Funzioni di sensitività

(1)

Principi di Elettrotecnica ed Automatica

Analisi di un sistema di controllo in retroazione

21/05/2018

(2)

Funzioni di sensitività

• Le funzioni di sensitività rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse:

• Funzione di sensitività

• Funzione di sensitività complementare

• Funzione di sensitività del controllo

(3)

Funzioni di sensitività

• Schema di riferimento

y_sp e R(s) u

+ - G(s) d y

+ + +

-n

Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse uscite di interesse e gli ingressi

(4)

Funzioni di sensitivtà

• Le funzioni ^S(s)e ^F(s) dipendono congiuntamente da ^R(s) e ^G(s) (funzione di anello) mentre nella funzione di sensitività del controllo ^Q(s)la fdt del regolatore ^R(s) entra singolarmente

• Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitività è lo stesso. La stabilità del sistema in retroazione è indipendente dal particolare ingresso

• Strutturalmente si ha che S(s)+F(s)=1. In pratica questo significa che non è possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie.

• Esempio 1.

• Cancellazione del disturbo d sull'uscita y S(s) = 0

• Cancellazione del disturbo n sull'uscita y F(s) = 0

• Esempio 2.

• Inseguimento del riferimento y_sp con y F(s) = 1

No!

(5)

alte frequenze basse frequenze

Relazioni tra rappresentazioni diverse

• Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione

margine di fase basso adeguato

t 1

alta banda passante bassa

guadagno bassa frequenza basso adeguato

(6)

Funzione di sensitività complementare

• Obiettivi contrastanti

Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita

Dinamica tra riferimento e uscita

F(s) idealmente uguale a 0 per compensare in modo esatto il disturbo di misura

F(s) idealmente uguale a 1 per

(7)

Funzione di sensitività complementare – analisi poli/zeri

• Gli zeri di ^F(s) coincidono con gli zeri di ^L(s)

• I poli di ^F(s)dipendono in maniera complessa dai poli e dagli zeri di

L(s) (vedi luogo delle radici)

Non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di F(s) attraverso il

progetto del regolatore. Infatti gli zeri della funzione di trasferimento tra riferimento e uscita sono l'unione di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)

(8)

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• Si assumerà che la funzione di risposta armonica di anello L(j) abbia le caratteristiche di un passa basso:

• |L(j)| >> 1 a basse frequenze

• |L(j)| << 1 a frequenze elevate

Andamento approssimato di |F(j)|

(9)

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• L’andamento approssimato di ^F(jw)mette in evidenza che

• Il sistema in retroazione

• approssima un filtro passa basso a guadagno unitario

• il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena aperta cambia le sue caratteristiche

• possiede quindi poli dominanti nell'intorno di _c

• il numero dipende dalla pendenza della L( j) in  = _c

• se la pendenza è -1 avremo un solo polo dominante reale

• se la pendenza è -2 avremo una coppia di poli dominanti

• In quest’ultimo caso lo smorzamento dipende dal margine di fase

(10)

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• La relazione (approssimata) tra il margine di fase di L(j) e lo smorzamento dei poli dominanti di F(j) può essere ricavata con semplici passaggi sfruttando il fatto che

• Dall’ipotesi che F(j) abbia una coppia di poli c.c. con pulsazione naturale

_n=_c e coefficiente di smorzamento  segue che

(11)

• Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase

• L'analisi della funzione di sensitività complementare ci consente di mettere in relazione proprietà della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

Regola empirica:

Se il margine di fase (sistema in catena aperta) è < di 75° il sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati

Analisi in catena aperta Proprietà del sistema in retroazione Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra

(12)

• Dall’andamento approssimato di F(jw) si ricava che

• Segnali di riferimento y_sp (e disturbi n) a frequenze sotto la pulsazione _c (pulsazione di attraversamento di |L(j)| ) vengono fedelmente riprodotti in uscita a regime

• Disturbi di misura n (e riferimenti y_sp) a frequenze sopra la pulsazione _c vengono fortemente attenuati in uscita

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

-

(13)

• La funzione di sensitività rappresenta:

