Q

T Q T

1 1

  

| '|

| ^J_J ''| ^J_J

Q T

Q T

dividendo la

per T_j+1 si ha

1 1

 0



 

'' '

J J

J J

Q Q

T T

per le trasformazioni cicliche reversibili

reversibili

1 1

 0



 

| _J ''| | _J '|

J J

Q Q

T T

per le trasformazioni cicliche irreversibili irreversibili

1 1





| _J '| | _J ''|

J J

Q Q

T T

1 1





| _J ''| | _J '|

J J

Q Q

T T

J ''

Q e’ il calore assorbito quindi e’ positivo per definizione percio’

''  ''

J J

Q Q

1'

QJ e’ il calore ceduto quindi e’ negativo per

definizione percio’ ^{1 1}

'   '

J J

Q Q

eliminando i moduli si ottiene

il segno

eseguendo la

moltiplicazione per ^{QJ ''}

si ottiene ossia

= il segno <

dove vale

|Q₁’’|

T₁

T₂

|Q₂’|

L₁

|Q₂’’|

T₃

|Q₃’|

L₂

|Q_N-1’’|

T_N

|Q_N’|

L_N-1

T_N-1

Q₁’’

T₁

T₂

T₃

T_N

Q_N’

T_N-1 2' 2'' Q Q^

3' 3'' Q Q

1' 1''

N N

Q _ Q _

Q₁

L

T₁

T₂

T_N-1

T_N

Q₂

Q₃

Q_N

T₃

Q_N-1

1 2 1

1 1

2 2 2

1 1 1

...

''

' ''

' ''

'

N

N N N

N N

L L L L Q Q

Q Q Q

Q Q Q

Q Q



  

  



 

 



1 1

'' ' 0

J J

J J

Q Q

T ^ T ^_ ^

L =L +L +...L1 2 N-1

1 1

 0



 

'' '

J J

J J

Q Q T T

1 1

2 2 2

1 1 1

  



 

 



''

' '' ...

' ''

'

N N N

N N

Q Q

Q Q Q

Q Q Q

Q Q

1 N 0

J

J J

Q



T



⁰

Trasf Ciclica

dQ T ^



3 1

1 2 2

1 2 2 3 1

 0



   '  ''  ' 

'' ' '' ... ^{N N}

N N

Q Q Q

Q Q Q

T T T T T T

1 2

1 2

3 2

2 3

1 1

0 0

 0



  



  





  



'' '

' ''

...

'' '

N N

N N

Q Q T T Q Q

T T

Q Q

T T

poiche’

sommando tutte le disuguaglianze

ne discende che

Teorema di Clausius

 0



dove il segno di eguaglianza vale per le trasformazioni cicliche reversibili e

in ogni trasformazione ciclica è soddisfatta la relazione trasformazione ciclica quello di minoranza per le trasformazioni

cicliche irreversibili

 0

Re



dQ

data una trasformazione ciclica reversibileciclica reversibile T

conseguenze del teorema di Clausius:

si ha che

in analogia alla meccanica

l’integrale della grandezza dQ/T calcolato lungo unatrasformazione ciclica,

fosse nulla

dalle trasformazioni effettuate

o, in altri termini, lungo un percorso chiuso nei diagrammi di Clapeyron,

in termodinamica possiamo postulare che

 0

Re



dQ T

iniziali e finali la

relazione

ossia che

non dipende

implichi l’esistenza di una

funzione ma solo dalle coordinate

dove il fatto che la circuitazione di un campo vettoriale

implicava l’esistenza di una funzione scalare

delle sole posizioni ma non del percorso

che non dipende dalle trasformazioni termodinamiche effettuate

termodinamiche iniziali e finaliossia di una nuova “funzione di stato”



Re

f

i

X

X v

dQ T lungo una

non sappiamo quanto vale tale funzione

per calcolare tale variazione sappiamo calcolare la variazione

tuttavia che questa funzione subisce tra due stati dobbiamo semplicemente calcolare l’integrale

che connetta i due stati reversibile

reversibile trasformazione

qualunque qualunque

delle sole coordinate termodinamiche

quindi oltre alla funzione di stato energia interna

l’ entropia entropia

esiste una seconda funzione e quindi una seconda funzione di statofunzione di stato

 



Re

( ) ( )

f

i

X

f i

Xv

dQ S X S X

dunque T

si tratta ora di individuare il significato fisico di questa

calcolare le variazioni dell’ energia contenuta

l’energia interna permetteva di nel sistema termodinamico

nuova funzione di stato denominata entropia

la funzione S e’ detta entropia entropia

in un generico stato del sistema