Funzioni di sensitività

Testo completo

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Principi di Elettrotecnica ed Automatica

Analisi di un sistema di controllo in retroazione

21/05/2018

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Funzioni di sensitività

• Le funzioni di sensitività rappresentano le funzioni di trasferimento tra gli ingressi significativi e le uscite di interesse:

Funzione di sensitività

Funzione di sensitività complementare

Funzione di sensitività del controllo

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Funzioni di sensitività

• Schema di riferimento

ysp e R(s) u

+ - G(s) d y

+ + +

-n

Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse uscite di interesse e gli ingressi

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Funzioni di sensitivtà

Le funzioni S(s) e F(s) dipendono congiuntamente da R(s) e G(s) (funzione di anello) mentre nella funzione di sensitività del controllo Q(s) la fdt del regolatore R(s) entra singolarmente

Il denominatore (e in particolare i poli) di tutte le funzioni di sensitività è lo stesso. La stabilità del sistema in retroazione è indipendente dal particolare ingresso

Strutturalmente si ha che S(s)+F(s)=1. In pratica questo significa che non è possibile imporre, attraverso il progetto del regolatore, specifiche arbitrarie.

Esempio 1.

Cancellazione del disturbo d sull'uscita y S(s) = 0

Cancellazione del disturbo n sull'uscita y F(s) = 0

Esempio 2.

Inseguimento del riferimento ysp con y F(s) = 1

No!

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alte frequenze basse frequenze

Relazioni tra rappresentazioni diverse

Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione

margine di fase basso adeguato

t 1

alta banda passante bassa

guadagno bassa frequenza basso adeguato

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Funzione di sensitività complementare

Obiettivi contrastanti

Dinamica tra disturbo di misura ed errore di inseguimento/uscita

Dinamica tra riferimento e uscita

F(s) idealmente uguale a 0 per compensare in modo esatto il disturbo di misura

F(s) idealmente uguale a 1 per

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Funzione di sensitività complementare – analisi poli/zeri

• Gli zeri di F(s) coincidono con gli zeri di L(s)

• I poli di F(s) dipendono in maniera complessa dai poli e dagli zeri di

L(s) (vedi luogo delle radici)

Non si possono assegnare arbitrariamente gli zeri di F(s) attraverso il

progetto del regolatore. Infatti gli zeri della funzione di trasferimento tra riferimento e uscita sono l'unione di quelli del sistema (fissati) e quelli del regolatore (assegnabili)

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Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• Si assumerà che la funzione di risposta armonica di anello L(j) abbia le caratteristiche di un passa basso:

|L(j)| >> 1 a basse frequenze

|L(j)| << 1 a frequenze elevate

Andamento approssimato di |F(j)|

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Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

• L’andamento approssimato di F(jw) mette in evidenza che

Il sistema in retroazione

approssima un filtro passa basso a guadagno unitario

il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena aperta cambia le sue caratteristiche

possiede quindi poli dominanti nell'intorno di c

il numero dipende dalla pendenza della L( j) in  = c

se la pendenza è -1 avremo un solo polo dominante reale

se la pendenza è -2 avremo una coppia di poli dominanti

• In quest’ultimo caso lo smorzamento dipende dal margine di fase

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Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

La relazione (approssimata) tra il margine di fase di L(j) e lo smorzamento dei poli dominanti di F(j) può essere ricavata con semplici passaggi sfruttando il fatto che

Dall’ipotesi che F(j) abbia una coppia di poli c.c. con pulsazione naturale

n=c e coefficiente di smorzamento  segue che

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Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase

L'analisi della funzione di sensitività complementare ci consente di mettere in relazione proprietà della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

Regola empirica:

Se il margine di fase (sistema in catena aperta) è < di 75° il sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati

Analisi in catena aperta Proprietà del sistema in retroazione Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra

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• Dall’andamento approssimato di F(jw) si ricava che

Segnali di riferimento ysp (e disturbi n) a frequenze sotto la pulsazione c (pulsazione di attraversamento di |L(j)| ) vengono fedelmente riprodotti in uscita a regime