• La dinamica tra set-point e errore di inseguimento

• La dinamica tra disturbo sull’uscita ed errore di inseguimento/uscita

• Obiettivo: tenere S(s) prossima a zero (errore di inseguimento basso)

• Al fine di attenuare il disturbo di misura anche ^F(s) deve essere piccola

(disaccoppiamento frequenziale tra disturbi di misura e disturbi sull’uscita)

Funzione di sensitività

Problema:

(14)

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• Filtro passa alto con pulsazione di taglio 

Andamento approssimato di |S(j)|

(15)

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• L'andamento approssimato di |S(j)| mette in evidenza che

• Le componenti del riferimento e del disturbo sull'uscita a frequenze basse

(sotto la pulsazione di attraversamento _cdi L(j)) vengono attenuate sull'errore di una fattore pari a 1/|L(j)| (A_db = - |L(j)|_db)

• Le frequenze superiori a  non vengono invece alterate

(16)

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

-

Un segnale di riferimento con una componente frequenziale viene inseguito con una

“precisione” pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica di

anello alla frequenza

(17)

Funzione di sensitività – analisi in frequenza

-

Un disturbo sull’uscita con una componente frequenziale viene attenuato in uscita di un fattore pari all'inverso del

guadagno della funzione di risposta armonica di anello alla frequenza

(18)

Funzione di sensitività e modello interno

• Le specifiche statiche sul sistema in retroazione possono essere imposte agendo sul modulo della ^L(j^⁾a certe frequenze

• Nel caso si volesse che un riferimento (disturbo sull'uscita) alla

pulsazione venisse esattamente inseguito (compensato) a regime occorrerebbe che (ovvero che o e ).

Questo si ha se L(s) presenta una coppia di poli complessi coniugati a smorzamento nullo e pulsazione naturale

Coppia di poli puramente immaginari con

-

0

(19)

Modello interno

• Principio del modello interno: Affinchè un segnale di riferimento (disturbo sull'uscita) con una componente spettrale alla pulsazione sia inseguito (neutralizzato) a regime perfettamente in uscita è

necessario e sufficiente che

• il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile

• la funzione ad anello aperto L(s) abbia una coppia di poli complessi coniugati sull'asse immaginario con pulsazione naturale pari a

• Caso particolare:segnali di riferimento e disturbi sull'uscita costanti, cioè caratterizzati da una componente spettrale a frequenza zero.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un riferimento (disturbo sull'uscita) costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in uscita è che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell'origine

(20)

Funzione di sensitività del controllo

• La funzione di sensitività del controllo rappresenta la relazione dinamica tra tutti gli ingressi di interesse e la variabile di controllo u(t)

• Obiettivo progettuale: poichè uno dei requisiti del sistema di controllo è quello di tenere lo sforzo di controllo ``piccolo'' sarebbe auspicabile che ^Q(s) fosse “piccola”

• Seguendo un approccio frequenziale, sarà auspicabile avere Q(j₎ piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione a fronte di riferimenti e

disturbi sull'uscita) che a frequenze elevate (al fine di avere moderazione del controllo a fronte di disturbi di misura)

(21)

Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

• Le componenti a frequenze basse, minori della pulsazione di attraversamento

_c di |L(j)| (frequenza alla quale |R(j)| interseca 1/|G(j)| ), sono filtrate dall'inversa di |G(j)|. Il fattore di attenuazione a frequenze basse non è condizionabile attraverso il progetto del controllo.

• Le componenti a frequenze elevate (maggiori della pulsazione di

attraversamento _c di |L(j)|) sono filtrate da |R(j)|. Perciò il fattore di

attenuazione a frequenze elevate è condizionabile attraverso il progetto

Andamento approssimato di |Q(j)|

(22)

Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

Andamento approssimato di |Q(j)|

Una buona regola da seguire, al fine di moderare lo sforzo di controllo, è evitare l'uso di regolatori che “amplificano” a frequenze elevate, ovvero evitare di imporre frequenze di attraversamento _c di |L( j)| molto più alte rispetto a quella del sistema |G( j)|

(23)

Principi di Elettrotecnica ed Automatica

Errore a regime

21/05/2018

(24)

