L ELLISSE L'ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO

L’ELLISSE

L'ELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano cartesiano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, F1 ed F2, detti fuochi.

Il punto medio tra i fuochi si chiama centro dell'ellisse.

Per disegnare un'ellisse si fissano due chiodi nella posizione dei fuochi, si prende una corda di lunghezza maggiore della distanza tra i fuochi, si fissano le estremità della corda ai chiodi e si fa scorrere la penna lungo la corda tenendola tesa. La figura che si ottiene è un'ellisse.

Si può osservare che quando i fuochi sono più lontani l'ellisse è più schiacciata mentre quando i fuochi sono più vicini l'ellisse è meno schiacciata. Se i fuochi coincidono si ottiene una circonferenza.

Per ottenere l’equazione cartesiana dell’ellisse, generalmente si considera un’ellisse che ha il centro nell'origine degli assi ed i fuochi disposti sull'asse x oppure sull'asse y. In questo modo l’equazione dell’ellisse risulta molto più semplice.

EQUAZIONE DELL'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE X

Come esempio particolare, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse x, F₁(-3;0) ed F₂(3;0) e la somma delle distanze dai fuochi d₁+d₂=10. (Osservare che F₁F₂ 6d₁d₂ 10 perché in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse.

Per definizione di ellisse deve risultare: F₁PF₂P10

Cioè



 





 



x²6x9y²  x²6x9y² 10 si porta un radicale al 2° membro;

x²6x9y² 10 x²6x9y² si elevano i due membri al quadrato;

x² 6x9y² 100x²6x9y² 20 x² 6x9 y² si semplifica;

6x1006x20 x²6x9y² si porta il radicale al 1° membro e gli altri termini al 2° membro;

20 x² 6x9 y² 10012x si divide per 4;

5 x² 6x9y² 253x si eleva al quadrato;

²⁵





25x²150x22525y²625150x9x² si semplifica;

 





x y



F1 F₂

25x²22525y²6259x² si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

25x²9x²25y² 625225 si sommano i termini simili;

16x²25y² 400 si divide per 400 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

400 400 400

25 400

16 ^{2 2}



 y

x si trasforma e si semplifica;

1 25 400 16

400

2

2  y 

x si semplificano le frazioni;

1 16 25

2

2  y 

x equazione finale dell’ellisse.

In generale, se i fuochi si trovano sull’asse x, la distanza tra i fuochi si indica con 2c e la somma delle distanze di P dai fuochi si indica con 2a.

Cioè risulta: F₁F₂ 2c e F₁PF₂P2a

Poiché in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, deve essere: 2c < 2a, cioè c < a

Come caso generale, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse x, F1(-c;0) ed F2(c;0) e la somma delle distanze dai fuochi

d₁+d₂=2a. (con c < a)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse.

Per definizione di ellisse deve risultare: F₁PF₂P2a

Cioè



 





 



x²2cxc² y²  x² 2cxc²y² 2a si porta un radicale al 2° membro;

x²2cxc² y² 2a x²2cxc² y² si elevano i due membri al quadrato;

x² 2cxc²y² 4a² x² 2cxc² y² 4a x²2cxc² y² si semplifica;

2cx4a²2cx4a x² 2cxc²y² si porta il radicale al 1° membro e gli altri termini al 2° membro;

4a x² 2cxc² y² 4a²4cx si divide per 4;

a x² 2cxc² y² a²cx si eleva al quadrato;

^a2





a²x²2a²cxa²c²a²y²a⁴2a²cxc²x² si semplifica;

a²x²a²c²a²y² a⁴c²x² si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

a²x²c²x²a²y² a⁴a²c² si raccoglie a fattore comune;

^x2









Siccome a > c, risulta anche a² > c² e quindi a²- c² > 0

Per ottenere una equazione più semplice si pone a²- c² =b² e risulta:

x²b²a²y² a²b² si divide per a² b² in modo da ottenere 1 al 2° membro;

_{2 2}

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

b a

b a b a

y a b a

b

x   si semplifica e si ottiene:

₂ 1

2 2

2  

b y a

x che è l’equazione canonica (in forma normale) dell’ellisse.

