Costruzione di Macchine

Costruzione di Macchine

A.A. 2018/2019 Prof. Luca Esposito

Lecture 10: Molle

Definizione

Elemento meccanico suscettibile di deformazione elastica non permanente a seguito di una sollecitazione

Accumulatore di energia elastica restituita alla rimozione della sollecitazione

Materiali per molle

Si prediligono alti valori di snervamento e rottura La notevole elasticità è generalmente dovuta ad elevati tenori di Carbonio (C>0.5%), Si e Cr

max

1 2

2

U d

V

U V

E

 





 



Molle in parallelo

La rigidezza equivalente di molle in parallelo è pari alla somma delle rigidezze

Molle in serie

La rigidezza equivalente di molle in serie si ottiene come il reciproco della somma dei reciproci delle singole rigidezze

Classificazione per impiego

• Accumulo di energia motrice (meccanismi di orologeria;

giocattoli a molla ….)

• Ripristino della posizione iniziale di un altro elemento

(Punterie di un dispositivo a camme o eccentrici ….)

• Attenuazione di fenomeni d’urto (ammortizzatori; giunti elastici)

• Trasmissione di forze (Innesti di frizione)

• Arresto (anelli e rosette)

• Distribuzione di carico

• Misurazione di carichi (Bilance e dinamometri)

• Limitatori di forze trasmesse

• Regolazione (valvole di regolazione)

• Oscillazione (dispositivi vibranti)

Classificazione per sollecitazione

o Molle di Trazione o Molle di Flessione o Molle di Torsione o Molle di Taglio

Alla sollecitazione P è associata una variazione di lunghezza () o una freccia (f) o una rotazione () f  g P  Caratteristica della

molla:

K P

f

  Rigidezza o costante 

elastica della molla:

1 K Flessibilità della molla:

Rigidezze da dimostrare

Caratteristica e dissipazione

La rigidezza ha una unità di misura che dipende dal tipo di molla La caratteristica di una molla può variare nel tempo e in generale non è detto che la legge di carico e di scarico sia la stessa

f P

f P

Energia dissipata per attrito sotto forma di calore …

Coefficiente di utilizzazione

max

Energia effettivamente

immagazzinata nella molla W m Energia teoricamente immagazzinabile U

se tutto il materiale fosse a 

 

Grandezza adimensionale compresa tra 0 e 1. Valori alti significano che il materiale è ben sfruttato

Coefficiente di utilizzazione

max max

2 max

0 0 E

U V d V d 2 V

E

      

 





La densità di energia va calcolata punto per punto su tutto il volume:

max max

2 2

max max max max

0 0

2 2 2

f f Kf P f P

W Pdf K f df







Se la molla ha una rigidezza costante:

Coefficiente di utilizzazione

Coefficiente di utilizzazione per una molla di trazione:

max

N

  A

max max

f L L N L

E AE

 

   dN dN EA

K df dN L L EA

  



max

L f L L

  ^ 

Coefficiente di utilizzazione

Coefficiente di utilizzazione per una molla di trazione:

2 2

max max

2 2

max max

2 2 1

2 2

N N L

W K EA

m U

V AL

E E

 

   

N EA f

 L

In una molla di trazione tutto il volume è

uniformemente stressato!

max max

N

  A

Coefficiente di utilizzazione

Coefficiente di utilizzazione per una molla di flessione:

max 2

PLd

  I

3

max 3

f PL

 EI 3EI₃

K  L

2 3 2

2 2 2 2 2

max

2

6 1 2

12

8 4

2

P P L

W K EI

m U P L d d

V L

I E E

 

   

Coefficiente di

utilizzazione basso!

Pari ad 1/9

considerando la

sezione rettangolare

Molla a Balestra

La molla a balestra è una particolare molla di flessione

ottimizzata per incrementare il coefficiente di utilizzazione

Si impone che ogni sezione sia soggetta alla massima tensione ammissibile ₀ partendo da una generica molla a sezione

rettangolare con dimensioni b₀ e h₀ all’incastro e modulo di resistenza variabile

x

     

max 2 0

6

x x x

f

P x P x

w b h

  ^  ^{ }  



0 2

0 0

6 P x

  b h^{ }



Molla a Balestra

  2  2

0 0

6 6

x x

P x P L

b h b h

    

 

  2  2

0 0

x x x

b h b h

  L 

Ipotizzando la sola variabilità di b si ottiene una molla ad una lamina di forma triangolare con:

Ipotizzando la sola variabilità di h

si ottiene una molla a spessore variabile:

 x x 0

b b

 L

 x x 0

h h

 L 

Molla a Balestra

 x x 0

b b

 L

Rigidezza della molla a forma triangolare dalla linea

elastica:

 

  2

2

1 ^x

x

d v M

dx E I

 ^{ }  x

    3

0 3

12 12 0 0 x

x

b h x

I b h

L

  

 x

M  P x

2

2 3 3

0 0 0 0

12 12

d v P x L P L dx E x b h E b h

    

   

  

2

1 2

1

v   2 x C x  C

Molla a Balestra

( ) 0 ( ) 0 v L

dv L dx

 

 



Per determinare il campo degli spostamenti impongo le condizioni al contorno all’incastro:

x 1 ² _{1 2}

v   2 x C x  C

(0) max

v  f

2

1 2

0 1

2 L C L C

   

0   L C1 C₁  L

2

2 1

1 1

2 2

C  L  L C   L

3 2

max 2 3

0 0

1 6

2

f C L PL

    Eb h

Molla a Balestra

Rigidezza della molla a flessione triangolare:

3 0 0

3 3

3 0 0

6 6

Eb h dP dP

K df dPL L

Eb h

  