Disturbi di misura n (e riferimenti ysp) a frequenze sopra la pulsazione c vengono fortemente attenuati in uscita

Funzione di sensitività complementare – analisi in frequenza

-

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La funzione di sensitività rappresenta:

La dinamica tra set-point e errore di inseguimento

La dinamica tra disturbo sull’uscita ed errore di inseguimento/uscita

Obiettivo: tenere S(s) prossima a zero (errore di inseguimento basso)

Al fine di attenuare il disturbo di misura anche F(s) deve essere piccola

(disaccoppiamento frequenziale tra disturbi di misura e disturbi sull’uscita)

Funzione di sensitività

Problema:

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Funzione di sensitività – analisi in frequenza

Filtro passa alto con pulsazione di taglio 

Andamento approssimato di |S(j)|

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Funzione di sensitività – analisi in frequenza

• L'andamento approssimato di |S(j)| mette in evidenza che

Le componenti del riferimento e del disturbo sull'uscita a frequenze basse

(sotto la pulsazione di attraversamento c di L(j)) vengono attenuate sull'errore di una fattore pari a 1/|L(j)| (Adb = - |L(j)|db)

Le frequenze superiori a  non vengono invece alterate

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Funzione di sensitività – analisi in frequenza

-

Un segnale di riferimento con una componente frequenziale viene inseguito con una

“precisione” pari all'inverso del guadagno della funzione di risposta armonica di

anello alla frequenza

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Funzione di sensitività – analisi in frequenza

-

Un disturbo sull’uscita con una componente frequenziale viene attenuato in uscita di un fattore pari all'inverso del

guadagno della funzione di risposta armonica di anello alla frequenza

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Funzione di sensitività e modello interno

• Le specifiche statiche sul sistema in retroazione possono essere imposte agendo sul modulo della L(j) a certe frequenze

• Nel caso si volesse che un riferimento (disturbo sull'uscita) alla

pulsazione venisse esattamente inseguito (compensato) a regime occorrerebbe che (ovvero che o e ).

Questo si ha se L(s) presenta una coppia di poli complessi coniugati a smorzamento nullo e pulsazione naturale

Coppia di poli puramente immaginari con

-

0

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Modello interno

Principio del modello interno: Affinchè un segnale di riferimento (disturbo sull'uscita) con una componente spettrale alla pulsazione sia inseguito (neutralizzato) a regime perfettamente in uscita è

necessario e sufficiente che

il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile

la funzione ad anello aperto L(s) abbia una coppia di poli complessi coniugati sull'asse immaginario con pulsazione naturale pari a

Caso particolare:segnali di riferimento e disturbi sull'uscita costanti, cioè caratterizzati da una componente spettrale a frequenza zero.

Condizione necessaria e sufficiente affinché un riferimento (disturbo sull'uscita) costante sia inseguito (compensato) esattamente a regime in uscita è che il sistema chiuso in retroazione sia asintoticamente stabile e che la funzione ad anello abbia almeno un polo nell'origine

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Funzione di sensitività del controllo

La funzione di sensitività del controllo rappresenta la relazione dinamica tra tutti gli ingressi di interesse e la variabile di controllo u(t)

Obiettivo progettuale: poichè uno dei requisiti del sistema di controllo è quello di tenere lo sforzo di controllo ``piccolo'' sarebbe auspicabile che Q(s) fosse “piccola”

Seguendo un approccio frequenziale, sarà auspicabile avere Q(j) piccola sia a frequenze basse (al fine di avere moderazione a fronte di riferimenti e

disturbi sull'uscita) che a frequenze elevate (al fine di avere moderazione del controllo a fronte di disturbi di misura)

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Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

Le componenti a frequenze basse, minori della pulsazione di attraversamento

c di |L(j)| (frequenza alla quale |R(j)| interseca 1/|G(j)| ), sono filtrate dall'inversa di |G(j)|. Il fattore di attenuazione a frequenze basse non è condizionabile attraverso il progetto del controllo.

