Fisica Generale LA

(1)

L V m

L’

P V

S A

Fisica Generale LA Prof. Nicola Semprini Cesari

Prova Scritta del 13 Gennaio 2020

Termodinamica

Q1) Tre moli di gas monoatomico subiscono il seguente ciclo di trasformazioni quasi statiche: A-B compressione adiabatica , B-C espansione isobara, C-D espansione adiabatica, D-A compressione isobara. Calcolare: i) il calore scambiato dal sistema in ciascuna delle trasformazioni in funzione delle pressioni e dei volumi; ii) l’efficienza del ciclo espressa in funzione delle pressioni e dei volumi; iii) l’efficienza espressa in funzione delle sole pressioni.

Q2) Un gas monoatomico, in uno stato iniziale con temperatura T₀ =300 Ke pressione, si espande attraverso una trasformazione adiabatica quasi statica dimezzando il valore della pressione.

Determinare la temperatura finale.

Q3) Si commenti il secondo principio della termodinamica.

m Q1) Un punto materiale di massa m è soggetto alla accelerazione a=t i +j . Determinare l’espressione della legge oraria.

Q2) Un pendolo di massa m e lunghezza L disposto orizzontalmente viene lasciato libero con velocità iniziale nulla.

Giunto in posizione verticale, il filo incontra il piolo P di sezione trascurabile ed il pendolo continua il suo moto descrivendo un cerchio di raggio inferiore ad L. Determinare il più piccolo valore L’

che permette alla massa m di raggiungere il punto sommitale S con filo teso.

Q3) Due punti materiali di massa m hanno coordinate (0,0,0) e (L,0,0). Determinare le coordinate di un terzo punto materiale di massa m sapendo che il centro di massa dell’intero sistema è equidistante dalle tre masse.

Q4) Un disco omogeneo di massa M e raggio R rotola senza strisciare trainato da un filo inestensibile di massa trascurabile al cui capo è applicata una massa m. Determinare l’accelerazione del centro di massa del disco.

Q5) Scrivere l’espressione delle forze inerziali e commentarne il contenuto fisico specificando il significato dei diversi termini.

Q6) Spiegare e commentare i concetti di massa inerziale e gravitazionale.

(2)

SOLUZIONI Meccanica Q1)

2 3

0 0 0

2

0 0 0

1 1

2 6

1 2 a t i j x i y j

x t x x t x x x t t

y y y t y y y t t

 

  

  

= + = +

= = + = + +

Q2)

Dalla conservazione della energia nel punto iniziale e nel punto P si ha

2 2

2( ') 1 2 (2 ' )

in fin

2

S S

E E mgL mg L L mv v g L L

Dal secondo principio della diniamica nel punto S si ha

2 2

( )

( ') ( ')

S S

v v

Tk mgk m k T m g

L L L L

Richiedendo la condizione di filo teso si ha

2

3 ( ) 0 ( ') 2 (2 ' ) ( ') '

' 5

S

T m v g v g L L g L L g L L L L

L L Q3)

(0, 0) ( , 0) ( , )

( , )

3 3 3

CM

m m L m x y L x y

r m

+ + +

= =

Affinché sia equidistante dalle prime due masse, l’ascissa deve coincidere con il punto mediano

3 2 2

L x L L

+ = x=

dalla equidistanza della prima e terza massa otteniamo

2 2 2 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) / 2

3 3 3 3 2

L x y L x y

x y con x L y L

+ + = + − + − = =

Q4)

L’equazione del moto del disco è la seguente

(3)

ˆ

2

2 4 2

ˆ

0 0

2 2 2

ˆ '

2

ˆ

1 1

2 4 2

1 3

2 2

( ) ( ) 3

2 2

3

est

CM CM

R

CM

M I

Rd dY R Y

I r d dr r R MR

I MR MR MR

R k T j i MR Y R Y T

M

L’equazione del moto della massa è invece

( )

CM CM

CM

F ma

T mg k mz k

dY dz Y z

T mY mg

Otteniamo infine

1 3 1

2 Y

CM

g

M m

Termodinamica i)

dQ dU dL nc dTv pdV PV nRT

 = +  = +

=

: _AB 0

adiabatica AB Q = :

( )

v p v

C

p p

BC BC C B

B

c c

isobara BC PdV nRdT dQ nc dT pdV pdV pdV pdV

R R

c c

Q pdV P V V

R R



= = + = + =

=



= −

: _CD 0

adiabatica CD Q =

(4)

:

( )

v p v

A

p p

DA DA A D

D

c c

isobara DA PdV nRdT dQ nc dT pdV pdV pdV pdV

R R

c c

Q pdV P V V

R R



= = + = + =

=



= −

ii)

( )

| | | | | | | | ( )

1 1 1 1

| | | | | | | | ( )

( )

p

DA D A

in out out DA DA D A

in in in BC p BC C B

BC C B

c P V V

Q Q Q Q P V V

L R

Q Q Q Q c P V V

P V V R

= = ⁻ = − = − = − ⁻ = − ⁻

− −

iii)

la relazione pressione volume nelle adiabatiche soddisfa la relazione

( )

V P

V V V

P P P

V V V

P P P

c c

c c c

c c B c

A A B B A B

A

c c c

c c C c

C C D D D C

D

VP K

V P V P V V P P V P V P V V P

P

=

= =

[ ( ) ( ) ] 1

( )

1 1 1 ( ) 1 ( )

( ) ( )

V V

P P

V V

P P

c c

BC BC

c c

DA C B

c c

BC BC

DA D A DA DA DA

BC C B BC C B BC DA DA

P P

P V V

P P

P V V P P P

P V V P V V P P P

 ⁻

− −

= − = − = − = −

− −

Q2)

1 1 3

( ) ( )

2 2 2 2

2 1

1 1 1

0

0 ( ) 0

( )

ln ln( ) ( ) 300( )1 227.4

2

V V

V

V V

V

R R

c R c R

nc dT pdV pdV Vdp nRdT pdV nRdT Vdp

nc dT nRdT Vdp nc dT nRdT nRT dp p

dT dP dT R dP

c R R

T P T c R P

T P P

T T K

T P P

+ + +

= + + =

= −

= + − = + −

= + − = −

+

= = = =