Appendice A Algoritmi per la soppressione delle valli

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Appendice A

Algoritmi per la soppressione delle valli

I ltri per la soppressione delle valli vengono usati per il calcolo dei parametri appartenenti alla famiglia degli Rk. La metodologia utilizzata per l'applicazione di questi algoritmi è la seguente:

• rimozione di pendenza e curvatura dai dati; ciò è possibile tramite l'uso della linea dei minimi quadrati

• identicazione delle valli; questo comprende la rimozione delle compo- nenti di forma del prolo e la seguente analisi statistica per marcare i punti che costituiscono una valle

• rimozione di tutti i punti di valle

• ltraggio del prolo da cui sono state rimosse le valli

• computazione dei parametri per la caratterizzazione numerica del pro-

lo

Vediamo di seguito le principali tecniche per la soppressione delle valli: il metodo Taylor Hobson, Marlburg e Daimler Benz.

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Capitolo A. Algoritmi per la soppressione delle valli 86

Figura A.1: Caratteristiche del metodo Taylor Hobson

A.1 Taylor Hobson

Il metodo Taylor Hobson si basa sull'uso di parametri deniti per iden- ticare e rimuovere le valli. Un gruppo di punti fa parte di una valle se questi cadono sotto un certo limite chiamato TEST HEIGHT, e se l'ampiezza della valle all'HALF HEIGHT (halfheight = ¹₂ test height), è minore di un'ampiezza predenita chiamata TEST WIDTH (g.A.1). Questi punti vengono quindi marcati e sostituiti con punti la cui altezza è pari alla test height.

Una problematica di questo metodo è che non si presta all'automazione.

A.2 Marlburg

Il metodo Marlburg identica tutti i picchi e le valli in relazione ai punti ad essi vicini. Per ogni punto del prolo si calcola un valore di P-V (picco- valle): se un punto è un picco o una valle, il suo valore di P-V è l'altezza del picco o della valle rispetto a quello vicino. Se un punto non è un picco o una valle, allora il P-V è semplicemente l'altezza del picco o della valle a cui esso appartiene. A questo punto viene plottato un istogramma dei valori di P-V e tutti i punti sotto 4 sigma sono considerati valli e quindi

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Figura A.2: Rimozione di forma secondo Daimler Benz

possono essere rimossi. Tale tecnica è più adatta per rimuovere le asperità nelle misurazioni di forma perché c'è un'implicita supposizione che le valli siano funzioni monotonicamente decrescenti no al minimo, dopo di che, monotonicamente crescenti no alla linea media.

A.3 Daimler Benz

Il metodo Daimler Benz coinvolge il pretrattamento dei dati usando la linea dei minimi quadrati. Per rimuovere ogni componente di forma presente nel prolo, si fa uso di un ltro gaussiano, dunque viene plottata una distribuzione cumulata del prolo della rugosità ed in seguito la derivata seconda della distribuzione cumulata (g.A.2). Il punto di inessione nella derivata seconda, denota la regione di transizione tra tessitura e valli, infatti rappresenta una linea retta parallela a quella dello zero nel prolo di rugosità. Tutti i punti sotto questa linea di inessione sono valli, perciò vengono marcati ed in seguito rimossi dal prolo originale.

Occorre fare due osservazioni riguardanti questo approccio:

• la linea media è distorta dalle valli profonde, perché la supposizione fatta è che le valli siano equamente distribuite e approssimativamente alla stessa profondità. Quando non siamo in queste condizioni, il ltro gaussiano distorce la regione intorno alle valli.

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Figura A.3: Problemi del metodo Daimler Benz

• Il punto di inessione non è chiaro e ben denito in tutti i casi, spe- cialmente quando sono presenti molte valli,(g.A.3).