Conoscendo l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse x, si può determinare l’equazione di qualunque ellisse senza applicare la definizione, ma semplicemente ricordando che: b² a²c²

Ad esempio, per scrivere l’equazione dell’ellisse con F1(-3;0) ed F2(3;0) e la somma delle distanze dai fuochi d1+d2=10, si può osservare che:

c=3 ;

2a=10 e quindi a=5;

b²=a²-c²=25-9=16

quindi l’equazione canonica: ₂ 1

2 2

2  

b y a

x diventa: 1

16 25

2

2  y 

x

PROPRIETÀ DELL’ELLISSE

EQUAZIONE DELL'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE Y

Come esempio particolare, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse y, F1(0;-3) ed F2(0;3) e la somma delle distanze dai fuochi d₁+d₂=10.

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse.

Per definizione di ellisse deve risultare: F₁PF₂P10

Cioè



 





 



x² y² 6y9 x²y² 6y9 10 si porta un radicale al 2° membro;

x² y² 6y9 10 x² y² 6y9 si elevano i due membri al quadrato;

x² y² 6y9100x²y²6y920 x² y² 6y9 si semplifica;

6y1006y20 x²y²6y9 si porta il radicale al 1° membro e il resto al 2° membro;

20 x²y²6y9 10012y si divide per 4;

5 x²y²6y9 253y si eleva al quadrato;

²⁵





25x²25y²150y2256259y²150y si semplifica;

25x²25y²2256259y² si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

25x²25y²9y²625225 si sommano i termini simili;

25x²16y² 400 si divide per 400 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

400 400 400

16 400

25x²  y² 

si trasforma e si semplifica;

1 16 400 25

400

2

2  y 

x si semplificano le frazioni;

1 25 16

2 2



 y

x equazione finale dell’ellisse.

In generale, se i fuochi si trovano sull’asse y, la distanza tra i fuochi si indica con 2c e la somma delle distanze di P dai fuochi si indica con 2b.

Cioè risulta: F₁F₂ 2c e F₁PF₂P2b

Poiché in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, deve essere: 2c < 2b, cioè c < b

Come caso generale, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse y, F1(0;c) ed F2(0;-c) e la somma delle distanze dai fuochi

d1+d2=2b. (con b>c)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse.

Per definizione di ellisse deve risultare: F₁PF₂P2b

Cioè



 





 



x² y²c²2cy x² y²c² 2cy 2b si porta un radicale al 2° membro;

x² y²c²2cy 2b x² y² c²2cy si elevano i due membri al quadrato;

x² y² c² 2cy4b²x² y²c²2cy4b x²y² c² 2cy si semplifica;

2cy4b²2cy4b x² y²c² 2cy si porta il radicale al 1° membro e il resto al 2°

membro;

4b x² y²c²2cy 4b² 4cy si divide per 4;

b x² y²c²2cy b²cy si eleva al quadrato;

^b2





b²x²b²y²b²c²2b²cyb⁴2b²cyc²y² si semplifica;

b²x²b²y²b²c² b⁴c²y² si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

b²x²b²y²c²y² b⁴b²c² si raccoglie a fattore comune;

^b2x2y2



 



Siccome b>c, risulta anche b²>c² e quindi b²-c² >0

Per ottenere una equazione più semplice si pone b²-c² =a² e risulta:

b²x²y²a² b²a² si divide per b² a² in modo da ottenere 1 al 2° membro;

_{2 2}

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

b a

b a b a

y a b a

b

x   si semplifica e si ottiene:

₂ 1

2 2

2  

b y a

x che è l’equazione canonica (in forma normale) dell’ellisse.

L’equazione è simile a quella dell’ellisse con i fuochi sull’asse y ma, in questo caso, il termine contenente y² ha il denominatore maggiore essendo b²>a².

Conoscendo l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse y, si può determinare l’equazione di qualunque ellisse senza applicare la definizione, ma semplicemente ricordando che: a² b²c²

Ad esempio, per scrivere l’equazione dell’ellisse con F1(0;-3) ed F₂(0;3) e la somma delle distanze dai fuochi d1+d2=10, si può osservare che:

c=3 ;

2b=10 e quindi b=5;

a²=b²-c²=25-9=16

quindi l’equazione canonica: ₂ 1

2 2 2



b y a

x diventa: 1

25 16

2 2



 y

x

CONDIZIONI PER DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UN’ELLISSE

Per determinare l’equazione di un’ellisse sono necessarie due condizioni, poiché due sono i coefficienti da determinare nell’equazione:

₂ 1

2 2 2



 b y a

x

Queste condizioni possono essere:

- passaggio per un punto;

- conoscenza di un fuoco;

- conoscenza di un vertice;

- conoscenza dell’eccentricità.

CURVE DEDUCIBILI DALL’ELLISSE

Sono grafici di funzioni che si possono ricondurre all’equazione di un’ellisse.