Condensatore con due dielettrici
Rocco Suanno March 2021
Abstract Qui troverete risposte alle seguenti domande:
• Come mai un condensatore con due dielettrici pu`o essere visto come due condensatori in parallelo / in serie?
• Come `e distribuita la carica sulle superfici di un condensatore di questo tipo?
1 Due dielettrici di fianco
Figure 1: Configurazione con due diversi dielettrici affiancati.
In questa configurazione, almeno lontano dai bordi del condensatore, il prob- lema ha una simmetria planare, dunque il campo elettrico E `e diretto lungo la direzione ortogonale ai piatti e pu`o dipendere solo dalla posizione lungo questa direzione. Se chiamo questa direzione z, allora ho che
E = E(z)z. (1)
Inoltre mi aspetto che, fuori dal condensatore, il campo elettrico sia nullo, cos`ı come avviene nel caso in cui il condensatore `e vuoto.
1.1 Propriet` a del campo elettrico
Se mi metto dentro uno dei dielettrici (Figura 2) e considero una superficie cilindrica S diretta nella direzione z, per la legge di Gauss nei mezzi materiali, avr`o che:
D := 0rE = 0rE(z)z (2) Z
S
D(z)da = qf = 0 (3)
Dove qf `e la carica libera (non legata) presente nel cilindro, che `e 0 perch`e, nella configurazione analizzata, non `e presente carica libera fra le piastre del condensatore. Inoltre, per (1) e (2), D `e diretto lungo z, quindi il flusso at- traverso S, `e solo quello attraverso le 2 basi del cilindro S, perch`e il versore normale alla superficie laterale `e sempre ortogonale ad E e quindi D.
Z
S
D(z)da = Z
A1
D(z1)da + Z
A2
D(z2)da (4)
Dove A1 ed A2 sono rispettivamente la base inferiore e superiore del cilindro e z1 e z2 sono rispettivamente la coordinata z della base inferiore e superiore del cilindro (per come ho preso il cilindro, z `e costante all’interno di ciascuna base).
Visto che, lungo basi, D `e sempre // a da, allora ho che:
D(z1)A − D(z2)A = 0 (5)
D(z1) = D(z2) (6)
Dove A `e l’area di ciascuna base (A =R
A1da =R
A2da). Il segno - `e dovuto al fatto che, nella legge di Gauss, il versore da normale alla superficie `e diretto verso l’esterno.
Quindi concludiamo che D(z) = D0z all’interno di uno stesso dielettrico, ovvero D `e costante all’interno di ciascun dielettrico. Perci`o, dato che in uno stesso dielettrico r `e costante, da (2) concludiamo che il campo elettrico `e costante all’interno di uno stesso dielettrico, in ciascuno dei due dielettrici, ovvero:
E(z) = D0
0r
z (7)
E’ una propriet`a valida in tutti i punti nel condensatore, dove D0 `e una costante, mentre rdipende dal dielettrico in cui mi trovo.
Figure 2: Il campo elettrico all’interno di ciascuno dei due dielettrici `e costante nello spazio.
1.1.1 Nota sulla simmetria del problema
Il ragionamento sulla simmetria planare del problema, pu`o sembrare disturbato dalla presenza di due diversi dielettrici. In effetti la simmetria planare non si ottiene solamente richiedendo di essere lontani dai bordi del condensatore (che equivale a chiedere che il condensatore sia infinitamente esteso nel piano dei piatti), ma bisogna anche richiedere di essere lontano dall’interfaccia fra i due dielettrici. Questo significa che la superficie cilindrica non la posso prendere a cavallo fra i due dielettrici, ma deve essere tutta in un dielettrico.
1.1.2 Relazioni trovate
Tutta la discussione precedente ci `e servita per mostrare:
D(z) = D0z (8)
E(z) = D0
0r
z (9)
Ovvero i campi sono omogenei1 all’interno di uno stesso dielettrico.