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Appendice B

Caratteristica di trasmissione

La caratteristica di trasmissione di un ltro è la percentuale di ampiezza del prolo che il ltro fa passare, quindi il prolo ltrato avrà un'ampiezza pari a quella del prolo originale moltiplicata per la caratteristica di trasmis- sione. In un ltro 2RC, avendo lunghezza d'onda del segnale λs e cuto per una trasmissione del 75%, λc, la caratteristica di trasmissione è:

Transmission(%)=₁₊1¹ 3∗(^λs_λc)²

Quindi avremo una trasmissione del 75% del prolo, se la lunghezza d'onda del prolo stesso è pari a quella del cutodel ltro: con un cutodi 0.8 mm avremo una trasmissione del 75% di un prolo che ha lunghezza d'onda 0.8 mm (g.B.1).

La scelta del cutodipende anche dalla caratteristica di trasmissione.

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Capitolo B. Caratteristica di trasmissione 90

Figura B.1: Caratteristiche di trasmissione

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Appendice C

Problematiche del ltro 2RC

Il ltro 2RC non riesce a mantenere la forma dell'onda del segnale iniziale;

questo è dovuto al cambiamento di fase, chiamato fenomeno di Gibb, che causa una variazione del segnale in uscita rispetto a quello in entrata, durante il passaggio attraverso il ltro. Tale fenomeno porta quindi a distorsioni del prolo nale ed errori nella valutazione dei parametri (g.C.1).

Nei ltri a fase non corretta, per ottenere i vari proli, non è possibile eet- tuare una semplice sottrazione di questi dal prolo originale, ma è necessaria una funzione pesata:

S(x)=_λ^A_c[2 − (^A_λ^|x|_c )]exp[^−A|x|_λ_c ]

dove A = 3.64 per una trasmissione del 75% al cuto, x è la posizione dal- l'origine della funzione pesata (-∞<x<0), e c è la lunghezza d'onda (lunga) a cui si eettua il cuto per la rugosità. La linea media è ottenuta applican- do la funzione S(x) al prolo, dopo di che, tramite un integrale, si trova la funzione risultante per il prolo di rugosità.

Quando invece un ltro ha correzione di fase e trasmissione del 50% al cuto, rugosità e ondulazione sono legate dalla relazione: z(x) = r(x) + w(x) , quindi la rugosità è ottenibile sottraendo dal prolo originale l'ondulazione.

Se invece non c'è correzione di fase e trasmissione del 50% al cuto, si de- 91

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Capitolo C. Problematiche del ltro 2RC 92

Figura C.1: Fenomeno di Gibb

vono usare due ltri indipendenti per la rugosità e l'ondulazione. Infatti è stato riscontrato che nel ltro 2RC a fase non corretta, l'ondulazione non può essere ottenuta semplicemente sottraendo la rugosità dal prolo, ma è necessario un ltro complementare, che trasmette il 75% al cuto per catturarla.

Quindi moltiplicando il prolo z(x) per una funzione pesata, s(x), si ottiene l'ondulazione.

s(x)=(_(λ^xA_o₎²2)exp(^−xA_λ_c )

con x = posizione dall'origine della funzione pesata (0<x<∞) e A = 2π*√

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Per risolvere il problema del cambiamento di fase è stato proposto un nuovo ltro a fase lineare; il più ampiamente usato oggi è quello gaussiano, che aronta l'inconveniente del ltro 2RC: la rimozione dell'ondulazione senza

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Capitolo C. Problematiche del ltro 2RC 93

distorsioni del prolo. Prendiamo due ltri che hanno la stessa caratteristica di trasmissione ma uno con correzione di fase e l'altro no; nel ltro con correzione di fase, dove cioè la linea media è in fase con il prolo, questa diventa più dritta man mano che si avvicina al cuto; ciò signica che la linea media in fase con il prolo, ondula meno. Questo fatto è di fondamentale importanza perché signica che la forma della rugositàpuò essere preservata anche in presenza di considerevoli errori di ondulazione e di forma.