Errore a regime e tipo di sistema

• Consideriamo il sistema in retroazione unitaria:

con

• Errore a regime nella risposta ad un segnale U(s):

-

(25)

Errore nella risposta al gradino

• La ^L-trasformata del gradino di ampiezza A vale:

 L’errore rispetto al gradino è detto anche errore di posizione ep

Il numero (h) di poli nell’origine di G(s) determina il TIPO del sistema

 Costante di posizione (o di guadagno):

(26)

Errore di posizione e tipo di sistema

• Risposte al gradino

0 5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 1 errore a regime

nullo

0 5 10 15 20

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 2 errore a regime

nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 1.5

errore a regime costante

(27)

Errore nella risposta alla rampa

• La L-trasformata della rampa di pendenza A vale:

 L’errore rispetto alla rampa è detto anche errore di velocità ev

 In funzione del tipo del sistema avremo:

 tipo 0: ev= ∞

 tipo 1: ev= A/µ

 Costante di velocità:

Se G(s) è di TIPO ≥2 (ha 2 o più poli nell’origine)

(28)

Errore di velocità e tipo di sistema

• Risposte alla rampa

sistema di tipo 2

0 5 10 15 20

0 0.5

1 1.5

errore a regime nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 1.5

errore a regime crescente

0 5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 1 errore a regime

costante

(29)

Errore di accelerazione

• Analogamente, considerando il segnale:

 L’ errore di accelerazione earisulta:

 In funzione del tipo del sistema avremo:

 tipo 0,1: ea= ∞

 tipo 2: ea= A/µ

Se G(s) è di TIPO ≥3 (ha 3 o più poli nell’origine)

 Costante di accelerazione:

(30)

Caso generale

• Per segnali, in generale del tipo:

G(s) Kp Kv Ka ep ev ea

Tipo 0 µ ⁰ ⁰

Tipo 1 µ 0

Tipo 2 µ

 Si ha, indicando con h il tipo del sistema:

(31)

Retroazione non unitaria

• Nel caso in cui il sistema in esame presenti una dinamica

H(s) non unitaria sul ramo di retroazione:

• Ci si riconduce alla retroazione unitaria considerando, per il calcolo dell’errore a regime, lo schema equivalente:

(32)

Principi di Elettrotecnica ed Automatica

Sistemi digitali

21/05/2018

(33)

Sistemi a tempo discreto

Tutti i fenomeni naturali si svolgono nel tempo continuo

Esistono, tuttavia, dei fenomeni non naturali che hanno senso in un insieme discreto di istanti

I sistemi a tempo discreto possono essere utilizzati per approssimare i sistemi a tempo continuo mediante campionamento.

Quindi:

gli ingressi u e le uscite y sono note solo in istanti t₀, t₁, t₂ · · · , t_k, · · · (k ∈ N )

gli istanti, ti, sono multipli di una quantit`a fondamentale T_δ : t₀ = 0, t₁ = T_δ, t₂= 2T_δ · · · , t_k = kT_δ (u(kT_δ), y (kT_δ)) In tal caso, il parametro T_δ viene omesso e il parametro temporale t_k viene rappresentato solo mediante k (u(k), y (k))

Conto bancario. y (k) = risparmi al mese k, u(k) =depositi-prelievi, tasso di

(34)

Sistemi a tempo discreto:caratterizzazione

Per i sistemi a tempo discreto valgono le stesse caratterizzazioni dei sistemi a tempo continuo:

Sistemi statici o istantanei o senza memoria e sistemi dinamici o con memoria.

Sistemi causali ed anti-causali

Sistemi tempo-varianti e tempo-invarianti Sistemi lineari e sistemi non lineari

(35)

Sistemi con struttura di stato

Fra i sistemi dinamici causali grande importanza hanno i sistemi la cui evoluzione dell’uscita in [k0, +∞) dipende solo dall’ingresso a partire da tale istante e dal valore di un numero opportuno di variabili di stato:

X_1,k₀, X_2,k₀, · · · , X_n,k₀:

y (k) = E (k, k₀, X_1,k₀, X_2,k₀, · · · , X_n,k₀, u_[k₀_,k])funzione risposta del sistema Le variabili di stato definiscono lo stato interno del sistema e ne memorizzano la storia passata.