1.2 Potenziale
Chiamo la differenza di potenziale tra le armature V0, ergo l’integrale di linea del campo elettrico, sia lungo Γ1, che lungo Γ2 (vedi Figura 3), `e V0. Quindi:
Z
Γ1
E1ds = Z
Γ2
E2ds (10)
Dove E1 `e il campo nel dielettrico di sinistra ed E2 quello di destra. Usando il fatto che il campo elettrico `e costante in uno stesso dielettrico e che i percorsi scelti sono tali che E `e sempre // ds, allora posso portare i moduli dei campi fuori dagli integrali:
E1 Z
Γ1
ds = E2 Z
Γ2
ds (11)
E1 ∗ d = E2 ∗ d (12)
E1 = E2 (13)
Figure 3: Le piastre sono mantenute, dal generatore, ad una differenza di poten- ziale V0 costante. Per definizione della differenza di potenziale, l’integrale di linea del campo elettrico lungo le 2 curve `e V0.
Perci`o il campo elettrico `e costante in TUTTO il condensatore.
1Ovvero non dipendono dalle coordinate spaziali
Ovvero:
E = E0z (14)
Ovunque fra i due piatti del condensatore, dove E0 `e una COSTANTE. In particolare, usando la definizione di differenza di potenziale, ho:
V0= Z
Γ1
Eds = E0d (15)
E0= V0
d (16)
Perci`o questa relazione, che `e notoriamente valida se rimpiazzassi i die`ılettrici con il vuoto, vale anche per due (o pi`u) dielettrici piazzianti di fianco. Osservi- amo che, se E `e omogeneo in tutto il condensatore, allora per (9) D invece `e omogeneo in ciascun dielettrico, ma in uno assume un certo valore e nell’altro un altro. Ovvero:
D = 0rE0z (17)
1.3 Distribuzione di carica superficiale sui piatti
Sfruttando il fatto che E `e costante fra i piatti, posso prendere una superficie cilindrica S a cavallo rispetto al piatto superiore (Figura 4), tale che non sia a cavallo fra i due dielettrici. Per la legge di Gauss nei mezzi materiali (3), trovo che:
Z
S
Dda = qf (18)
Il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro `e nullo, perch`e E, e quindi D, sono diretti lungo la direzione dell’asse del cilindro, e quindi sono ortogonali al versore normale alla superficie (da) in tutti i punti della superficie laterale.
Quindi:
Z
S
Dda = Z
A1
Dda + Z
A2
Dda (19)
Inoltre E, e quindi anche D, `e nullo al di fuori del condensatore, perci`o il flusso attraverso la superficie superiore A1 `e nullo.
Z
S
Dda = Z
A2
Dda (20)
In tutti i punti della base inferiore A2, D `e // da e D `e omogeneo fra le piastre, quindi assume lo stesso valore su tutta la base inferiore del cilindro, quindi:
Z
S
Dda = Z
A2
Dda = Z
A2
Dda = D ∗ A2 = qf (21)
Figure 4: Superficie Gaussiana a cavallo rispetto al piatto superiore. q `e la carica presente sulla parte del piano superiore che `e una sezione del cilindro S.
Traslando il cilindro lungo la direzione orizzontale e quella entrante nel foglio, senza mai attraversare la superficie di separazione dei dielettrici, posso reiterare il ragionamento. Dunque trovo che, presa una superficie circolare di area A arbitrariamente piccola nella parte del piatto superiore che si trova sopra uno stesso dielettrico, il rapporto q/A `e costante, perch`e D `e costante (omogeneo) nel dielettrico, allora, per ciascun dielettrico, posso definire:
σ = q/A = D (22)
e dire che σ `e costante lungo ogni parte del piatto superiore che si trova sopra uno stesso dielettrico.
Figure 5: La carica sui piatti `e distribuita uniformemente nelle regioni dei piatti che stanno sopra/sotto uno STESSO dielettrico.
Usando il fatto che E `e costante ovunque fra i piatti e la relazione che definice D, trovo che:
σ1= D = 0r1E0 (23)
σ2= D = 0r2E0 (24)
Dove σ1 `e la densit`a di carica presente sui piatti, nella regione in cui ho il dielettrico con costante r1, ed analogamente σ2 (vedi Figura 5).
Mentre ricordo che:
E0= V0
d (25)
E’ omogeneo in TUTTO il condensatore.