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Appendice D

Filtro Gaussiano

Il ltro gaussiano digitale, standardizzato per le misure bidimensionali ma comunemente usato anche per quelle tridimensionali, è stato ideato per separare con più precisione rugosità e ondulazione. Il ltro gaussiano a passo basso per la rimozione dell'ondulazione, prevede la seguente funzione pesata, la cui curva a campana dà al ltro il suo nome:

S(x)=[_αλ¹_c]exp[−π(_αλ^x_c)²]

e come risposta in frequenza:

Aoutput

Ainput=exp[-π(^αλ_λ^c)²]

La risposta in frequenza dà una spiegazione di come si comporta il l- tro quando è soggetto ad un segnale. L'output di un ltro è dato dalla convoluzione del segnale di ingresso con la risposta in frequenza del ltro.

L'ampiezza della campana rappresenta il cuto del ltro; i valori di λediλc

determinano questa ampiezza.

α è denito come il grado di trasmissione di un'onda sinusoidale con lunghezza d'onda pari al cuto: α=

ln2π = 0.4697 , infatti dipende dalla trasmissione al cuto come mostrato in g.D.1.

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Capitolo D. Filtro Gaussiano 95

Figura D.1: Dipendenza di α dal cuto

I vantaggi del ltro gaussiano, rispetto al ltro 2RC, come già esposto, sono la sua fase lineare e la trasmissione del 50% al cuto che permette il calcolo dell'odulazione, semplicemente sottraendo la rugosità dal prolo grezzo. La caratteristica di trasmissione è stata infatti portata dal 75% al 50% per rendere complementari i due ltri, di rugosità e di ondulazione.

Le distorsioni del bordo sono inevitabili per entrambi i ltri. Il ltro gaussiano però non introduce dati non corretti come ad esempio il cambiamento di picchi in valli.

Sebbene il ltro gaussiano sia un miglioramento del 2RC, si devono consi- derare alcune questioni: le superci ltrate con il metodo gaussiano subiscono una riduzione di area (in 3D) o di lunghezza (in 2D), della stessa lunghezza del cuto, ciò signica che sarebbe necessario prendere aree o lunghezze più grandi. Inoltre la presenza di gra e crateri profondi dà luogo a distorsioni dell'immagine ltrata a passo basso, inducendo ad ondulazioni articiali.

Per superare questo inconveniente si fa uso di un doppio ltro gaussiano, che rimuove le valli prima del ltraggio e le reinserisce dopo aver ltrato, per minimizzarne l'inuenza. Il ltro ideale dovrebbe far sì che la trasmissione per lunghezze d'onda sotto a quella di cuto, nel caso di ltraggio a passo basso, o sopra nel caso di passo alto, sia zero.

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Appendice E

Alcuni ltri meno usuali

E.1 Filtro Rk

Il ltro gaussiano non è abbastanza robusto, per esempio per le superci piane è necessario un ltro la cui linea media non sia distorta dalle valli. La norma [11] riporta un approccio di ltraggio a 2 step:

1. il ltraggio del prolo primario tramite ltro gaussiano a passo basso.

Si ottiene così il prolo dell'ondulazione che viene usato come linea troncatrice: ogni parte del prolo primario che cade sotto tale linea, viene troncata e sostituita dalla linea dell'ondulazione.

2. il prolo modicato viene poi fatto passare attraverso lo stesso ltro gaussiano ottenendo il prolo nale: l'ondulazione Rk. Sottraendo dal prolo primario l'ondulazione Rk, si ottiene il prolo di rugosità Rk.

In g.E.1 sono mostrate le dierenze tra i due ltri, gaussiano e Rk:

La diversità dei proli nali è dovuta all'operazione di troncatura del prolo, come mstrato di seguito in g.E.2.

Spesso però, nemmeno il processo di iterazione a 2 scalini è abbastanza robusto rispetto alle valli profonde ed inoltre, il ltro Rk risente degli stessi eetti di bordo prima menzionati (g.E.3).