Le componenti a frequenze elevate (maggiori della pulsazione di

attraversamento c di |L(j)|) sono filtrate da |R(j)|. Perciò il fattore di

attenuazione a frequenze elevate è condizionabile attraverso il progetto

Andamento approssimato di |Q(j)|

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Funzione di sensitività del controllo – analisi in frequenza

Andamento approssimato di |Q(j)|

Una buona regola da seguire, al fine di moderare lo sforzo di controllo, è evitare l'uso di regolatori che “amplificano” a frequenze elevate, ovvero evitare di imporre frequenze di attraversamento c di |L( j)| molto più alte rispetto a quella del sistema |G( j)|

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Principi di Elettrotecnica ed Automatica

Errore a regime

21/05/2018

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Errore a regime e tipo di sistema

Consideriamo il sistema in retroazione unitaria:

con

Errore a regime nella risposta ad un segnale U(s):

-

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Errore nella risposta al gradino

La L-trasformata del gradino di ampiezza A vale:

L’errore rispetto al gradino è detto anche errore di posizione ep

Il numero (h) di poli nell’origine di G(s) determina il TIPO del sistema

Costante di posizione (o di guadagno):

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Errore di posizione e tipo di sistema

• Risposte al gradino

0 5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 1 errore a regime

nullo

0 5 10 15 20

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 2 errore a regime

nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 1.5

errore a regime costante

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Errore nella risposta alla rampa

La L-trasformata della rampa di pendenza A vale:

L’errore rispetto alla rampa è detto anche errore di velocità ev

In funzione del tipo del sistema avremo:

tipo 0: ev= ∞

tipo 1: ev= A/µ

Costante di velocità:

Se G(s) è di TIPO ≥2 (ha 2 o più poli nell’origine)

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Errore di velocità e tipo di sistema

• Risposte alla rampa

sistema di tipo 2

0 5 10 15 20

0 0.5

1 1.5

errore a regime nullo

sistema di tipo 0

0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 1.5

errore a regime crescente

0 5 10 15 20 25

0 0.5

1 1.5

sistema di tipo 1 errore a regime

costante

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Errore di accelerazione

Analogamente, considerando il segnale:

L’ errore di accelerazione earisulta:

In funzione del tipo del sistema avremo:

tipo 0,1: ea= ∞

tipo 2: ea= A/µ

Se G(s) è di TIPO ≥3 (ha 3 o più poli nell’origine)

Costante di accelerazione:

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Caso generale

Per segnali, in generale del tipo:

G(s) Kp Kv Ka ep ev ea

Tipo 0 µ 0 0

Tipo 1 µ 0

Tipo 2 µ

Si ha, indicando con h il tipo del sistema:

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Retroazione non unitaria

• Nel caso in cui il sistema in esame presenti una dinamica

H(s) non unitaria sul ramo di retroazione:

• Ci si riconduce alla retroazione unitaria considerando, per il calcolo dell’errore a regime, lo schema equivalente:

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Principi di Elettrotecnica ed Automatica

Sistemi digitali

21/05/2018

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Sistemi a tempo discreto

Tutti i fenomeni naturali si svolgono nel tempo continuo

Esistono, tuttavia, dei fenomeni non naturali che hanno senso in un insieme discreto di istanti

I sistemi a tempo discreto possono essere utilizzati per approssimare i sistemi a tempo continuo mediante campionamento.

Quindi:

gli ingressi u e le uscite y sono note solo in istanti t0, t1, t2 · · · , tk, · · · (k ∈ N )

gli istanti, ti, sono multipli di una quantit`a fondamentale Tδ : t0 = 0, t1 = Tδ, t2= 2Tδ · · · , tk = kTδ (u(kTδ), y (kTδ)) In tal caso, il parametro Tδ viene omesso e il parametro temporale tk viene rappresentato solo mediante k (u(k), y (k))

Conto bancario. y (k) = risparmi al mese k, u(k) =depositi-prelievi, tasso di

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Sistemi a tempo discreto:caratterizzazione

Per i sistemi a tempo discreto valgono le stesse caratterizzazioni dei sistemi a tempo continuo:

Sistemi statici o istantanei o senza memoria e sistemi dinamici o con memoria.

