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La funzione di trasferimento

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Academic year: 2021

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La funzione di trasferimento

Ricavare l’espressione generale della funzione di trasferimento di un filtro a reazione positiva semplice del secondo ordine.

Svolgimento

I filtri attivi di questo tipo presentano una rete di reazione positiva costituita dalle 5 ammettenze 1 di figura 1.

Figura 1 Filtro generico a reazione positiva semplice del secondo ordine.

Questo filtro è detto anche di Sallen-Key o voltage controlled voltage source (vcsc). Scegliendo opportunamente le ammettenze si possono realizzare filtri del secondo ordine passa alto o passa basso, ecc. Il guadagno statico, invece, dipende dalle due resistenze.

Per trovare la funzione di trasferimento applichiamo il primo principio di Kirchhoff al nodo A:

𝐼 1 + 𝐼 2 − 𝐼 3 − 𝐼 4 = 0 (1) Adesso troviamo le correnti:

𝐼 1 = (𝑉 𝑠 − 𝑉 𝐴 )𝑌 1 𝐼 2 = (𝑉 𝑜 − 𝑉 𝐴 )𝑌 2

𝐼 3 = 𝑉 𝐴 𝑌 3

Per determinare I 4 osserviamo che le ammettenze Y 4 e Y 5 sono in serie perché l’amplificatore operazionale si suppone ideale e. pertanto, non assorbe corrente.

𝐼 4 = 𝑉 𝐴 𝑌 4 𝑌 5 𝑌 4 + 𝑌 5 Sostituendo nella (1) possiamo scrivere:

(𝑉 𝑠 − 𝑉 𝐴 )𝑌 1 + (𝑉 𝑜 − 𝑉 𝐴 )𝑌 2 − 𝑉 𝐴 𝑌 3 − 𝑉 𝐴 𝑌 4 𝑌 5 𝑌 4 + 𝑌 5 = 0

1

Usiamo le ammettenze per semplificare I calcoli della funzione di trasferimento.

(2)

2 Raccogliamo V A :

𝑉 𝑠 𝑌 1 − (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 𝑌 5

𝑌 4 + 𝑌 5 ) 𝑉 𝐴 + 𝑉 𝑜 𝑌 2 = 0 (2)

Dobbiamo calcolare V A . Per cominciare osserviamo che la tensione al piedino invertente dell’amplificatore operazionale è quella ai capi dell’ammettenza Y 5 che è attraversata dalla corrente I 4 . Ma allora:

𝑉 + = 𝐼 4

𝑌 5 = 𝑉 𝐴 𝑌 4

𝑌 4 + 𝑌 5 (3)

Osserviamo che V + =V - infatti, dato che l’amplificatore operazionale è ideale e funziona in zona attiva, i due piedini di ingresso sono in cortocircuito virtuale. Ma V- è la tensione ai capi della resistenza R A che è in serie alla resistenza R B perché, come detto precedentemente, l’amplificatore operazionale, essendo ideale, presenta un’impedenza di ingresso infinita e, pertanto, non assorbe corrente. Scriviamo la relazione (data dal partitore di tensione):

𝑉 + = 𝑉 = 𝑉 𝑜 𝑅 𝐴 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 Indichiamo con:

𝐾 = 𝑉 𝑜

𝑉 + = 𝑉 + 𝑅

𝐴

𝑅 +𝑅

𝐵

𝐴

𝑉 + = 1 + 𝑅 𝐵 𝑅 𝐴 La quantità K rappresenta il guadagno statico del filtro.

Quindi:

𝑉 + = 𝑉 𝑜 𝐾 Sostituendo nella (3) otteniamo:

𝑉 𝑜

𝐾 = 𝑉 𝐴 𝑌 4 𝑌 4 + 𝑌 5 Da cui ricaviamo:

𝑉 𝐴 = 𝑉 𝑜 𝐾

𝑌 4 + 𝑌 5 𝑌 4 Sostituiamo nella (2):

𝑉 𝑠 𝑌 1 − (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 𝑌 5 𝑌 4 + 𝑌 5 ) 𝑉 𝑜

𝐾

𝑌 4 + 𝑌 5

𝑌 4 + 𝑉 𝑜 𝑌 2 = 0 𝑉 𝑠 𝑌 1 − 𝑉 𝑜

𝐾 (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 𝑌 5

𝑌 4 + 𝑌 5 ) 𝑌 4 + 𝑌 5 𝑌 4 + 𝑉 𝑜

𝐾 𝑌 2 𝐾 = 0 𝑉 𝑠 𝑌 1 − 𝑉 𝑜

𝐾 (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 𝑌 5

𝑌 4 + 𝑌 5 ) 𝑌 4 + 𝑌 5 𝑌 4 + 𝑉 𝑜

𝐾 𝑌 2 𝐾 = 0 𝑉 𝑠 𝑌 1 − [ (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 )(𝑌 4 + 𝑌 5 ) + 𝑌 4 𝑌 5 − 𝐾𝑌 4 𝑌 2

𝑌 4 ] 𝑉 𝑜

𝐾 = 0

(3)

3

𝑉 𝑠 𝑌 1 − [ (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 )𝑌 4 + (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 )𝑌 5 + 𝑌 4 𝑌 5 − 𝐾𝑌 4 𝑌 2

𝑌 4 ] 𝑉 𝑜

𝐾 = 0

𝑉 𝑠 𝑌 1 − [ (𝑌 1 + 𝑌 2 − 𝐾𝑌 2 + 𝑌 3 )𝑌 4 + (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 )𝑌 5

𝑌 4 ] 𝑉 𝑜

𝐾 = 0 𝑉 𝑠 𝑌 1 = 𝑉 𝑜

𝐾𝑌 4 [(𝑌 1 + (1 − 𝐾)𝑌 2 + 𝑌 3 )𝑌 4 + (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 )𝑌 5 ]

𝑉 𝑜 = 𝐾𝑌 1 𝑌 4

(𝑌 1 + (1 − 𝐾)𝑌 2 + 𝑌 3 )𝑌 4 + (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 )𝑌 5 𝑉 𝑠 Finalmente possiamo scrivere la funzione di trasferimento cercata:

𝑉 𝑜

𝑉 𝑠 = 𝐾𝑌 1 𝑌 4

(𝑌 1 + (1 − 𝐾)𝑌 2 + 𝑌 3 )𝑌 4 + (𝑌 1 + 𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 4 )𝑌 5

Questa relazione vale per tutti i filtri attivi del secondo ordine a reazione positiva semplice.

Questo file può essere scaricato gratuitamente. Se pubblicato citare la fonte.

Matilde Consales

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