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ANALISI MATEMATICA 2 - I prova intermedia - 26 ottobre 2015

Il NUMERO della FILA è contenuto nel testo dell’esercizio n

◦

4 ed è l’intero sottratto ad x − y

2

diminuito di 1.

Fila 1

1. f è continua in (0, 0); tutte le derivate direzionali esistono e lungo ⃗ v = (v

x

, v

y

)

∂f∂⃗v

(0, 0) = 7v

x

v

2y

(quindi le derivate parziali sono nulle). Verificando che

∂f∂⃗v

(0, 0) ̸= ∇f(0, 0) · ⃗v o mediante la definizione, si mostra che f non è differenziabile in (0, 0).

2. Il dominio A è costituito da due triangoli infiniti delimitati dalle rette y = x + 7 e y = −x + 7 ed aventi asse di simmetria x = 0.

3. Sono stazionari tutti e soli i punti della retta y = x + 7 quindi del tipo (α, α + 7) con α ∈ R.

Sono di massimo relativo se α < 0, di minimo se α > 0, di sella se α = 0.

4. m = −3 assunto in (0, 1); M = −

74

assunto in (1/2, 1/2) 5. 4π

Fila 2

1. f è continua in (0, 0); tutte le derivate direzionali esistono e lungo ⃗ v = (v

x

, v

y

)

∂f∂⃗v

(0, 0) = 6v

x

v

2y

(quindi le derivate parziali sono nulle). Verificando che

∂f∂⃗v

(0, 0) ̸= ∇f(0, 0) · ⃗v o mediante la definizione, si mostra che f non è differenziabile in (0, 0).

2. Il dominio A è costituito da due triangoli infiniti delimitati dalle rette y = x + 6 e y = −x + 6 ed aventi asse di simmetria x = 0.

3. Sono stazionari tutti e soli i punti della retta y = x + 6 quindi del tipo (α, α + 6) con α ∈ R.

Sono di massimo relativo se α < 0, di minimo se α > 0, di sella se α = 0.

4. m = −4 assunto in (0, 1); M = −

114

assunto in (1/2, 1/2) 5. 6π

Fila 3

1. f è continua in (0, 0); tutte le derivate direzionali esistono e lungo ⃗ v = (v

x

, v

y

)

∂f∂⃗v

(0, 0) = 5v

x

v

2y

(quindi le derivate parziali sono nulle). Verificando che

∂f∂⃗v

(0, 0) ̸= ∇f(0, 0) · ⃗v o mediante la definizione, si mostra che f non è differenziabile in (0, 0).

2. Il dominio A è costituito da due triangoli infiniti delimitati dalle rette y = x + 5 e y = −x + 5 ed aventi asse di simmetria x = 0.

3. Sono stazionari tutti e soli i punti della retta y = x + 5 quindi del tipo (α, α + 5) con α ∈ R.

Sono di massimo relativo se α < 0, di minimo se α > 0, di sella se α = 0.

4. m = −5 assunto in (0, 1); M = −

154

assunto in (1/2, 1/2)

5. 8π

(2)

Fila 4

1. f è continua in (0, 0); tutte le derivate direzionali esistono e lungo ⃗ v = (v

x

, v

y

)

∂f∂⃗v

(0, 0) = 4v

x

v

2y

(quindi le derivate parziali sono nulle). Verificando che

∂f∂⃗v

(0, 0) ̸= ∇f(0, 0) · ⃗v o mediante la definizione, si mostra che f non è differenziabile in (0, 0).

2. Il dominio A è costituito da due triangoli infiniti delimitati dalle rette y = x + 4 e y = −x + 4 ed aventi asse di simmetria x = 0.

3. Sono stazionari tutti e soli i punti della retta y = x + 4 quindi del tipo (α, α + 4) con α ∈ R.

Sono di massimo relativo se α < 0, di minimo se α > 0, di sella se α = 0.

4. m = −6 assunto in (0, 1); M = −

194

assunto in (1/2, 1/2) 5. 10π

Fila 5

1. f è continua in (0, 0); tutte le derivate direzionali esistono e lungo ⃗ v = (v

x

, v

y

)

∂f∂⃗v

(0, 0) = 3v

x

v

2y

(quindi le derivate parziali sono nulle). Verificando che

∂f∂⃗v

(0, 0) ̸= ∇f(0, 0) · ⃗v o mediante la definizione, si mostra che f non è differenziabile in (0, 0).

2. Il dominio A è costituito da due triangoli infiniti delimitati dalle rette y = x + 3 e y = −x + 3 ed aventi asse di simmetria x = 0.

3. Sono stazionari tutti e soli i punti della retta y = x + 3 quindi del tipo (α, α + 3) con α ∈ R.

Sono di massimo relativo se α < 0, di minimo se α > 0, di sella se α = 0.

4. m = −7 assunto in (0, 1); M = −

234

assunto in (1/2, 1/2) 5. 12π

Fila 6

1. f è continua in (0, 0); tutte le derivate direzionali esistono e lungo ⃗ v = (v

x

, v

y

)

∂f∂⃗v

(0, 0) = 2v

x

v

2y

(quindi le derivate parziali sono nulle). Verificando che

∂f∂⃗v

(0, 0) ̸= ∇f(0, 0) · ⃗v o mediante la definizione, si mostra che f non è differenziabile in (0, 0).

2. Il dominio A è costituito da due triangoli infiniti delimitati dalle rette y = x + 2 e y = −x + 2 ed aventi asse di simmetria x = 0.

3. Sono stazionari tutti e soli i punti della retta y = x + 2 quindi del tipo (α, α + 2) con α ∈ R.

Sono di massimo relativo se α < 0, di minimo se α > 0, di sella se α = 0.

4. m = −8 assunto in (0, 1); M = −

274

assunto in (1/2, 1/2)

5. 14π

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