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Analisi D - Scritto del 13/12/2011

1. Sia f : C \ {0} → C olomorfa. Sia g(z) = f (z) + f (−z). Mostrare che per ogni circuito C contentuto in C \ {0} si ha

Z

C

g(ξ) dξ = 0 .

2. Caratterizzare le singolarit` a di f (z) = 1

z sin z e calcolare

Z

C

f (ξ) dξ , dove C ` e il circuito in figura.

3. Si consideri la successione di funzioni f

n

: R

2

→ R definita (in coordinate polari) da f

n

(ρ, θ) = cos θ ln ρ

n

.

Studiarne la convergenza puntuale. Stabilire se f

n

∈ L

1

(R

2

), se f

n

∈ L

1

(B

r

(0)) e se f

n

∈ L

1

(B

R

(0)\

B

r

(0)) per R > r > 0.

4.

• Un sottoinsieme A di R

n

si dice simmetrico (rispetto all’origine) se A = −A. Si consideri la collezione S degli insiemi simmetrici in R

n

. Mostrare che S ` e una σ-algebra.

• Si consideri poi la collezione C degli insiemi convessi in R

n

. Mostrare che C non ` e una σ-algebra.

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