1.4 Capacit` a
La capacit`a del condensatore `e dunque:
C = Q/V0= σ1∗ Σ1
V0 +σ2∗ Σ2
V0 (26)
Dove Σ1 `e la superficie del piatto che sta sopra il dielettrico di sinistra ed analogamente per quello di destra. Se calcolo la capacit`a di un condensatore con i piatti distanti d e di area Σ1 ed all’interno un dielettrico con r1, trovo:
C10 = 0r1Σ1/d (27)
Analogamente, se ne prendo uno con la stessa distanza tra i piatti d, con i piatti di area Σ2 e dentro un dielettrico con costante r2:
C20 = 0r2Σ2/d (28)
Ricordo che:
σi = 0riE0= 0riV0/d (29) Dove i `e 1 per il primo dielettrico e 2 per il secondo.
Allora si pu`o vedere che: C = C10 + C20. Perci`o, per calcolare la capacit`a C del condensatore che stiamo analizzando, posso vederlo come 2 condensatori in parallelo entrambi con distanza tra i piatti d ed uno con area dei piatti Σ1 ed un dielettrico r1e l’altro con area dei piatti Σ2ed un dielettrico r2.
1.5 Conclusioni
Quindi il campo elettrico `e nullo fuori dal condensatore, mentre `e omogeneo in TUTTA la regione compresa fra i due piatti, la sua espressione NON dipende dai dielettrici fra le armature ed `e:
E = E0z = V0
dz (30)
Il campo D `e invece omogeneo all’interno di ciascun dielettrico, ma il suo valore dipende dal dielettrico in cui lo si valuta, ed ha espressione:
D = 0rE0z (31)
La densit`a di carica su ogni piatto dipende dal dielettrico sopra (o sotto) il quale si trova il punto del piatto considerato, secondo la relazione:
σi= D = 0riE0 (32)
Da cui si ricava che:
σ1
r1
= σ2
r2
(33)
Ovvero la carica sui piatti `e concentrata prevalentemente nella regione sopra (o sotto) il dielettrico con costante dielettrica pi`u alta. La carica quindi NON
`e distribuita in modo omogeneo su tutto il piatto, ma `e distribuita in modo omogeneo all’interno di ogni regione che ha sopra o sotto uno stesso dielettrico, quindi che non si trova sopra o sotto l’interfaccia dei due dielettrici.
2 Dielettrici uno sopra l’altro
Abbiamo mostrato che, se il problema ha simmetria planare, E e D sono omo- genei all’interno di uno stesso dielettrico che si trova fra le armature di un condensatore. Questa `e una propriet`a fondamentale che utilizzeremo anche in questa configurazione, senza dimostrarla nuovamente, quindi:
E = Ez. (34)
D := 0rE = Dz (35)
Ricordo che queste relazioni valgono in ciascun dielettrico, ma i valori EeD dipendono dal dielettrico in cui ci si trova.
Figure 6: Condensatore con due dielettrici uno sopra l’altro.
2.1 Distribuzione di carica superficiale
Se ci mettiamo in un punto sul piatto superiore del condensatore, assumendo come al solito che il piatto si estenda infinitamente nel suo piano, osserviamo che, sotto di noi, c’`e sempre lo stesso dielettrico, in qualsiasi posizione ci posizioniamo sul piatto. Questo significa che non ci sono punti del piatto privilegiati rispetto ad altri, ma sono tutti equivalenti. Perci`o la densit`a di carica superficiale sar`a la stessa in tutti i punti del piatto superiore. Un ragionamento analogo lo si pu`o fare con il piatto inferiore.
σ = cost (36)
Ricordando che, in un condensatore, la carica su ciascuna armatura `e la stessa a meno del segno, e si ricava con:
Q = CV0 (37)
Allora possiamo ricavare la densit`a di carica superficiale sui piatti con:
σ = Q/Σ =CV0
Σ (38)
Dove Σ `e l’area di ogni piatto.
2.2 Campo elettrico
In questa configurazione, E `e omogeneo in ciascun mezzo, MA non assume lo stesso valore all’interno di tutto il condensatore. Ricordando la definizione di differenza di potenziale:
Figure 7: Il percorso Γ `e parallelo alla direzione dei campi z.
