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1): Risolvere il problema di Cauchy

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Academic year: 2021

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(1)

ESERCIZI DA ESAME SULLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI

1): Risolvere il problema di Cauchy

(

y

0

=

xy

+

xpy

y

(0) = 1

:

2): Determinare una soluzione non identicamente nulla del problema di Cauchy

(

y

0

=

xy

+

xpy

y

(0) = 0

:

3): Dopo averle determinate, classi care (giusti cando la risposta) le soluzioni del- l'equazione dierenziale

y

0

=

xy

+

xpy:

4): Risolvere il problema di Cauchy

(

y

0

=

x22xy;y2

y

(1) = 2

:

5): Risolvere l'equazione dierenziale

y

00

=

y0

+ 12

y0

e

3x:

6): Risolvere l'equazione dierenziale

xy 00

;y 0

;

log

y00

= 0

:

7): Determinare un sistema fondamentale di soluzioni per il seguente sistema di equazioni dierenziali del 1

0

ordine

(

y 0

1

=

y1

+ 4

y2

y 0

2

= 4

y1;y2:

8): Determinare un sistema fondamentale di soluzioni per il seguente sistema di equazioni dierenziali del 1

0

ordine

8

>

<

>

: y

0

1

=

y2

y 0

2

=

y3

y 0

3

= 6

y1;

11

y2

+ 6

y3:

9): Risolvere l'equazione dierenziale

y 00

;y

= 2 1 + e

x:

(2)

10): Risolvere l'equazione dierenziale

y

000

+ 2

y00

+

y0

=

x

(

x;

1)

:

11): Risolvere l'equazione dierenziale

y 00

;

3

y0

+ 2

y

=

x2:

12): Risolvere l'equazione dierenziale

y

000

+

y0

= cosh

x:

13): Risolvere l'equazione dierenziale

y

(iv )

+

y

=

x:

14): Risolvere l'equazione dierenziale

y

000

+

y00

+ 4

y0

+ 4

y

= sin2

x:

15): Risolvere l'equazione dierenziale

y 000

;

3

y00

+ 2

y0

= log

x:

16): Risolvere l'equazione dierenziale

y 00

;

2(1 + tan

x

)

y0

+ (1 + 2tan

x

)

y

= 0



dopo avere osservato che

y

(

x

) = e

x

e una sua soluzione.

17): Risolvere l'equazione dierenziale

y 00

;

2

x y

0

+ 2

x 2

y

=

x

cos

x

dopo avere osservato che

y

(

x

) =

x

e una soluzione dell'equazione omogenea ad essa associata.

18): Scrivere un'equazione dierenziale di Clairaut della quale la funzione

y

= log

x

sia un integrale singolare.

19): Scrivere un'equazione dierenziale di Clairaut della quale la funzione

y

= e

x

sia un integrale singolare.

20): Risolvere l'equazione integrale

y

(

x

) = 1 +

Z xty

(

t

)log

y

(

t

)

dt:

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