Il numero di variabili di stato non `e unico Fissato il numero la loro scelta non `e unica Note le variabili di stato all’istante corrente

y (k) = G (k, X (k), X (k), · · · , X (k), u(k)) trasformazione di uscita

(36)

Se G (·) non dipende da u(k):

y (k) = G (k, X₁(k), X₂(k), · · · , X_n(k)) si parla di sistema proprio, altrimenti di sistema improprio.

N.B.: Se G non dipende dalle variabili di stato il sistema diventa un sistema algebrico

L’evoluzione delle variabili di stato `e







X1(k) = Φ1(k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u_[k₀_,k]) ...

(37)

La funzione di transizione dello stato gode delle seguenti propriet`a Consistenza:

Φ_i|_k=k₀ = X_{i ,k}₀ i = 1, 2, . . . , n Separazione:

Φi(k, k0, X1,k₀, X2,k₀, · · · , Xn,k₀, u_[k₀_,k]) = Φi(k, k1, X1,k₁, X2,k₁, · · · , Xn,k₁, u_[k₁_,k]) con Xi ,1= Φi(k, k0, X1,k₀, X2,k₀, · · · , Xn,k₀, u_[k₀_,k])

L’insieme della funzione di transizione dello stato e della trasformazione di uscita prende il nome dimodello esplicito ingresso-stato-uscita











X1(k) = Φ1(k, k0, X1,k₀, X2,k₀, · · · , Xn,k₀, u_[k₀_,k]) ...

X_n(k) = Φ_n(k, k₀, X_1,k₀, X_2,k₀, · · · , X_n,k₀, u_[k₀_,k]) y (k) = G (k, X₁(k), X₂(k), · · · , X_n(k), u(k)) In forma compatta con x = (x₁, x₂, · · · , x_n)

(38)

In genere, non si ha a disposizione il modello esplicito

ingresso-stato-uscita, ma solo un modello in forma implicita. Nel seguito, si considereranno solo modelli del tipo

x (k + 1) = f (k, x (k), u(k)) y (k) = g (k, x (k), u(k))

(39)

Movimento ed equilibrio

Dato un sistema dinamico stazionario

x (k + 1) = f (x (k), u(k)) y (k) = g (x (k), u(k))

con k0 istante iniziale, ingresso u e stato iniziale x (k0) = x0 `e spesso di interesse calcolare quei movimenti dello stato (x ) e dell’uscita (y ) che risultano anch’essi costanti nel tempo. Questi movimento sono dettistati ed uscitedi equilibrio.

Essendo x (k + 1) = x (k) = x , deve essere f (x , u) = x

ad ognuna delle soluzioni dell’equazione (se esistono) corrisponde l’uscita y = g (x , u)

(40)

Stabilit`a dei sistemi

Definizione (stabilit`a). Dato un sistema dinamico

x (k + 1) = f (k, x (k), u(k)) y (k) = g (k, x (k), u(k))

sottoposto all’ingresso u(k), con x_k₀ = x₀, il movimento dell’uscita x (k) si dice stabile se

∀δ > 0, ∃ε > 0 | kx₀− x₀k ≤ ε → kx(k) − x(k)k ≤ δ ∀k ≥ k₀

Cio`e, il movimento con condizioni iniziali perturbate risulta vicino quanto si vuole al movimento nominale.

Definizione (instabilità). Un movimento è instabile se non è stabile.

Definizione (asintotica stabilit`a). Un movimento `e asintoticamente stabile

(41)

I Sistemi Dinamici Lineari

Condizione necessaria e sufficiente affinch`e un sistema dinamico sia lineare `e che il modello implicito Ingresso-Stato-Uscita assuma la forma

x(k + 1) = A(k)x (k) + B(k)u(k) y (k) = C (k)x (k) + D(k)u(k)

Nel caso in cui le matriciA, B, C , D siano costanti, allora il sistema `e anche tempo-invariante (sistemaLTI).I sistemi lineari tempo-invarianti a tempo discreto hanno la seguente forma

x (k + 1) = Ax (k) + Bu(k) y (k) = C x (k) + Du(k)

Il modello esplicito ISU (evoluzione libera+ evoluzione forzata) `e

x (k) = x_el(k)+x_f(k) y (k) = y_el(k)+y_f(k) →











x (k) = A^kx (0)+ k−1 X

h=0

A^k−h−1Bu(h)

y (k) = C A^kx (0)+C k−1 X

h=0

A^k−h−1Bu(h) + Du(k)

con istante iniziale nullo.

