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(1)

ANALISI MATEMATICA I - 12 gennaio 2015 - Allievi MECMLT - MECLT - MATLT - AUTLT (Sezione 1) - Terza prova intermedia

Il NUMERO della FILA è contenuto nel testo dell’esercizio n ◦ 2 ed è il secondo estremo di integrazione.

Fila 1

1. (a) domf = R, f è pari.

(b) lim

x →±∞ f (x) = 3 2

( 3 2 − √

3

2 ) ( π

2 ) 2/3

; y = 3 2 ( 3

2 − √

3

2 ) ( π

2

) 2/3

asintoto orizzontale completo per x → ±∞; f non ammette altri asintoti.

(c) f ′ (x) = 3 2

[ 1 1 + x 2

( 1

√

3

arctan(x) −

3

√ 4 π

| arctan(x)|

arctan(x) )]

domf ′ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ , x = 0 è punto di cuspide.

(d) f è crescente in ] − ∞, −1[ e in ]0, 1[, descrescente altrove; x = −1 e x = 1 sono punti di massimo relativo e assoluto; x = 0 punto di minimo assoluto (di cuspide).

(e) Per la presenza dei punti di massimo relativo e degli asintoti orizzontali, f ammette dei punti di flesso in ] − ∞, −1[ e in ]1, +∞[

2. arctan 2

3. y(x) = c 1 e 7x + c 2 − x 2 + 1 7 4. y(x) = ˜ 1

[sin(2x)] 5/2 Fila 2

1. (a) domf = R, f è pari.

(b) lim

x →±∞ f (x) = 5 3

( 3 2 − √

3

2 ) ( π

2 ) 2/3

; y = 5 3 ( 3

2 − √

3

2 ) ( π

2

) 2/3

asintoto orizzontale completo per x → ±∞; f non ammette altri asintoti.

(c) f ′ (x) = 5 3

[ 1 1 + x 2

( 1

√

3

arctan(x) −

3

√ 4 π

| arctan(x)|

arctan(x) )]

domf ′ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ , x = 0 è punto di cuspide.

(d) f è crescente in ] − ∞, −1[ e in ]0, 1[, descrescente altrove; x = −1 e x = 1 sono punti di massimo relativo e assoluto; x = 0 punto di minimo assoluto (di cuspide).

(e) Per la presenza dei punti di massimo relativo e degli asintoti orizzontali, f ammette dei punti di flesso in ] − ∞, −1[ e in ]1, +∞[

2. arctan 3

3. y(x) = c 1 e 6x + c 2 − x 2 + 1 6 4. y(x) = ˜ 1

[sin(2x)] 7/2

(2)

Fila 3

1. (a) domf = R, f è pari.

(b) lim

x →±∞ f (x) = 7 4

( 3 2 − √

3

2 ) ( π

2 ) 2/3

; y = 7 4 ( 3

2 − √

3

2 ) ( π

2

) 2/3

asintoto orizzontale completo per x → ±∞; f non ammette altri asintoti.

(c) f ′ (x) = 7 4

[ 1 1 + x 2

( 1

√

3

arctan(x) −

3

√ 4 π

| arctan(x)|

arctan(x) )]

domf ′ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ , x = 0 è punto di cuspide.

(d) f è crescente in ] − ∞, −1[ e in ]0, 1[, descrescente altrove; x = −1 e x = 1 sono punti di massimo relativo e assoluto; x = 0 punto di minimo assoluto (di cuspide).

(e) Per la presenza dei punti di massimo relativo e degli asintoti orizzontali, f ammette dei punti di flesso in ] − ∞, −1[ e in ]1, +∞[

2. arctan 4

3. y(x) = c 1 e 5x + c 2 − x 2 + 1 5 4. y(x) = ˜ 1

[sin(2x)] 9/2 Fila 4

1. (a) domf = R, f è pari.

(b) lim

x →±∞ f (x) = 9 5

( 3 2 − √

3

2 ) ( π

2 ) 2/3

; y = 9 5 ( 3

2 − √

3

2 ) ( π

2

) 2/3

asintoto orizzontale completo per x → ±∞; f non ammette altri asintoti.

(c) f ′ (x) = 9 5

[ 1 1 + x 2

( 1

√

3

arctan(x) −

3

√ 4 π

| arctan(x)|

arctan(x) )]

domf ′ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ , x = 0 è punto di cuspide.

(d) f è crescente in ] − ∞, −1[ e in ]0, 1[, descrescente altrove; x = −1 e x = 1 sono punti di massimo relativo e assoluto; x = 0 punto di minimo assoluto (di cuspide).

(e) Per la presenza dei punti di massimo relativo e degli asintoti orizzontali, f ammette dei punti di flesso in ] − ∞, −1[ e in ]1, +∞[

2. arctan 5

3. y(x) = c 1 e 4x + c 2 − x 2 + 1 4 4. y(x) = ˜ 1

[sin(2x)] 11/2 Fila 5

1. (a) domf = R, f è pari.

(3)

(b) lim

x →±∞ f (x) = 11 6

( 3 2 − √

3

2 ) ( π

2 ) 2/3

; y = 11 6 ( 3

2 − √

3

2 ) ( π

2

) 2/3

asintoto orizzontale completo per x → ±∞; f non ammette altri asintoti.

(c) f ′ (x) = 11 6

[ 1 1 + x 2

( 1

√

3

arctan(x) −

3

√ 4 π

| arctan(x)|

arctan(x) )]

domf ′ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ , x = 0 è punto di cuspide.

(d) f è crescente in ] − ∞, −1[ e in ]0, 1[, descrescente altrove; x = −1 e x = 1 sono punti di massimo relativo e assoluto; x = 0 punto di minimo assoluto (di cuspide).

(e) Per la presenza dei punti di massimo relativo e degli asintoti orizzontali, f ammette dei punti di flesso in ] − ∞, −1[ e in ]1, +∞[

2. arctan 6

3. y(x) = c 1 e 3x + c 2 − x 2 + 1 3 4. y(x) = ˜ 1

[sin(2x)] 13/2 Fila 6

1. (a) domf = R, f è pari.

(b) lim

x →±∞ f (x) = 13 7

( 3 2 − √

3

2 ) ( π

2 ) 2/3

; y = 13 7 ( 3

2 − √

3

2 ) ( π

2

) 2/3

asintoto orizzontale completo per x → ±∞; f non ammette altri asintoti.

(c) f ′ (x) = 13 7

[ 1 1 + x 2

( 1

√

3

arctan(x) −

3

√ 4 π

| arctan(x)|

arctan(x) )]

domf ′ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ , x = 0 è punto di cuspide.

(d) f è crescente in ] − ∞, −1[ e in ]0, 1[, descrescente altrove; x = −1 e x = 1 sono punti di massimo relativo e assoluto; x = 0 punto di minimo assoluto (di cuspide).

(e) Per la presenza dei punti di massimo relativo e degli asintoti orizzontali, f ammette dei punti di flesso in ] − ∞, −1[ e in ]1, +∞[

2. arctan 7

3. y(x) = c 1 e 2x + c 2 − x 2 + 1 2 4. y(x) = ˜ 1

[sin(2x)] 15/2

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