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Equazioni Goniometriche e Esercizi Svolti

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Academic year: 2021

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(1)

Equazioni Goniometriche e Esercizi Svolti

Prof. Francesco Zumbo www.francescozumbo.it

− Equazioni goniometriche elementari

− Equazioni goniometriche riconducibili ad elementari

− Equazioni goniometriche lineari

− Equazioni goniometriche riconducibili a lineari

− Soluzione grafica delle equazioni goniometriche lineari

− Equazioni goniometriche omogenee

− Equazioni goniometriche riconducibili a omogenee

− Soluzione grafica delle equazioni goniometriche omogenee

− Equazioni goniometriche simmetriche

(2)

Angolo orientato Funzioni goniometriche

gradi radianti seno coseno tangente

0° 0 0 1 0

9° 20

π

4

5 5 5

3 + − −

4

5 5 5

3 + + −

1 5

5 2 10 4

− +

15° 12

π

4 2 6 −

4 2 6 +

3 2 −

18° 10

π

4 1 5 −

4 5 2 10 +

5 5 10 25 −

22°30’

8 π

2 2 2 −

2 2 2 +

1 2 −

30° 6

π

2 1

2 3

3 3

36° 5

π

4 5 2 10 −

4 1 5 +

5 2 5 −

45° 4

π

2 2

2

2 1

54° 10

3 π

4 1 5 +

4 5 2 10 −

5 5 10 25 +

60° 3

π

2 3

2

1 3

72° 5

3 π

4 5 2 10 +

4 1 5 −

5 2 5 +

75° 12

5 π

4 2 6 +

4 2 6 −

3 2 +

90° 2

π 1 0 → ±∞

Immaginiamo di conoscere il valore delle funzioni goniometriche per un angolo α (per semplicità di ragionamento immaginiamo che sia nel primo quadrante: se α si trovasse altrove arriveremmo comunque alle stesse conclusioni). Se ci interessa conoscere le funzioni di un altro angolo β ottenuto riportando α a partire da uno qualsiasi degli assi cartesiani, possiamo fare un semplice ragionamento basato sull’uguaglianza di triangoli. Per semplicità ragioniamo su angoli del periodo

[ 0 ; 360 ° ] .

Caso 1: riportiamo l’angolo α a partire dalla posizione 90° in senso orario.

Otteniamo, a partire dalla posizione 0, un angolo β = 90 ° − α

I Triangoli OBH e OB’K sono uguali per costruzione, perciò le ascisse e le ordinate di B e di B’ hanno valore uguale, ma sono scambiate. Perciò

( 90 α ) cos α

sen ° − = e cos ( 90 ° − α ) = sen α

Ragionando analogamente sui triangoli OCA e OC’L otteniamo che

( 90 ° − α ) = cotg α

tg e cotg ( 90 ° − α ) = tg α

A O H

α

α B C

K B’

L C’

(3)

Capitolo 3

Geometria

3.1 Goniometria

3.1.1 Relazione Fondamentale

sin

2

x + cos

2

x = 1

3.1.2 Tangente e Cotangente: Denizioni

Denizione 32 (Tangente) tan x =

sin xcos x

∀x 6=

π2

+ kπ

Denizione 33 (Cotangente 1) cot x =

cos xsin x

∀x 6= kπ

Denizione 34 (Cotangente 2) cot x =

tan x1

∀x 6= k

π2

3.1.3 Secante e Cosecante: Denizioni

Denizione 35 (Secante) sec α =

cos α1

sec : R \ {

pi2

+ kπ, k ∈ Z} → R

Denizione 36 (Cosecante) csc α =

sin α1

csc : R \ {kπ, k ∈ Z} → R

3.1.4 Formule di Addizione

sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β tan(α ± β) =

tan α±tan β

1∓tan α tan β

cot(α ± β) =

cot α cot β∓1 cot α±cot β

17

(4)

18 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

3.1.5 Formule di Duplicazione e di Triplicazione

sin(2α) = 2 sin α cos α

cos(2α) = cos

2

α − sin

2

α = 1 − 2 sin

2

α = 2 cos

2

α − 1 tan(2α) =

1−tan2 tan α2α

sin(3α) = 3 sin α − 4 sin

3

α cos(3α) = 4 cos

3

α − 3 cos α tan(3α) =

3 tan α−tan3α

1−3 tan2α

3.1.6 Formule di Bisezione

sin(

α2

) = ±

q

1−cos α 2

cos(

α2

) = ±

q

1+cos α 2

tan(

α2

) = ±

q

1−cos α

1+cos α

=

1+cos αsin α

=

1−cos αsin α

3.1.7 Formule Parametriche

t

def

= tan

α2

−→

 