I punti di equilibrio nel caso in cuiu(k) = u sono

(42)

I sistemi lineari. Stabilit`a

Teorema. Dato un sistema LTI (Lineare-Tempo-Invariante) con k₀ = 0, x (k₀) = x0, u(k) = u(k)

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y (k) = C x (k) + Du(k)

la sua stabilit`a dipende solo dal movimento libero dello stato e quindi dalla matrice dinamica A.

Dimostrazione

Sia x (k) l’evoluzione nominale dello stato a partire dallo stato iniziale x0 e ingresso u(k). Sia ˜x₀ = x₀+ δx₀ lo stato iniziale perturbato e ˜x (k) la corrispondente uscita. Si ha:

(43)

Trasformata Zeta

La trasfromata Z facilita l’analisi dei sistemi a tempo discreto. Data una funzione reale f : k ∈ N → IR (f (k) = 0, ∀k < 0) si definische trasfromata Z di f (k) la funzione complessa di variabile complessa F : z ∈ C → C

F (z) = Z[f (k)] =

+∞

X

k=0

f (k)z^−k

se esiste per qualche z ∈ C.

La formula di antitrasformazione `e:

f (k) = Z⁻¹[F (z)] = _2πi¹ H

γF (z)z^k−1

per qualsiasi curva chiusa γ all’interno della regione di convergenza.

(44)

Analisi con trasformata Z. Propriet`a

Linearit`a: Z [a f (k) + b g (k)] = a F (z) + b G (z) Anticipo temporale: Z [f (k + 1)] = zF (z) − zf (0) Derivazione nel dominio della z: Z [kf (k)] = −z^{dF (z)}_dz Ritardo temporale: Z [f (k − 1)] = F (z)/z

Prodotto di Convoluzione:

Z

"_+∞

X

h=0

f (k − h)g (k)

#

= Z

"_+∞

X

h=0

f (h)g (k − h)

#

= F (z)G (z) Moltiplicazione per esponenziale discreto: Za^kf (k) = F (^z_a) Teorema del valore iniziale. f (0) = lim

z−>∞F (z)

(45)

Analisi con trasformata Z. Trasformate notevoli

Impulso discreto: Z [δ(k)] = 1

Gradino unitario discreto: Z [1(k)] = _z−1^z Rampa lineare discreta: Z [k1(k)] = _(z−1)^z 2

Esponenziale discreto: Za^k1(k) = _z−a^z

Trasformata del seno discreto: Z [sin(θk)1(k)] = _z2−2 cos(θ)z+1^{z sin(θ)}

Trasformata del coseno: Z [cos(θk)1(k)] = z(z−cos(θ)) z²−2 cos(θ)z+1

Trasformata del seno per un esponenziale:

Zρ^ksin(θk)1(k) = _z₂−2ρ cos(θ)z+ρ^{zρ sin(θ)} ²

Trasformata del coseno: Zρ^kcos(θk)1(k) = z(z−ρ cos(θ))

2 2

(46)

Risposta dei sistemi lineari

Trasformando nel dominio della Z membro a membro

x(k + 1) = A(k)x(k)+B(k)u(k) y (k) = C (k)x (k)+D(k)u(k)L

−

→

X (z) = z(zI−A)⁻¹X0+(zI − A)⁻¹BU(z) Y (z) = zC (zI−A)⁻¹X0+C (zI−A)⁻¹B+DU(z) Si distinguono i termini di evoluzione libera e forzata:

X_el(z) = z(zI−A)⁻¹X₀ Y_el(z) = zC (zI−A)⁻¹X₀

X_f(z) = (zI−A)⁻¹BU(z) = G_x(z)U(z) Y_f(z) =C (zI − A)⁻¹B+D U(z) = G (z)U(z)

G_x(z) ∈ C^n×m: matrice di trasferimento tra ingresso e stato

G (z) ∈ C^p×m: matrice di trasferimento. A parte la variabile z, ha la stessa espressione formale di G (s) = [C (sI − A)⁻¹B+D]

(47)

La matrice (zI − A)⁻¹ e una matrice n × n in cui tutti gli` elementi sono funzioni razionali fratte cio è rapporti di polinomi in z il cui denominatore ha al più grado n e il numeratore al più grado n − 1.

