Cilindro su piano
Figure 1:
Un cilindro omogeneo di massa M e raggio R, inizialmente fermo, `e ap- poggiato su un piano orizzontale privo di attrito. Al cilindro viene applicata una forza esterna costante F, parallela al piano e perpendicolare all’asse del cilindro, ad una altezza h (0 < h < 2R) per un tempo τ molto breve.
1. Quanto valgono l’accelerazione del centro di massa e l’accelerazione angolare del cilindro durante l’applicazione della forza F?
2. Si dia l’espressione, in termini di h, τ ed F della quantit`a di moto P dell’energia cinetica T e del momento della quantit`a di moto rispetto all’origine LO, all’istante t = τ .
3. Successivamente all’applicazione della forza, il cilindro entra in una regione di piano in cui vi `e attrito sia statico che dinamico. Si osserva che, dopo un certo tempo, il cilindro rotola senza strisciare con velocit`a costante. Quali quantit`a fra quelle calcolate al punto 2 si conservano?
Quanto vale la velocit`a finale del centro si massa del cilindro?
4. Nella situazione finale, in cui il cilindro rotola senza strisciare, i punti a contatto con il piano si trovano sull’asse istantaneo di rotazione.
Per t < τ tale asse si trova sulla verticale del punto di contatto ad 1
una altezza z. Si determini il valore di z in funzione di h all’istante dell’applicazione della forza e si dica se tale posizione rimane costante nell’intervallo di tempo [0, τ ]. Si disegni il grafico di z(h) sia nel caso di cilindro omogeneo, che in quello di cilindro cavo con massa concentrata sul bordo.
Soluzione Domanda 1
Sia x l’asse di moto del cilindro, z diretto verso l’alto e y perpendicolare al foglio con verso entrante. L’accelerazione del centro di massa si ricava dalla prima equazione cardinale:
R + ~~ F + M~g = m~a →
F = M ¨x
R − M g = 0 (1)
Si ricava immediatamente:
a = F/m = cost (2)
L’accelerazione angolare si ottiene dalla seconda equazione cardinale:
F (h − R) = IGα → α = (h − R)F IG
= h − R
2R a/R = cost (3) avendo sostituito il momento di inerzia del cilindro rispetto all’asse per il centro di massa: IG = 1/2M R2. Il segno di α `e positivo per h > R, cio`e rotazione oraria, essendo l’asse y entrante.
Notare che, come ovvio, in questo caso non vale la relazione α = a/R.
Domanda 2
Scriviamo velocit`a del centro di massa e velocit`a angolare del cilindro ad un generico istante t < τ .
~vG= ~aGτ = F τ
M eˆx (4)
~
ω = ~ατ = F τ (h − R)
IG eˆy (5)
Nel seguito, tutte le quantit`a sono da intendersi calcolate all’istante t = τ .
L’impulso `e dato da:
P = M~~ vG= F τ ˆex (6)
Si noti che F τ = I, essendo I l’impulso della forza costante F dopo un tempo τ , per cui questo risultato poteva essere scritto direttamente.
2
L’energia cinetica ha sia la componente traslatoria che quella di ro- tazione:
T = 1
2M vG2 +1
2IGω2 = F2τ2
2M 1 + 2 h − R R
2!
(7) Il momento della quantit`a di moto rispetto ad un punto sul piano di appoggio, si pu`o trovare in due modi diversi. Applicando il teorema di K¨onig:
L~O= ~rG× ~P + IGω = (F τ R + F τ (h − R))ˆey = F τ hˆey (8) Alternativamente si pu`o calcolare il momento delle forze impulsive, e quindi solamente della forza esterna F, ed integrare nel tempo:
~LO= Z τ
0
~
r × ~F dt = Z τ
0
F hˆeydt = F τ hˆey (9) Notare che le forze non impulsive, ~R e M~g, sono uguali ed opposte ed hanno lo stesso braccio, per cui il loro contributo al momento delle forze `e nullo.
Domanda 3
Se c’`e attrito fra cilindro e piano, sia la quantit`a di moto che l’energia non sono conservate. Si conserva, invece, il momento della quantit`a di moto rispetto ad un punto sul piano di appoggio in quanto la forza di attrito ha braccio nullo rispetto a questo polo, pertanto ~MO = 0, essendo cessato l’effetto della forza esterna F. Di conseguenza:
F τ h = IOω0 → ω0 = F τ h
Ig+ M R2 = 2F τ h
3M R2 (10)
La velocit`a di traslazione del centro di massa si trova facilmente in quanto, nel caso di puro rotolamento, vale
vG0 = ω0R = 2F τ h 3M R Domanda 4
L’asse istantaneo di rotazione passa per il punto A definito dalla con- dizione:
~
vA= ~vG+ ω × ~rA= 0 (11) dove il vettore ~rA`e preso rispetto al centro di massa G.
Essendo ~vGdiretto lungo x e ~ω lungo y, ~rAsar`a necessariamente diretto lungo z. Il verso dipender`a dal segno di ω.
Sia z la coordinata del punto A, in modo che ~rA = (z − R)ˆez. Allora, utilizzando le equazioni 4 e 5:
0 = F t
Meˆx+F t(h − R)
IG (z − R)ˆey× ˆez = F τ M
1 +(h − R)(z − R) IG/M
ˆ ex (12)
3
Scrivendo IG = cM R2, con c = 1/2 per cilindro pieno e c = 1 per cilindro cavo, si ha:
z(h) = R + cR2 R − h
. Questa espressione non dipende dal tempo, per cui, dato h, l’asse di rotazione rimane ad una quota z costante fino a che il cilindro non incontra la parte di piano con attrito.
Se la forza esterna F `e applicata ad una altezza h = R, il cilindro trasla senza ruotare, da cui la divergenza di z(h) per questo valore. I grafici delle funzioni sono riportati in figura 2.
Figure 2:
4