sin α =

1+t2t2

cos α =

1−t1+t22

tan α =

1−t2t2

3.1.8 Formule di Prostaferesi

sin p + sin q = 2 sin

p+q2

cos

p−q2

sin p − sin q = 2 cos

p+q2

sin

p−q2

cos p + cos q = 2 cos

p+q2

cos

p−q2

cos p − cos q = −2 sin

p+q2

sin

p−q2

3.1.9 Formule di Werner

cos p · sin q =

12

[sin(p + q) − sin(q − p)]

sin p · sin q =

12

[sin(p − q) − cos(p + q)]

cos p · cos q =

12

[cos(p + q) + cos(p − q)]

3.1.10 Formule di Conversione

* Tabella 3.1 a pag.19

3.1.11 Archi Noti

* Tabella 3.2 a pag.19

(5)

3.1. GONIOMETRIA 19

. Sin Cos Tan

sin α sin α ±

1 − cos

2

α ±

1+tantan α2α

cos α ±

1 − sin

2

α cos α ±

1+tan1 2α

tan α ±

sin α

1−sin2α

±

1−coscos α2α

tan α cot α ±

1−sin2α

sin α

±

1−coscos α2α tan α1

sec α ±

1

1−sin2α

1

cos α

±

1 + tan

2

α csc α

sin α1

±

1−cos1 2α

±

1+tantan α2α

Tabella 3.1: Formule di Conversione

Rad Deg Sin Cos Tan Cot

0 0

0 1 0 n.e.

π

12

15

6−42 6+42

2 −

3 2 + 3

π

8

22

30

0

2−√ 2 2

2+ 2 2

2 − 1 2 + 1

π

6

30

12 23 33

3

π

4

45

22 22

1 1

π

3

60

23 12

3

33

3

8

π 67

30

0

2+ 2 2

2−√ 2 2

2 + 1 2 − 1

5

12

π 75

6+42 6−42

2 +

3 2 − 3

π

2

90

1 0 n.e. 0

Tabella 3.2: Archi noti

Rad Sin Cos Tan Cot

x sin x cos x tan x cot x

π − x sin x − cos x − tan x − cot x π + x − sin x − cos x tan x cot x

−x − sin x cos x − tan x − cot x 2π − x − sin x cos x − tan x − cot x

π

2

− x cos x sin x cot x tan x

π

2

+ x cos x − sin x − cot x − tan x

3

2

π − x − cos x − sin x cot x tan x

3

2

π + x − cos x sin x − cot x − tan x

Tabella 3.3: Archi associati

(6)

20 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

3.1.12 Archi Associati

* Tabella 3.3 a pag.19

3.2 Trigonometria

3.2.1 Triangolo Qualsiasi

Area: S =

12

ab sin γ =

12

bc sin α =

12

ac sin β

S =

12

a

2 sin β sin γ

sin(β+γ)

=

12

b

2 sin α sin γ

sin(α+γ)

=

12

c

2 sin α sin β sin(α+β)

Teorema 2 (Formula di Erone) S = p

p(p − a)(p − b)(p − c)

Teorema 3 (Formula di Brahmagupta o di Erone) Dato un quadri- latero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) di lati a, b, c, d e se- miperimetro p =

a+b+c+d2

, l'area vale S = p

(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) ; per d = 0, in particolare, si ottiene la formula di Erone per il triangolo.

Teorema 4 (delle Corde) : ¯ AB = 2r sin α

Teorema 5 (dei Seni) :

sin αa

=

sin αa

=

sin αa

= 2R =

abc4S

Proiezioni: a = b cos γ + c cos β;

b = a cos γ + c cos α;

c = a cos β + b cos α.

Teorema 6 (di Carnot o del Coseno) : a

2

= b

2

+ c

2

− 2bc cos α;

b

2

= a

2

+ c

2

− 2ac cos β;

c

2

= a

2

+ b

2

− 2ab cos γ.

3.2.2 Triangolo Rettangolo

Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di un triangolo rettangolo e α , β e γ sono le misure degli angoli opposti, sussi- stono le seguenti relazioni:

b = a sin β = a cos γ

c = a sin γ = a cos β

b = c tan β = c cot γ

c = b tan γ = b cot β

(7)

Tavola di relazioni trigonometriche

Funzioni trigonometriche dell'angolo sin = y

r cos = x

r tan = y

x cot = x

y

cosec= 1

sin  sec =

1 cos

la funzione seno è dispari, la funzione coseno è pari, la funzione tangente è dispari.