Coefficiente di utilizzazione:

2

max 2 3 2 3

2 2 2 2

max 3 3 0 0

0 0 2 4

0 0 2

0 0 0 0

2 3 2 3 2 4

0 0 2 4

0 0

1

6 6

2

1 1 6 36

2 2

6 1

18 3

P

W K P L P L

m U PL P L b h L

V Eb h V b h

E E b h b h

P L b h P L

b h

     

 

    

   

 

 

 

 

 

Da 1/9 è aumentato ad 1/3 ma non può essere unitario causa distribuzione lineare nella sezione delle tensioni da flessione

Molla a Balestra

Per facilitare l’applicazione del carico all’estremità la punta della lamina è troncata e la rigidezza si può calcolare dal parallelo di una molla rettangolare e una triangolare

b₁





3 3 3 0

6 4 6 2

m t r

E b b h Eb h Eh b

K K K b

L L L

  

       

Molla a Balestra

Piuttosto che utilizzare una molla a lamina trapezoidale si utilizzano lamine rettangolari di lunghezza decrescente che si possono pensare ottenute dalla lamina originaria con tagli longitudinali

Coefficiente di utilizzazione

Rigidezza di una molla di torsione:

  G  Mt r

  J^

Mt r

  J G^



Mt J G

K L



   Mt r

  J G^



AB r

L L

    ^

Coefficiente di utilizzazione

Coefficiente di utilizzazione di una molla di torsione:

K J G L

 

 

 

2

2 4

2 2 2

max

3

32

1 2 1

1 2 16 2

4

t t

t

M L M K

W d G

m U G V M d L

d G



 



   

 

 

 

Molle ad elica

Una molla ad elica può essere vista come una molla di torsione ad asse non rettilineo

In realtà una generica forza

agente assialmente alla molla può essere traslata nella sezione del filo con il teorema di trasporto aggiungendo una coppia e

tenendo conto dell’angolo di avvolgimento

Se alfa è piccolo la forza P provoca essenzialmente un momento

torcente più una forza di taglio

Molle ad elica

Valore nominale max dello sforzo di taglio dovuto al momento torcente:

Valore max dello sforzo di taglio dovuto alla forza tagliante:

3

8

tor

Mt r FD

J d

 

  

2

4 16

3 3

tag

F F

A d

 ^{ } 

3 2

16 2

3 8 3

tag tor

F d d

d FD D

 

 ^  ^

Molle ad elica

Indice della molla:

Se l’indice della molla è grande la forza di taglio è trascurabile rispetto al momento torcente

H D

 d 2 3

tag tor

d D



 ^

2 0.666

1 1

tor tag tor 3 tor

d

D H

    ^  ^  ^  ^

Trascurando effetti di curvatura della barra di torsione

Molle ad elica

Considerando la concentrazione delle tensioni dovuto all’avvolgimento ad elica con un angolo di avvolgimento :

4 1 0.615

4 4

w tor tor

K H

H H

    ^ ^  ^



Per sollecitazioni statiche si può usare:

1 0.5 Kw

H

 

  

Generalmente l’angolo  è inferiore ai 15°

L’indice H generalmente è maggiore di 4 Indice di Wahl

Molle ad elica



Rigidezza della molla ad elica considerando il solo torcente:

/ cos L  n D 

2

4 4

16 2 cos cos

32

Mt FD Dn FD n

d

K d G

G

 

  

   

   

K J G L

 

Per una molla elicoidale che lavora in compressione è importante evitare che tutte le spire si tocchino per effetto dello schiacciamento (molla a pacco) Bisogna ricavare la freccia f in direzione del carico

Con n indichiamo il numero di spire attive

Molle ad elica

 Freccia f in direzione del carico dal bilancio

energetico delle forze interne ed esterne:

e 2

L  F f

2

t i

L  M 

2 2

Mt

F f  

2 Mt FD f  F   F 

3 4

8FD n f d G

 

 

3 4

2 2 2

max

3

8

1 2 1

1 2 1 8 2

4 F FD n

W F f d G

m U G V FD d n D

G d

  



 

   

 

 

 

Molle ad elica

Dimensionamento

Le variabili incognite solitamente sono i diametri e il numero di avvolgimenti, generalmente come dato di progetto viene fornito il valore della rigidezza, che può essere fornito tramite una coppia di valori, forza-deformazione. Altro vincolo di solito viene dato dalla lunghezza di ingombro della molla.

Esercizio

Progettare una molla di torsione ad elica cilindrica soggetta ad un carico di montaggio F₀ = 600 N e ad uno di lavoro F₁ = 1100 N con una variazione di freccia pari a  = 25 mm. Si consideri un indice della molla ad elica non inferiore ad 8 (D/d ≥ 8). Per il materiale da impiegare si utilizzi l’A229 bonificato; per il modulo di elasticità tangenziale si utilizzi il valore di G = 81000 MPa.

• Calcolare il numero di spire attive

• Calcolare gli ingombri nelle varie condizioni di lavoro

Dati per esercizio molla ad elica

_R = A·d^b

_R≈ 0,67· _R

_s = tensione di

snervamento a taglio

Esercizio sistema di regolazione

Il meccanismo di regolazione

rappresentato in figura è costituito da due molle (molla1 esterna e molla 2 interna).

Dimensionare la molla interna in modo tale che ad una forza F corrisponda uno spostamento x del punto di applicazione della forza.

In seguito effettuare la verifica a resistenza delle due molle.

DATI:

F=160N; x=160mm

E=200GPa; n=0.3; y=510MPa

Molla1: D=50mm; H=5; =10°; n_t=7; n_a=5