(zI − A)⁻¹=







N11(z)

D(z) · · · ^N_D(z)¹ⁿ^(z)

N21(z)

D(z) · · · ^N_D(z)²ⁿ^(z) ... ... ...

Nn1(z)

D(z) · · · ^N_D(z)ⁿⁿ^(z)





 con

N_ij(z) = (bîj_n−1zⁿ⁻¹+ b_n−2îj zⁿ⁻²+ · · · + bîj₁z + bîj₀): complemento algebrico i , j della matrice (zI − A),

(48)

L’ evoluzione libera dello stato `e un vettore di funzioni razionali fratte con grado del numeratore minore del grado del denominatore

X_el(z)=z(zI −A)⁻¹x₀=







N11(z)

D(z) · · · ^N_D(z)¹ⁿ^(z)

N21(z)

D(z) · · · ^N_D(z)²ⁿ^(z) ... ... ...

Nn1(z)

D(z) · · · ^N_D(z)ⁿⁿ^(z)





 x₀ =





 Pn

i =0 N_1j(z)

D(z) x_0,i Pn

i =0 N2j(z)

D(z) x_0,i ... Pn

i =0 Nni(z)

D(z) x_0,i





 L’ evoluzione forzata dello stato con ingressi polinomiali o sinusoidali `e un vettore di funzioni razionali fratte





N11(z)

D(z) · · · ^N_D(z)¹ⁿ^(z)

N (z) N (z)







 Pm

i =0B_1iU_i(z)



(49)

Modi di Evoluzione

Consideriamo la risposta in evoluzione libera di un sistema lineare

Xel(z)=z





 Pn

i =0 N_1j(z)

D(z)x0,i

Pn i =0

N_2j(z) D(z)x0,i

.. . Pn

i =0 N_ni(z)

D(z)x0,i







=z





 Pl

j =1 R_i¹z (z−p_i)+Pm

i =1Si¹

zρ_isin(θ_i)

z²−2ρ_icos(θ_iz)+ρ²_i+Pm i =1Ti¹

z(z−ρ_icos(θ_i)) z²−2ρ_icos(θ_i)z+ρ²_i

Pl j =1

R_i²z (z−p_i)+Pm

i =1S_i²_z₂_−2ρ^zρⁱ^sin(θⁱ⁾

icos(θ_iz)+ρ²_i+Pm

i =1T_i²_z₂_−2ρ^z(z−ρⁱ^cos(θⁱ⁾⁾

icos(θ_i)z+ρ²_i

.. .Pl

j =1 R_iⁿz (z−p_i)+Pm

i =1S_i¹ ^zρⁱ^sin(θⁱ⁾

z²−2ρ_icos(θ_iz)+ρ²_i+Pm

i =1T_iⁿ ^z(z−ρⁱ^cos(θⁱ⁾⁾

z²−2ρ_icos(θ_i)z+ρ²_i







con k + m = n e grado del numeratore (Ni(z), i = 1, 2, · · · , n ) minore del grado del denominatore (D(z)).

Per semplicità, solo radici di molteplicità 1 sono state considerate La risposta in evoluzione libera nel dominio del tempo è

xel(k) =





 Pl

i =1Ri¹p^ki1(k)+Pm

i =1Si¹ρ^ki sin(θik)1(k)+Pm

i =1Ti¹ρ^ki cos(θik)1(k) Pl

i =1R_i²p^k_i1(k)+Pm

i =1S_i²ρ^k_i sin(θik)1(k)+Pm

i =1T_i²ρ^k_i cos(θik)1(k) ..

.