Sistemi causali ed anti-causali

Sistemi tempo-varianti e tempo-invarianti Sistemi lineari e sistemi non lineari

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Sistemi con struttura di stato

Fra i sistemi dinamici causali grande importanza hanno i sistemi la cui evoluzione dell’uscita in [k0, +∞) dipende solo dall’ingresso a partire da tale istante e dal valore di un numero opportuno di variabili di stato:

X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0:

y (k) = E (k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u[k0,k])funzione risposta del sistema Le variabili di stato definiscono lo stato interno del sistema e ne memorizzano la storia passata.

Il numero di variabili di stato non `e unico Fissato il numero la loro scelta non `e unica Note le variabili di stato all’istante corrente

y (k) = G (k, X (k), X (k), · · · , X (k), u(k)) trasformazione di uscita

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Sistemi con struttura di stato

Se G (·) non dipende da u(k):

y (k) = G (k, X1(k), X2(k), · · · , Xn(k)) si parla di sistema proprio, altrimenti di sistema improprio.

N.B.: Se G non dipende dalle variabili di stato il sistema diventa un sistema algebrico

L’evoluzione delle variabili di stato `e

X1(k) = Φ1(k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u[k0,k]) ...

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Sistemi con struttura di stato

La funzione di transizione dello stato gode delle seguenti propriet`a Consistenza:

Φi|k=k0 = Xi ,k0 i = 1, 2, . . . , n Separazione:

Φi(k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u[k0,k]) = Φi(k, k1, X1,k1, X2,k1, · · · , Xn,k1, u[k1,k]) con Xi ,1= Φi(k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u[k0,k])

L’insieme della funzione di transizione dello stato e della trasformazione di uscita prende il nome dimodello esplicito ingresso-stato-uscita

X1(k) = Φ1(k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u[k0,k]) ...

Xn(k) = Φn(k, k0, X1,k0, X2,k0, · · · , Xn,k0, u[k0,k]) y (k) = G (k, X1(k), X2(k), · · · , Xn(k), u(k)) In forma compatta con x = (x1, x2, · · · , xn)

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Sistemi con struttura di stato

In genere, non si ha a disposizione il modello esplicito

ingresso-stato-uscita, ma solo un modello in forma implicita. Nel seguito, si considereranno solo modelli del tipo

 x (k + 1) = f (k, x (k), u(k)) y (k) = g (k, x (k), u(k))

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Movimento ed equilibrio

Dato un sistema dinamico stazionario

 x (k + 1) = f (x (k), u(k)) y (k) = g (x (k), u(k))

con k0 istante iniziale, ingresso u e stato iniziale x (k0) = x0 `e spesso di interesse calcolare quei movimenti dello stato (x ) e dell’uscita (y ) che risultano anch’essi costanti nel tempo. Questi movimento sono dettistati ed uscitedi equilibrio.

Essendo x (k + 1) = x (k) = x , deve essere f (x , u) = x

ad ognuna delle soluzioni dell’equazione (se esistono) corrisponde l’uscita y = g (x , u)

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Stabilit`a dei sistemi

Definizione (stabilit`a). Dato un sistema dinamico

 x (k + 1) = f (k, x (k), u(k)) y (k) = g (k, x (k), u(k))

sottoposto all’ingresso u(k), con xk0 = x0, il movimento dell’uscita x (k) si dice stabile se

∀δ > 0, ∃ε > 0 | kx0− x0k ≤ ε → kx(k) − x(k)k ≤ δ ∀k ≥ k0

Cio`e, il movimento con condizioni iniziali perturbate risulta vicino quanto si vuole al movimento nominale.

Definizione (instabilit`a). Un movimento `e instabile se non `e stabile.