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Capitolo E. Alcuni ltri meno usuali 97

Figura E.1: Dierenze tra ltri Rk e Gaussiano

Figura E.2: Operazioni di ltraggio e troncatura

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Figura E.3: Eetti della presenza di valli profonde

E.2 Spline Filter

Lo spline lter è stato introdotto per superare il problema degli eetti di bordo, presente in entrambi i ltri 2RC e gaussiano (g.E.4).

Figura E.4: Dierenza tra ltri Gaussiano e Spline

Questo ltro può essere di 2 tipi: non-periodico e periodico. Lo spline non periodico è usato per ltrare proli aperti, quello periodico per proli chiusi.

Un ulteriore metodo più ecace di questo, è il rendere lo spline lter più robusto rispetto alle valli profonde, per superare il problema di forme larghe ed eetti di bordo: Robust Spline Filter. Tecniche derivanti da quelle no ad ora mensionate sono il ltraggio Morfologico, la Regressione Gaussiana Robusta e l'Rk Ibrido.

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Figura E.5: Linea media morfologica e prolo

E.3 Filtro Morfologico

Un ltro morfologico discreto agisce sul prolo tramite due operazioni per produrre un prolo ltrato. La scala del ltro determina l'ampiezza secondo la quale le valli ed i picchi vengono rimossi rispettivamente durante le due fasi dell'operazione di ltraggio stessa. Un ltro simmetrico alternante è una combinazione di tali fasi e può essere usato per rimuovere picchi e valli che sono piùpiccoli della scala del ltro.

Le operazioni morfologiche si prestano naturalmente alla rimozione delle valli. I punti in cui avviene il contatto vengono registrati per formare suc- cessivamente l'inviluppo della supercie. Il risultato è una linea media che abbraccia la parte superiore del prolo (g.E.5). Questa linea media viene poi rimossa dalla supercie e tutti i punti sottostanti a 4 sigma sono considerati valli (g.E.6).

I proli vengono approssimati a diversi livelli (g.E.7), ed il prolo - nale può essere ricostruito semplicemente sommando tutte le dierenze al- l'approssimazione dell'ultimo livello. Questa tecnica è molto costosa ed inoltre è sensibile ai rumori. Un fattore determinante è anche la dimensione dell'elemento di contatto, infatti uno troppo largo non rimuoverebbe alcun componente di forma, mentre uno troppo piccolo duplicherebbe il suo stesso prolo.

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Figura E.6: Rimozione delle valli

Figura E.7: Approssimazione del prolo

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Figura E.8: Linea media del prolo

Figura E.9: Rimozione delle valli

E.4 Regressione Gaussiana Robusta

La Regressione Gaussiana Robusta è una modica del ltro gaussiano descritto nella ISO 11562, ed è stato studiato per ottenere migliori perfor- mance. La funzione, infatti, è stata modicata nel primo e nell'ultimo cuto

per correggere gli eetti di bordo. Un algoritmo robusto applica un ltro regressivo iterativamente ad un gruppo di dati no a che la linea media non è soddisfacente (g.E.8), quindi dipende dalla convergenza verso un indice statistico che indica quando l'iterazione deve fermarsi.

Trovata la linea media, questa viene rimossa e tutti i punti sottostanti 4 sigma sono considerati valli (g.E.9).

Anche questo metodo è costoso a causa delle molteplici iterazioni. In conclusione, i ltri regressivi permettono la stima della lunghezza completa

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e lavorano meglio di quelli gaussiani sui proli di forma larga; i ltri robusti invece forniscono una migliore linea media per proli con valli profonde.

E.5 Rk Ibrido

Il ltro Rk Ibrido, tramite le linea dei minimi quadrati, procede al pretrattamento dei dati; le componenti di forma sono rimosse con un ltro Rk, dopo di ché viene tolta anche la linea media, (g.E.10). E' così possibile plottare la deviazione standard del prolo di rugosità; tutti i punti sotto 4 sigma sono deniti valli.

