ESAME SCRITTO DI FISICA GENERALE LA
INGEGNERIA GESTIONALE e DEI PROCESSI GESTIONALI A-K, MECCANICA, ENERGETICA, INFORMATICA A-F e DELL’AUTOMAZIONE, PER L’AMBIENTE E IL TERRITORIO, PER L’INDUSTRIA ALIMENTARE e CHIMICA
(Proff. A. Bertin, D. Galli, N. Semprini Cesari, A. Vitale e A. Zoccoli) 23/7/2004
(2)
Un disco sottile e omogeneo di raggio R e massa M è appoggiato con una delle sue facce su un piano orizzontale perfettamente liscio su cui può muoversi liberamente.
Inizialmente il disco si muove di moto traslatorio e il suo centro di massa possiede la velocità r = r
vC vC i (v. figura).
Ad un certo istante il disco resta agganciato in un punto
del suo bordo ad un punto fisso P del piano e comincia a ruotare attorno all’asse verticale passante per P, che funziona come una cerniera ideale. Determinare le espressioni delle seguenti quantità:
C
P x
y
r vC
a) il modulo della velocità angolare ωP assunta dal disco;
a) l’impulso che il vincolo P trasferisce al disco nell’istante in cui si verifica l’aggancio;
b) l’accelerazione del centro di massa a partire dall’istante dell’aggancio.
Quesiti
1) Perché nel moto di un satellite attorno ad un pianeta si può dire che si conserva il momento della quantità di moto del satellite rispetto al pianeta? E cosa si può dire della quantità di moto?
2) Due oggetti aventi velocità iniziali 1 3m
= s
vr ir, 2 4m v = − s r
r i si urtano e si
allontanano con velocità finali 1 2m
′ = − s
vr ir, 2 5m
vr′ = s ir. Può essersi trattato di un urto elastico? Perché?
3) Ai capi di una asticella inestensibile di massa trascurabile e lunghezza L sono fissate due masse puntiformi di valore ed . Determinare il momento angolare del sistema nella ipotesi che questo ruoti con velocita angolare costante attorno ad un asse normale all’asticella e passante per il suo centro.
m1 m2
ω 4) Definire il momento d’inerzia e discuterne il significato fisico.
Soluzione LA2 Problema
a) Il momento delle forze esterne rispetto al polo di riduzione P è sempre nullo per cui possiamo affermare che si conserva il momento della quantità di moto. Avremo dunque
= r
r
C vC ( )P
v i
= − ∧ = ∧ = − k
r r r r r
( )
iniz C C C
K C P Mv i Rj Mv i Mv R
r r 3
= −
( )P
fin P P
K I ω k ; = 2
P 2
I M
3
R
= 2
C 2 P
Mv R MR ω
= 2 3
C P
v ω R
b) La differenza tra la quantità di moto finale e quella iniziale vale
= ∆ = ′ −
r r M v(rC vrC)
J Q ; r′ = − r∧ r = r
C P P
v ω k Rj ω Ri
= − = 2 − = − v
3 3
C
P C C C
J Mω R Mv M v mv M
c) = −
−
r 2 ( )
C P
P C P C ω
a R
Q1: Le forze in gioco sono solo interne per cui si ha assumendo il pianeta come polo di
riduzione dL 0
v P dt + Ω∧ =
ur r ur . D’altra parte Pur= 0 per cui dL 0
dt = ur
e quindi Lur= cosuuuurt.
Q2: Sì: v1′−v2′ = v1−v2 , il coefficiente di restituzione è uguale a 1.
Q3:
1 1 1 2 2 2 1 2
2
1 2
( /2 ) ( /2 ) ( /2 ) ( /2 )
( )
4
R R R
L r m v r m v L i m k L i L i m k L i
m m L k
ω ω
= ∧ + ∧ = − ∧ ∧ − + ∧ ∧ =
= +
R
ur r r r r r r r r r r
r