Definizione (asintotica stabilit`a). Un movimento `e asintoticamente stabile

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I Sistemi Dinamici Lineari

Condizione necessaria e sufficiente affinch`e un sistema dinamico sia lineare `e che il modello implicito Ingresso-Stato-Uscita assuma la forma

x(k + 1) = A(k)x (k) + B(k)u(k) y (k) = C (k)x (k) + D(k)u(k)

Nel caso in cui le matriciA, B, C , D siano costanti, allora il sistema `e anche tempo-invariante (sistemaLTI).I sistemi lineari tempo-invarianti a tempo discreto hanno la seguente forma

 x (k + 1) = Ax (k) + Bu(k) y (k) = C x (k) + Du(k)

Il modello esplicito ISU (evoluzione libera+ evoluzione forzata) `e

 x (k) = xel(k)+xf(k) y (k) = yel(k)+yf(k)

x (k) = Akx (0)+ k−1 X

h=0

Ak−h−1Bu(h)

y (k) = C Akx (0)+C k−1 X

h=0

Ak−h−1Bu(h) + Du(k)

con istante iniziale nullo.

I punti di equilibrio nel caso in cuiu(k) = u sono

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I sistemi lineari. Stabilit`a

Teorema. Dato un sistema LTI (Lineare-Tempo-Invariante) con k0 = 0, x (k0) = x0, u(k) = u(k)

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y (k) = C x (k) + Du(k)

la sua stabilit`a dipende solo dal movimento libero dello stato e quindi dalla matrice dinamica A.

Dimostrazione

Sia x (k) l’evoluzione nominale dello stato a partire dallo stato iniziale x0 e ingresso u(k). Sia ˜x0 = x0+ δx0 lo stato iniziale perturbato e ˜x (k) la corrispondente uscita. Si ha:

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Trasformata Zeta

La trasfromata Z facilita l’analisi dei sistemi a tempo discreto. Data una funzione reale f : k ∈ N → IR (f (k) = 0, ∀k < 0) si definische trasfromata Z di f (k) la funzione complessa di variabile complessa F : z ∈ C → C

F (z) = Z[f (k)] =

+∞

X

k=0

f (k)z−k

se esiste per qualche z ∈ C.

La formula di antitrasformazione `e:

f (k) = Z−1[F (z)] = 2πi1 H

γF (z)zk−1

per qualsiasi curva chiusa γ all’interno della regione di convergenza.

(44)

Analisi con trasformata Z. Propriet`a

Linearit`a: Z [a f (k) + b g (k)] = a F (z) + b G (z) Anticipo temporale: Z [f (k + 1)] = zF (z) − zf (0) Derivazione nel dominio della z: Z [kf (k)] = −zdF (z)dz Ritardo temporale: Z [f (k − 1)] = F (z)/z

Prodotto di Convoluzione:

Z

"+∞

X

h=0

f (k − h)g (k)

#

= Z

"+∞

X

h=0

f (h)g (k − h)

#

= F (z)G (z) Moltiplicazione per esponenziale discreto: Zakf (k) = F (za) Teorema del valore iniziale. f (0) = lim

z−>∞F (z)

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Analisi con trasformata Z. Trasformate notevoli

Impulso discreto: Z [δ(k)] = 1

Gradino unitario discreto: Z [1(k)] = z−1z Rampa lineare discreta: Z [k1(k)] = (z−1)z 2

Esponenziale discreto: Zak1(k) = z−az

Trasformata del seno discreto: Z [sin(θk)1(k)] = z2−2 cos(θ)z+1z sin(θ)

Trasformata del coseno: Z [cos(θk)1(k)] = z(z−cos(θ)) z2−2 cos(θ)z+1

Trasformata del seno per un esponenziale:

Zksin(θk)1(k) = z2−2ρ cos(θ)z+ρzρ sin(θ) 2

Trasformata del coseno: Zkcos(θk)1(k) = z(z−ρ cos(θ))

2 2

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Risposta dei sistemi lineari

Trasformando nel dominio della Z membro a membro

x(k + 1) = A(k)x(k)+B(k)u(k) y (k) = C (k)x (k)+D(k)u(k)L

X (z) = z(zI−A)−1X0+(zI − A)−1BU(z) Y (z) = zC (zI−A)−1X0+C (zI−A)−1B+DU(z) Si distinguono i termini di evoluzione libera e forzata:

 Xel(z) = z(zI−A)−1X0 Yel(z) = zC (zI−A)−1X0

 Xf(z) = (zI−A)−1BU(z) = Gx(z)U(z) Yf(z) =C (zI − A)−1B+D U(z) = G (z)U(z)

Gx(z) ∈ Cn×m: matrice di trasferimento tra ingresso e stato

G (z) ∈ Cp×m: matrice di trasferimento. A parte la variabile z, ha la stessa espressione formale di G (s) = [C (sI − A)−1B+D]

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Risposta dei sistemi lineari

La matrice (zI − A)−1 e una matrice n × n in cui tutti gli` elementi sono funzioni razionali fratte cio `e rapporti di polinomi in z il cui denominatore ha al pi`u grado n e il numeratore al pi`u grado n − 1.

(zI − A)−1=

N11(z)

D(z) · · · ND(z)1n(z)

N21(z)

D(z) · · · ND(z)2n(z) ... ... ...

Nn1(z)

D(z) · · · ND(z)nn(z)

con

Nij(z) = (bijn−1zn−1+ bn−2ij zn−2+ · · · + bij1z + bij0): complemento algebrico i , j della matrice (zI − A),

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Risposta dei sistemi lineari

L’ evoluzione libera dello stato `e un vettore di funzioni razionali fratte con grado del numeratore minore del grado del denominatore

Xel(z)=z(zI −A)−1x0=

N11(z)

D(z) · · · ND(z)1n(z)

N21(z)

D(z) · · · ND(z)2n(z) ... ... ...

Nn1(z)

D(z) · · · ND(z)nn(z)

x0 =

Pn

i =0 N1j(z)

D(z) x0,i Pn

i =0 N2j(z)

D(z) x0,i ... Pn

i =0 Nni(z)

D(z) x0,i

L’ evoluzione forzata dello stato con ingressi polinomiali o sinusoidali `e un vettore di funzioni razionali fratte

N11(z)

D(z) · · · ND(z)1n(z)

N (z) N (z)

Pm

i =0B1iUi(z)

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Modi di Evoluzione

Consideriamo la risposta in evoluzione libera di un sistema lineare

Xel(z)=z

Pn

i =0 N1j(z)

D(z)x0,i

Pn i =0

N2j(z) D(z)x0,i

.. . Pn

i =0 Nni(z)

D(z)x0,i

=z

Pl

j =1 Ri1z (z−pi)+Pm

i =1Si1

isin(θi)

z2−2ρicos(θiz)+ρ2i+Pm i =1Ti1

z(z−ρicos(θi)) z2−2ρicos(θi)z+ρ2i

Pl j =1

Ri2z (z−pi)+Pm

i =1Si2z2−2ρisin(θi)

icos(θiz)+ρ2i+Pm

i =1Ti2z2−2ρz(z−ρicos(θi))

icos(θi)z+ρ2i

.. .Pl

j =1 Rinz (z−pi)+Pm

i =1Si1 isin(θi)

z2−2ρicos(θiz)+ρ2i+Pm

i =1Tin z(z−ρicos(θi))

z2−2ρicos(θi)z+ρ2i

con k + m = n e grado del numeratore (Ni(z), i = 1, 2, · · · , n ) minore del grado del denominatore (D(z)).

Per semplicit`a, solo radici di molteplicit`a 1 sono state considerate La risposta in evoluzione libera nel dominio del tempo `e

xel(k) =

Pl

i =1Ri1pki1(k)+Pm

i =1Si1ρki sin(θik)1(k)+Pm

i =1Ti1ρki cos(θik)1(k) Pl

i =1Ri2pki1(k)+Pm

i =1Si2ρki sin(θik)1(k)+Pm

i =1Ti2ρki cos(θik)1(k) ..

.