V0= Z
Γ
Eds (39)
Dove Γ `e un percorso qualsiasi che va dall’armatura positiva a quella neg- ativa, che prensiamo per comodit`a rettilineo e diretto lungo la direzione del campo elettrico, ovvero z, in modo tale che E // ds in ogni punto della curva, e quindi:
V0= Z
Γ
Eds = Z d
0
Eds (40)
Sfruttando il fatto che E assume lo stesso valore all’interno di ciascun dielet- trico, che chiamo E1 nel dielettrico sopra ed E2 nel dielettrico sotto:
V0= E1d1+ E2d2 (41)
A questo punto, se riuscissimo a mostrare che E1ed E2sono uguali, potremmo esprimere il campo elettrico con la solita espressione valida nel vuoto e con dielet- trici affiancati. Tuttavia, se prendo una superficie cilindrica S a cavallo fra il dielettrico inferiore e l’esterno del condensatore, trovo che:
Figure 8: La superficie S `e a cavallo fra l’esterno ed il dielettrico 1, il pezzo bl`u si ottiene allungando il cilindro verso l’alto, in modo tale che la sua base superiore stia nel dielettrico 1.
D2A = qf (42)
”Allungando” da sopra il cilindro, facendo in modo che la base superiore si trovi nel dielettrico inferiore:
D1A = qf (43)
Quindi si ha che:
D1= D2:= D0 (44)
E, per (42) o (43), trovo:
D0= σ (45)
Dove σ `e la densit`a di carica superficiale sui piatti. Perci`o, se D `e omogeneo in TUTTO il condensatore, allora E non lo pu`o essere per come `e definito D.
Quindi il campo elettrico assume valori diversi nei due dielettrici, quindi non vale la relazione che permette di ricavare il campo elettrico da V0 e d, notoriamente valida nel vuoto o in presenza di uno o piu dielettrici affiancati.
2.3 Capacit` a
Considero un condensatore con distanza tra le armature d1, suoerfici di area Σ ed un dielettrico r1. La sua capacit`a allora sar`a:
C1= 0r1Σ/d1 (46)
Analogamente:
C2= 0r2Σ/d2 (47)
Adesso calcolo la capacit`a del condensatore in esame:
C = Q/V0= σΣ/V0 (48)
Ricordo che:
σ = D (49)
Dove Ei`e il campo elettrico nel mezzo con i, e:
V0= E1d1+ E2d2 (50)
Ei= D
0ri (51)
Quindi:
C = σΣ/V0= DΣ E1d1+ E2d2
= DΣ
D
0(d1
r1 +d2
r2) (52)
Che posso scirvere come:
C = 0Σ
d1
r1 +d2
r2
= 1
d1
0r1Σ+ d2
0r2Σ
= 1
1 C1 +C1
2
(53) Quindi, per calcolare la capacit`a del condensatore in esame, posso vederlo equivalente ad una configurazione con due condensatori in Serie, uno con su- perfici di area Σ, distanza tra i piatti d1e riempito con un dielettrico r1ed uno con area Σ, distanza d2, e riempito con dielettrico r2.
Figure 9: Le due configurazioni sono equivalenti. Posso trovare la capacit`a del condensatore di sinistra, calcolando la capacit`a della configurazione di destra.
2.4 Conclusioni
In questa configurazione E e D sono omogenei all’interno di ciascun dielettrico, D `e omogeneo in TUTTO il condensatore, mentre E assume un valore che dipende dal mezzo in cui ci si trova. La carica `e UNIFORMEMENTE distribuita sulle superfici dei piatti, e vale:
σ = Q/Σ =CV0
Σ (54)
Con Q carica su ciascuna armatura (a meno del segno) e C capacit`a del con- densatore (totale, quindi della serie).
Inoltre, usando la legge di Gauss per i mezzi materiali, abbiamo ottenuto che:
D = σz (55)
Da cui si pu`o ricavare il campo elettrico in ciascun mezzo, usando la definizione di D.
Inoltre posso vedere il condensatore come una serie di due condensatori e calcolarne la capacit`a, usando la relazione:
C = 1
1 C1+C1
2
(56) Dove
C1= 0r1Σ/d1 (57)
C2= 0r2Σ/d2 (58)
sono le capacit`a dei due condensatori in serie.