Relazioni fondamentali

sin

2

cos

2

=1 tan = cos sin cot = cos sin

Espressione delle funzioni goniometriche mediante una di esse

sin  cos  tan  cot 

sin = sin ±  1−cos

2

 ± tan 

 1tan

2

 ± 1

 1cot

2

cos = ±  1−sin

2

 cos ± 1

 1tan

2

 ± cot 

 1cot

2

tan = ± sin 

 1−sin

2

 ±  1−cos

2

cos  tan  1

cot 

cot = ±  1−sin

2

sin  ± cos 

 1−cos

2

1

tan  cot

Angoli associati, complementari e che differiscono di /2

sin−=sin  cos−=−cos tan −=−tan  cot −=−cot  sin=−sin  cos=−cos tan=tan  cot=cot  sin2 −=−sin  tan 2 −=−tan  sin−=−sin  tan−=−tan  cos2 −=cos cot2 −=−cot  cos−=cos  cot−=−cot

sin/2−=cos cos/2−=sin  tan /2−=cot  cot /2− =tan  sin/2=cos cos/2=−sin tan/2=−cot  cot/2=−tan 

Formule di addizione e sottrazione

sin±=sin  cos ±cos  sin  cos±=cos cos ∓sin sin 

tan ±= tan  ±tan 

1∓tan  tan  cot±=cot  cot ∓1 cot ±cot 

Formule di duplicazione, triplicazione e bisezione

sin 2 =2sin  cos  cos

2

=cos

2

−sin

2

=1−2 sin

2

=2cos

2

−1 tan 2 = 2 tan  1−tan

2

sin 3=3 sin −4 sin

3

 cos 3=4cos

3

−3cos  tan 3 = 3 tan − tan

3

 1−3 tan

2

 sin 

2 =±  1−cos 2 cos 2 1cos 2 tan 2 1−cos  1cos  = 1cos sin  = 1−cos sin 

Formule parametriche

sin=

2 tan  2 1tan

2

2

cos=

1−tan

2

 2 1tan

2

 2

tan =

2 tan  2 1−tan

2

2

Formule di prostaferesi

sin±sin =2 sin ±

2 cos ∓

2 coscos =2 cos  

2 cos −

2 cos−cos =−2 sin 

2 sin  −

2

o

y x r

(8)

a c

b

Formule di Werner

sin sin =1

2[cos−−cos] cos cos =1

2[coscos−] sin cos =1

2[sin sin −]

Teoremi sui triangoli Triangoli rettangoli

b=a sin  c=a sin  b=c tan  c=b tan  b=a cos  c=a cos  b=c cot  c=b cot  Teorema di Pitagora

a

2

=b

2

c

2

Triangoli qualsiasi

Teorema dei seni a

sin  = b sin  = c

sin  =2R Teorema delle proiezioni

a=b cos c cos  b=c cos a cos  c=a cos bcos  Teorema del coseno o di Carnot

a

2

=b

2

c

2

−2b c cos  b

2

=c

2

a

2

−2c a cos  c

2

=a

2

b

2

2a b cos  Altro

Sviluppo di Taylor delle funzioni trigonometriche sin =− 

3

3!  

5

5!  cos =1− 

2

2!  

4

4! 

Formule di Eulero (esponenziale complesso)

e

±i

= cos ±i sin  sin = e

i

−e

−i 

2i cos = e

i

e

−i

2 Funzioni iperboliche

sinh x= e

x

−e

−x

2 = sin i 

i cosh x= e

x

e

−x

2 =cos i  tanh x= sinh x

cosh x = e

x

−e

−x

e

x

e

−x

il seno iperbolico è dispari, il coseno iperbolico è pari, la tangente iperbolica è dispari.

Valori delle funzioni trigonometriche di angoli particolari

gradi radianti seno coseno tangente cotangente

0° 0 0 1 0 non definita

30° 

6

1

2  3

2  3

3  3

45° 

4  2

2  2

2 1 1

60° 

3  3

2

1

2  3  3

3

90° 

2 1 0 non definita 0

180°  0 -1 0 non definita

270° 3

2  -1 0 non definita 0

360° 2  0 1 0 non definita

© gerlos - http://gerlos.altervista.org – Licenza CC Attribution-ShareAlike 2.5 Italy, vedi http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/it/.

a c

b

(9)
(10)
(11)
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(50)
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(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
(63)
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(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
(73)
(74)
(75)
(76)
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(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)
(87)
(88)
(89)
(90)
(91)
(92)
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(94)
(95)
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(98)
(99)
(100)
(101)
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(103)
(104)
(105)
(106)
(107)
(108)
(109)
(110)
(111)
(112)
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(115)
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(117)
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