x − 7 = 7 ( x − 7 ) = 7

(1)

ESERCIZI SVOLTI DEL SUPER COMPITO 2^E - 2^ F Liceo Sportivo – 23-24 aprile 2018 1

Semplificare le seguente espressioni:

√ ⁹⁹⁺ √ ⁴⁴⁻ √ ²⁷⁵⁺ √ ³⁹⁶

^;

³ √ ²⁻ √ ⁸⁺ √ ^6× √ ¹²⁻³ √ ¹²⁸

Per poter semplificare il più possibile queste espressioni cercheremo utilizzeremo le proprietà che ci permettono di portar dentro o portar fuori coefficiente rispetto al simbolo di radicale. Per far questo devo osservare gli argomenti dei radicali e vedere eventuali fattori quadrati di numeri interi.

√ 99+ √ 44− √ 275+ √ 396=3 √ 11+2 √ 11−5 √ 11+6 √ 11=6 √ 11

3

√

2−

√

8+

√

6×

√

12−3

√

128=3

√

2−2

√

2+

√

2

√

3(2

√

3)−3(8

√

2)=...

...=3 √ ²⁻² √ ²⁺⁶ √ ²⁻²⁴ √ ²⁼⁻¹⁷ √ ²

1 bis

Semplificare le seguente espressioni:

√ 99+ √ 44− √ 275+ √ 396

^;

√ 2− √ 8+ √ 6× √ 12−3 √ 128

Per la prima espressione: idem come sopra.

Per la seconda espressione:

√ 2− √ 8+ √ 6× √ 12−3 √ 128= √ 2−2 √ 2+ √ 2 √ 3(2 √ 3)−3(8 √ 2)=...

...= √ 2−2 √ 2+6 √ 2−24 √ 2=−19 √ 2 2

Risolvere la seguente equazione:

( x− √ ⁷⁾

²

⁼ ⁷

Metodo 1: estraggo la radice quadrata e studio l'equazione col valore assoluto.

L'equazione

( x− √ ⁷⁾

²

⁼⁷

è del tutto equivalente all'equazione

∣ x− √ 7 ∣ = √ 7

^.

Dunque distinguo due casi:

Caso

x≥ √ ⁷

. L'equazione diventa

x− √ ⁷⁼ √ ⁷

^ovvero

^x=2 √ ⁷

che è accettabile.

Caso

x< √ 7

− x+ √ 7= √ 7

^ovvero

x=0

che è accettabile.

Dunque le soluzioni sono

x=2 √ 7∨x=0

Metodo 2: mi preparo per applicare la formula risolutiva

Per potermi mettere nelle condizioni di applicare la formula risolutiva, sviluppo il quadrato:

x

²

−2 x √ 7+7=7

Le cose vanno meglio del previsto, perché mi rendo conto che si tratta di un'equazione spuria:

(2)

x

²

−2 x √ 7=0

Non c'è dunque bisogno di applicare la formula risolutiva, basta raccogliere la x e applicare il principio di annullamento del prodotto:

x (x−2 √ 7)=0

da cui deduciamo che le soluzioni sono

x=2 √ ^7∨x=0

^.

Metodo 2 bis: applico comunque la formula risolutiva

La formula risolutiva funziona sempre, quindi se qualcuno si fosse completamente dimenticato di come affrontare le equazioni spurie, e decide di applicare la formula risolutiva troverà comunque le soluzioni corrette:

x=2

√

7±

√

28−0

2 =2

√

7±2

√

7

2 da cui le soluzioni

x=2 √ ^7∨x=0

^.

Ovviamente applicare la formula risolutiva in questo caso non può essere considerata la migliore risposta possibile.

Metodo 0: intuizione pura

Può accadere che si riesca ad intuire le soluzioni per puro caso o magari anche dopo qualche tentativo: la risposta può essere considerata tra le migliori soltanto se sufficientemente argomentata. In questo caso in effetti è possibile intuire che le due soluzioni sono

x=2 √ ^7∨x=0

. Per giustificare la risposta occorre esporre una verifica, una risposta corretta potrebbe essere scritta così:

Le soluzioni sono

x=2 √ ^7∨x=0

. Infatti se sostituiamo tali valori nell'equazione:

(0− √ ⁷⁾

²

⁼⁷

^{è vera.}

(2 √ 7− √ 7)

²

=7

^{è vera.}

3 ∣ x−2∣−∣x+4∣=x

²

+2 x+1

Osserviamo subito gli argomenti dei valori assoluti che si annullano (e quindi cambiano segno) rispettivamente per

x=2 ; x=−4

. Occorre distinguere tre casi.

Caso

x<−4

− x+2+x+4=x

²

+ 2 x+1

^.

Portiamo l'equazione in forma standard:

0=x

²

+2 x−5

o se preferite

x

²

+2 x−5=0

^.

Applichiamo la formula risolutiva:

x= −2± √ ⁴⁺²⁰

2 = 2± √ ²⁴

2 =1± √ ⁶

La soluzione positiva sicuramente non è accettabile, valutando approssimativamente la soluzione negativa ci rendiamo conto che

1− √ 6>−4

e quindi anch'essa non è accettabile.

Caso

−4≤x<2

−x+2−x−4=x

²

+ 2 x+1

^.

Portiamo l'equazione in forma standard:

0=x

²

+4 x+3

o se preferite

x

²

+ 4 x+3=0

^.