Figura E.10: Rimozione di forma

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E.6 Confronti

Il metodo di Taylor Hobson è semplice da implementare ma non si presta all'automazione; più ecace è allora l'Rk Ibrido che, oltre alla facilità di im- plementazione, presenta un buon prolo dopo la rimozione di forma. Anche la Regressione Gaussiana Robusta è buona per la rimozione di forma, ma dal punto di vista computativo è troppo costosa così come il ltro morfologico.

Il metodo Marlburg è più indicato per dati di forma mentre il Daimler Benz, grazie agli strumenti statistici usati, è buono per rintracciare le valli, sebbene la linea media gaussiana provochi distorsioni ed il punto di inessione non sia stabile.

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Appendice F

Parametri di rugosità 2D

F.1 Ra

La rugosità media è l'area compresa tra il prolo di rugosità e la sua linea media, ovvero l'integrale del valore assoluto dell'altezza del prolo di rugosità sulla lunghezza di valutazione:

Ra = ₁

L ∗ L ∗ r(x)dx

Questo integrale, nel caso di dati digitali, può essere approssimato nel seguente modo:

Ra = ₁

N ∗ rn

Gracamente la rugosità media è l'area racchiusa tra il prolo di rugosità e la sua linea media sulla lunghezza valutata, che è suddivisa in campioni (di solito 5)di lunghezza pari al cuto (g.F.1).

F.2 Rq

La rugosità quadratica media (g.F.2)è calcolata con l'integrale del pro-

lo di rugosità:

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Capitolo F. Parametri di rugosità 2D 105

Figura F.1: Rugosità media

Figura F.2: Denizione di Rq Rq =

s(_L¹ ∗ L ∗ r²(x)dx) E l'equivalente digitale:

Rq =

s(_N¹ ∗ r_n²)

Per un'onda sinusoidale di qualsiasi lunghezza d'onda e ampiezza, Rq è proporzionale ad Ra: circa 1.11 volte più largo. Poiché i proli reali non sono rappresentabili con semplici onde sinusoidali, questa approssimazione èerronea. Rq ha valore nelle applicazioni ottiche dove èpiù direttamente correlato alla qualità superciale visibile.

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Capitolo F. Parametri di rugosità 2D 106

F.3 Rt, Rp, Rv

La rugosità di picco, Rp, è l'altezza del picco più alto del prolo di ru- gosità, nella lunghezza di valutazione L. Analogamente, la rugosità di valle, Rv, è l'altezza della valle più profonda. La rugosità totale Rt è la somma di Rp e Rv, cioè rappresenta la distanza verticale tra la valle più profonda ed il picco più alto (g.F.3).

Figura F.3: Rt, Rp e Rv

F.4 Rz

Deniti per ogni campioni i parametri Rpi e Rvi , si calcola la media tra tutti i campioni: Rt_m , Rp_m e Rv_m sono medie sulla lunghezza del campione.

Rpm = _M¹ (Rp_i)

Rvm = _M¹ (Rv_i)

Rtm = Rp_m + Rv_m

Rpi è il picco più alto del campione i-esimo e Rv_i, la valle più bassa. Rt_m è chiamato Rz.

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Appendice G

Parametri probabilistici

La Funzione di Distribuzione dell'Ampiezza (ADF) è una funzione che dà la probabilità che un certo prolo abbia una certa altezza alla posizione x. La ADF ha una caratteristica curva a campana come molte delle distribuzioni di probabilità (g.G.1). Tale curva mostra quanto prolo può avere una certa altezza: è cioè la probabilità che un punto su un prolo, per un valore di x casuale, cada ad un'altezza all'interno di un piccolo intervallo di un valore particolare di z. Prob(z+dz > r(x) > z) = ADF(z) dz

In relazione alla ADF, troviamo la BEARINGRATIO CURVE che cor- risponde alla distribuzione di probabilità cumulata: matematicamente è l'integrale dell'ADF (g.G.2). Ogni punto sulla curva del Bearing Ratio ha il signicato sico di mostrare quanta frazione lineare di un prolo cade oltre una certa altezza.

