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Uguagliando a zero le derivate e con un po' di passaggi si ottiene R=∑ i n ( yi−(a xi+b))2 a= n∑ 1 n xi yi−∑ 1 n xi∑ 1 n yi n∑ 1 n xi2

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Academic year: 2021

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(1)

 

      ESERCIZIO  12

La relazione di Faber Jackson.

Utilizzando i 2 campioni di E e S0 presi da Hyperleda,  trovare (minimi quadrati) l' esponente

della relazione L  

Valutare la “stabilita' ” del risultato (valori dei coefficienti  a e b del fit) estraendo (con randomu) dei sottocampioni  casuali da ciascun campione e determinando I vlori dei  coefficienti

σ

(2)

 I minimi quadrati

minimizzano la relazione 

Le incognite sono a e b. Uguagliando a zero le derivate e  con un po' di passaggi si ottiene

R=∑

i n

( yi−(a xi+b))2

a=

n∑

1 n

xi yi−∑

1 n

xi∑

1 n

yi

n∑

1 n

xi2−(∑

1 n

xi)2

b=

∑1 n

yi−a∑

1 n

xi n

(3)

 Utilizzando la definizione di valor medio con qualche  passaggio si ottiene

Che puo' essere scritto anche come  dove

a=

∑1 n

xi yi−n¯x ¯y

∑1 n

xi2−n ¯x2

a=SSxy SSxx

SSxx=∑

1 n

(xi−¯x)2 SSxy=∑

1 n

(xi−̄x)( yi− ̄y)

(4)

 Se invece di fittare la retta  Avessimo fittato la retta 

avremmo

Il prodotto a a' è il coefficiente di correlazione

a '=SSxy SSyy

y=ax+b x=a' y +b '

r2= SS2xy SSyySSxx

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