3 2 2 1 2
2 2 1
N N N
N
f
2 1
N f N
2
30 N
1
9 N
013 .
2f
0
114 .
0
f1 . 0 3 .
0
f N
1 f
2
30
N
2
20 N
N
1 f
2
10 N
N
1 f
-Il metodo dei minimi quadrati (least square fitting)
Dato un insieme di n punti sperimentali.
Consente di determinare la funzione che meglio si approssima ai dati.
) , ( ) , ( ) , ( ) ,
( x
1y
1x
2y
2x
3y
3x
ny
nmin ))
(
(
21
n
i
i
i
f x
y
-Se scegliamo di utilizzare una retta (fit lineare)
b ax
x
f (
i)
i
min ))
(
(
21
n
i
i
i
ax b
y
0 ))
(
(
21
n
i
i
i
ax b
a y
0 ))
(
(
21
n
i
i
i
ax b
b y
[1]
[2]
0 ))
(
(
21
n
i
i
i
ax b
b y
0 ))
( (
2
1
n
i
i
i
ax b
y
0
1 i 1 i 1
n
i
n n
i
i
ax b
y 0
1 i 1
n
i
n
i
i
ax nb
y
ni
n
i
i
i
ax
y nb
1 1
n
ax y
b
n
i
n
i
i
i
1 1n
x a
y b
n
i
n
i i
i
1
1[2]
[3]
0 ))
(
(
21
n
i
i
i
ax b
a y
0 ))
( (
2
1
n
i
i i
i
y ax b
x
0
1 i 1 i 1
2
n
i
n i n
i i
i
y ax bx
x
n
x a
y b
n
i
n i
i
1
i 10
1 i 1
1 i 1
1 i
2
n
i
n
n
i
n i i
i n
i i
i
n
x a
y x
ax y
x
0
2
1 i 1
1 i 1 i 1
i
2
n
x a
n y x
ax y
x
n n i
i
n i n
i n
i i
i
[3]
1
1 i 1 i 2
1 i 1
i
2
ni
n i n
i i
i n
n i
i
n
y x
y n x
x a
ax
n x x
n y x
y x
a
nn i i n
i
n i n
i i
i
2
1 i 1
i
2 1
1 i 1
i
2
1 i 1
i
2
1 i 1 i 1
n i n
i n
i
n i n
i i
i
x x
n
y x
y x n
a [4]
n
x a
y b
n
i
n
i i
i
1
1[3]
ni n
i i n
i
n i n
i i
i
x x
n
y x
y x n
a
1 i
2 1
2
1 i 1 i 1
) (
[4]
n x x
x n
y x
y x n
n y b
n
i i n
i n
i i n
i
n i n
i i
i n
i
i
11 i
2 1
2
1 i 1 i 1
1
)
(
) ) (
(
) (
1
2 1
2
1 i 1
2 1
i 1
i 1
ni i n
i i n
i
n i n
i n
i i
i n
i i
x x
n n
y x
x y
x n
n y b
) ) (
(
) (
- )
( -
1
2 1
2
1 1
2 1
1
1 1
2 1
n
1 i
2
ni i n
i i
n
i
n
i i n
i i n
i i i
i n
i
n
i i n
i i i
i
x x
n n
y x
x y
x n
y x
y x
n
b
) ) (
(
-
1
2 1
2
1 1
1 1
2
ni i n
i i
n
i
n
i i i
i n
i i n
i i
x x
n n
x y
x n
y x
n b
ni i n
i i
n
i
n
i i i
i n
i i n
i i
x x
n
x y
x y
x b
1
2 1
2
1 1
1 1
2
) (
-
n x x
n
x y
x y
x
b
ni n i
i i
n
i
n
i i i
i n
i i n
i
1
2
1 2
1 1
1 1
2
) (
-
2 1
2
1 1
2
) (
x n x
y x x
x y
b
ni i
n
i
i i n
i
[5]
ni n
i i n
i
n i n
i i
i
x x
n
y x
y x n
a
1 i
2 1
2
1 i 1 i 1
) (
[4]
n x x
n y x
y x
a
ni n
i i n
i
n i n
i i
i
1 i
2
1 2 1
1 i 1 i
) (
2 1
2 1
) (
x n x
y x n y
x
a
ni i n
i
i i
[6]
Se la funzione con cui vogliamo rappresentare i dati non è una retta, ma ad esempio un
polinomio allora
Se la funzione con cui vogliamo rappresentare i dati non è una retta, ma ad esempio un
polinomio allora
min )
) (
(
21
n
i
i
i
f x
y
k i k i
i i
i
a a x a x a x a x
x
f ( )
0
1
2 2
3 3
0 )
...
(
(
21
3 3 2
2 1
0 0
n
i
k i k i
i i
i
a a x a x a x a x
a y
0 )
...
(
(
21
3 3 2
2 1
0 1
n
i
k i k i
i i
i
a a x a x a x a x
a y
0 )
...
(
(
21
3 3 2
2 1
0 2
n
i
k i k i
i i
i
a a x a x a x a x
a y
0 )
...
(
(
21
3 3 2
2 1
0
n
i
k i k i
i i
i k
x a x
a x
a x
a a
a y
...
Per trovare (col metodo dei minimi quadrati) la miglior “gaussiana” che approssima i dati
2 0 2
2 ) (
0
, ) A
, ,
( x A x e
x xf
0 ))
A ( (
1
2 2 ) (
2 0 2
n
i
x x
i
e
A y
0 ))
A ( (
1
2 2 ) (
0
2 0 2
n
i
x x
i
e
x y
0 ))
A ( (
1
2 2 ) (
2 0 2
n
i
x x
i