(50)

Modi di Evoluzione

In sostanza l’evoluzione libera dello stato e dell’uscita sono una combinazione lineare di termini del tipo

k^lp^k_i1(k): poli reali (p_i), l = 1, 2, . . . , m − 1 (m molteplicit`a) k^lρ^k_isin(θik)/kρ^k_icos(θik): poli complessi coniugati

(ρ_icos(θ_i) ± i ρ_isin(θ_i)) (il modulo `e ρ_i > 0), l = 1, 2, . . . , m − 1 (m molteplicit`a)

Queste funzioni sono dette modi di evoluzione del sistema Inoltre :

i modi di evoluzione non dipendono dalla scelta delle variabili di ingresso e di uscita

non `e detto che tutti i modi compaiono nelle evoluzioni libere dello

(51)

Modi di Evoluzione

Modi di evoluzione a seconda della posizione dei corrispondenti poli nel piano di Gauss

(52)

Criterio di Stabilit`a

Tenendo conto che

La stabilit`a di un sistema lineare dipende solo dalla sua evoluzione libera

La risposta in evoluzione libera `e una combinazione lineare dei modi di evoluzione del sistema

si ha che:

Stabilità: un sistema lineare è stabile se e solo se tutti gli autovalori della sua matrice dinamica sono in modulo minore di 1 e gli autovalori con modulo 1 hanno molteplicità unitaria

Asintotica stabilit`a: un sistema lineare `e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori della sua matrice dinamica hanno modulo minore di 1

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Sistemi a dati campionati

Permettono di avere una rappresentazione a tempo discreto di un sistema a tempo continuo. `E utile, per esempio, per

simulare al calcolatore un sistema tempo continuo

per realizzare sistemi di controllo digitali in cui il controllore `e un calcolatore In particolare nel secondo caso:

il calcolatore fornisce in uscita un segnale di controllo u(kT ) che `e una sequenza discreta che vaconvertitain un segnale a tempo continuo u(t) il calcolatore riceve in ingresso una sequenza a tempo discreto y (kT ) che rappresenta le misure dell’uscita del processo (a tempo continuo)

campionata in istanti multipli di T .

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Per interfacciare un sistema a tempo discreto con un sistema a tempo continuo sono necessari dei dispositivi di conversione:

convertitore digitale-analogico (D/A): converte una sequenza discreta in un segnale a tempo continuo

convertitore analogico-digitale (A/D): converte un segnale continuo in un segnale a tempo discreto

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L’intero sistema è visto come un sistema tempo discreto in cui l’ingresso è u(kT )^def= u(k) e l’uscita è y (kT )^def= y (k).

Si vuole determinare il modello dinamico del sistema a tempo discreto corrispondente a partire dalla conoscenza del modello a tempo

continuo.

Utilizzando la formula di Lagrange per il modello ISU in forma esplicita :

(

x (t) = eA^(t−t⁰⁾x0+Rt

t0eA^{(t−τ )}Bu(τ )d τ y (t) = C x (t) + Du(t)

scegliendo come punto iniziale t₀= kT (stato iniziale x₀= x (kT )) dato che l’ingresso u `e costante a tratti, lo stato all’istante x ((k + 1)T ) `e:

x ((k + 1)T ) = eA^{(kT )}x (kT ) +R(k+1)T

kT eA((k+1)T −τ )Bu(kT )d τ y (kT ) = C x (kT ) + Du(kT )

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Se il sistema a tempo continuo è asintoticamente stabile, cosa si può dire sulla stabilità del sistema tempo discreto corrispondente?

E anch’esso asintoticamente stabile. Basta notare che se λ` i `e un autovalore di A (matrice dinamica del sistema a tempo continuo), allora e^λⁱ^T `e un autovalore di eA^T (matrice dinamica del sistema a tempo continuo) e che se IR(λ_i) < 0, ∀i , allora |e^lambdaⁱ| < 1.

Come calcolo eA^T?

Basta notare che A_d = eA^T = eA^t|_t=T e che eA^t = L⁻¹[(sI − A)⁻¹] Come calcolo B_d = A⁻¹(eA^T− I )B se A non `e invertibile?

Applico la definizione: B_d =R(k+1)T

eA((k+1)T −τ )B con k = 0 per