Figura G.1: ADF

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Capitolo G. Parametri probabilistici 108

Figura G.2: Bearing ratio curve

G.1 SRq

La rugosità quadratica media, è denita come:

SRq =

v(_L¹ ∗ L ∗ r²(x)dx) E l'equivalente digitale:

SRq =

v(_N¹ ∗ r²_n)

può a questo punto essere interpretata come la varianza della ADF, cioè rappresenta un parametro statistico che misura la larghezza della ADF: più è larga la curva a campana, maggiore è il valore di SRq, quindi la rugosità media della supercie.

G.2 Rsk - Skewness

L' Rsk è un altro parametro che descrive la forma della ADF, infatti è la misura dell'asimmetria di questa: l' Rsk misura la simmetria della variazione di un prolo intorno alla sua linea media.

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Capitolo G. Parametri probabilistici 109 Rsk = _L∗Rq¹ 3 ∗ L ∗ r³(x)dx

o

Rsk = _N∗Rq¹ 3 ∗ N ∗ r_n³

Superci con Rsk positivo presentano alti picchi che si protendono dalla linea media; superci con Rsk negativo, per esempio superci porose, presentano valli profonde (g.G.3).

Figura G.3:Rsk

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G.3 Rk, Rpk, Rvk

Rk è uno dei parametri che riassumono le informazioni sulla forma della supercie. Il punto di partenza è la Bearing Ratio Curve, che viene suddivisa in tre zone:

• Picchi sovrastanti il piano principale;

• Plateau;

• Valli tra i piani.

Figura G.4: Rk, Rpk e Rvk

Il calcolo dei parametri si sviluppa nel modo seguente (g.G.4):

• Si cerca la secante alla curva, con minima pendenza (punti A e B), dopo di che si prolunga tale retta no ad intersecare gli assi verticali a

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0% e 100% (punti C e D). La distanza verticale tra i punti C e D è il parametro Rk.

• Tracciamo poi una linea orizzontale da C no ad intersecare la curva in E. Calcoliamo l'area tra la curva ed il segmento CE, dopo di che costruiamo il traingolo CEG che ha la stessa area trovata prima. L'altezza del triangolo CEG è il parametro Rpk, rappresentativo dei picchi.

• Tracciamo analogamente a quanto fatto per i picchi, una linea orizzon- tale dal punto D no ad intersecare la curva nel punto F. Calcoliamo l'area tra il segmento DF e la curva, dopo di che costruiamo il triangolo DFH avente stessa area. L'altezza del triangolo DFH è il parametro Rvk, rappresentativo delle valli.

Rk è correlato alla profondità della parte lavorante della supercie cioè la parte piatta della curva. Questa zona è anche chiamata Core Roughness o Kernel da cui il K come indice del parametro.

Rpk è una stima dei picchi che sono al di sopra del piano principale.

Sebbene questi picchi si abbassino (si consumano) durante l'uso, general- mente si desidera avere piccoli valori di Rpk.

Rvk è una stima della profondità delle valli che trattengono lubricante.

G.4 MR1, MR2, A1, A2

Facendo riferimento alla guraG.4 si deniscono i seguenti parametri:

• MR1 è la porzione di supercie costituita da picchi al di sopra del piano principale;

• MR2 è la porzione di supercie che dovrà sopportare i carichi durante la vita utile del componente;

• A1 è l'area della porzione costituita da picchi nella Bearing Ratio Curve; è correlata al valore di Rpk e MR1:

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Capitolo G. Parametri probabilistici 112 A1 = ¹₂^Rpk∗MR1_100%

• A2 è l'area delle valli, correlata a Rvk e MR2 :

A2 = ¹₂Rvk^100%−MR2_100%

A2 è anche chiamata Vo , cioè il Volume di ritensione dell'olio, della supercie.