(50)

Modi di Evoluzione

In sostanza l’evoluzione libera dello stato e dell’uscita sono una combinazione lineare di termini del tipo

klpki1(k): poli reali (pi), l = 1, 2, . . . , m − 1 (m molteplicit`a) klρkisin(θik)/kρkicos(θik): poli complessi coniugati

icos(θi) ± i ρisin(θi)) (il modulo `e ρi > 0), l = 1, 2, . . . , m − 1 (m molteplicit`a)

Queste funzioni sono dette modi di evoluzione del sistema Inoltre :

i modi di evoluzione non dipendono dalla scelta delle variabili di ingresso e di uscita

non `e detto che tutti i modi compaiono nelle evoluzioni libere dello

(51)

Modi di Evoluzione

Modi di evoluzione a seconda della posizione dei corrispondenti poli nel piano di Gauss

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Criterio di Stabilit`a

Tenendo conto che

La stabilit`a di un sistema lineare dipende solo dalla sua evoluzione libera

La risposta in evoluzione libera `e una combinazione lineare dei modi di evoluzione del sistema

si ha che:

Stabilit`a: un sistema lineare `e stabile se e solo se tutti gli autovalori della sua matrice dinamica sono in modulo minore di 1 e gli autovalori con modulo 1 hanno molteplicit`a unitaria

Asintotica stabilit`a: un sistema lineare `e asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori della sua matrice dinamica hanno modulo minore di 1

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Sistemi a dati campionati

Permettono di avere una rappresentazione a tempo discreto di un sistema a tempo continuo. `E utile, per esempio, per

simulare al calcolatore un sistema tempo continuo

per realizzare sistemi di controllo digitali in cui il controllore `e un calcolatore In particolare nel secondo caso:

il calcolatore fornisce in uscita un segnale di controllo u(kT ) che `e una sequenza discreta che vaconvertitain un segnale a tempo continuo u(t) il calcolatore riceve in ingresso una sequenza a tempo discreto y (kT ) che rappresenta le misure dell’uscita del processo (a tempo continuo)

campionata in istanti multipli di T .

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Sistemi a dati campionati

Per interfacciare un sistema a tempo discreto con un sistema a tempo continuo sono necessari dei dispositivi di conversione:

convertitore digitale-analogico (D/A): converte una sequenza discreta in un segnale a tempo continuo

convertitore analogico-digitale (A/D): converte un segnale continuo in un segnale a tempo discreto

(55)

Sistemi a dati campionati

L’intero sistema `e visto come un sistema tempo discreto in cui l’ingresso `e u(kT )def= u(k) e l’uscita `e y (kT )def= y (k).

Si vuole determinare il modello dinamico del sistema a tempo discreto corrispondente a partire dalla conoscenza del modello a tempo

continuo.

Utilizzando la formula di Lagrange per il modello ISU in forma esplicita :

(

x (t) = eA(t−t0)x0+Rt

t0eA(t−τ )Bu(τ )d τ y (t) = C x (t) + Du(t)

scegliendo come punto iniziale t0= kT (stato iniziale x0= x (kT )) dato che l’ingresso u `e costante a tratti, lo stato all’istante x ((k + 1)T ) `e:

x ((k + 1)T ) = eA(kT )x (kT ) +R(k+1)T

kT eA((k+1)T −τ )Bu(kT )d τ y (kT ) = C x (kT ) + Du(kT )

(56)

Sistemi a dati campionati

Se il sistema a tempo continuo `e asintoticamente stabile, cosa si pu`o dire sulla stabilit`a del sistema tempo discreto corrispondente?

E anch’esso asintoticamente stabile. Basta notare che se λ` i `e un autovalore di A (matrice dinamica del sistema a tempo continuo), allora eλiT `e un autovalore di eAT (matrice dinamica del sistema a tempo continuo) e che se IR(λi) < 0, ∀i , allora |elambdai| < 1.

Come calcolo eAT?

Basta notare che Ad = eAT = eAt|t=T e che eAt = L−1[(sI − A)−1] Come calcolo Bd = A−1(eAT− I )B se A non `e invertibile?

Applico la definizione: Bd =R(k+1)T

eA((k+1)T −τ )B con k = 0 per

figura

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