Ci si rende conto abbastanza facilmente che

−1−3=−4

e che

(−1)(−3)=3

e quindi che le due soluzioni

sono x=−3∨x=−1

Se non ce ne acccorgiamo possiamo sempre applicare la formula risolutiva:

(3)

x= −4± √ 16−12

2 = −4± √ 4

2 =−2±1

da cui le soluzioni come sopra.

Le soluzioni ottenute sono entrambe accettabili.

Caso

x>2

x−2−x−4= x

²

+2 x +1

^.

Portiamo l'equazione in forma standard

x

²

+2 x+7=0

^.

Tale equazione non ha soluzioni, basta osservare che il discriminante

Δ=4−28<0

. Ricapitolando abbiamo individuato due soluzioni:

x=−3∨x=−1

4 2 x

²

−2( √ 5+ √ 7) x+ √ 140=0

Metodo 1: individuare nei coefficienti la somma e il prodotto delle soluzioni

Prima dividiamo tutti i coefficienti per 2 in modo da avere 1 come coefficiente del termine di secondo grado.

x²−(

√

5+

√

7) x+

√

140 2 =0 Adesso osserviamo che

√ 140

2 = √ 4 √ 5 √ 7

2 = 2 √ 5 √ 7

2 = √ 5 √ 7

.

Avendo constatato che il coefficiente di primo grado è l'opposto di

√ ⁵⁺ √ ⁷

e che il termine noto è

√ ⁵ √ ⁷

possiamo concludere che le soluzioni sono:

x= √ 5∨x= √ 7

^.

Metodo 2: applicare la formula risolutiva

L'equazione è già nella forma standard a x²+b x+c=0 . La formula risolutiva

x= −b± √ ^b

²

^{−4 a c}

2 a

^ci

permette di ottenere le soluzioni direttamente dai valori dei coefficienti.

In questo caso

a=2 ;b=−2( √ ⁵⁺ √ ^7);c= √ ¹⁴⁰

. Sostituiamo nella formula risolutiva:

x= +2( √ 5+ √ 7)± √ ²

²

⁽ ^√ ⁵⁺ ^√ ⁷⁾

²

⁻ ⁴⁽²⁾⁽ ^√ ¹⁴⁰⁾

2(2) = 2( √ 5+ √ 7)± √ ^{4 (5+7+2} ^√ ³⁵⁾⁻⁸ ^√ ¹⁴⁰

2(2) =...

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)± √ ^4(5+7+2 √ ³⁵⁾⁻¹⁶ √ ³⁵

4 =...

Manipolando in modo furbo l'argomento del radicale e tenendo presente che

( √ ⁷⁻ √ ⁵⁾

²

⁼⁷⁺⁵⁻² √ ³⁵

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)± √ ⁴ √ ⁵⁺⁷⁺² ^√ ³⁵⁻⁴ ^√ ³⁵

4 = 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ⁵⁺⁷⁻² ^√ ³⁵

4 =...

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ⁽ ^√ ⁷⁻ ^√ ⁵⁾

²

4 = √ ⁵⁺ √ ^7±( √ ⁷⁻ √ ⁵⁾

2

Scegliendo l'opzione + otteniamo

x= √ 5+ √ 7+ √ 7− √ 5 2 = 2 √ 7

2 = √ 7

(4)

Scegliendo l'opzione - otteniamo x=

√

5+

√

7−

√

7+

√

5 2 =2

√

5

2 =

√

5 Possiamo quindi concludere che le soluzioni sono:

x= √ 5∨x= √ 7

Metodo 2 bis: applicare la formula risolutiva e le formule dei radicali quadratici doppi

Applicando la formula risolutiva non abbiamo avuto bisogno dell'intuizione necessaria invece per vedere nei coefficienti la somma e il prodotto delle soluzioni. Abbiamo però usato l'intuizione, successivamente, per vedere il quadrato di

√ 7− √ 5

come argomento del radicale nella formula risolutiva. Senza quell'intuizione ci saremmo ritrovati in questa situazione:

...= 2( √ 5+ √ 7)± √ ^4(5+7+2 ^√ ³⁵⁾⁻¹⁶ ^√ ³⁵

4 = 2( √ 5+ √ 7)± √ ⁴⁸⁺⁸ ^√ ³⁵⁻¹⁶ ^√ ³⁵

4 =...

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)± √ ⁴⁸⁻⁸ ^√ ³⁵

4 = 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ¹²⁻² ^√ ³⁵

4 = 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ¹²⁻ ^√ ¹⁴⁰

4 =...

Trovandoci di fronte ad un radicale doppio e sprovvisti di intuizioni, l'unica nostra speranza rimane quella di sfogliare il libro e vedere se esiste qualche formula che possa cavarci dall'impaccio. Per fortuna che a pagina 184 del libro troviamo proprio le formule che fanno al caso nostro. Dobbiamo soltanto verificare che

12

²

−140

sia il quadrato di un intero.

In effetti:

12

²

−140=144−140=4=2

² . Dunque possiamo applicare le formule dei radicali quadratici doppi per sostituire

√ ¹²⁻ ^√ ¹⁴⁰⁼ √ ¹²⁺ ² ^√ ⁴ ⁻ √ ¹²⁻ ² ^√ ⁴ ⁼ ^√ ⁷⁻ ^√ ⁵

e proseguire nello svolgimento della formula risolutiva, come già visto sopra.

4 bis

6 x

²

−6( √ 2+ √ 3) x+ √ 864=0

Metodo 1 (tentativo): individuare nei coefficienti la somma e il prodotto delle soluzioni Prima dividiamo tutti i monomi per 6 in modo da avere a=1 .

x²−(

√

2+

√

3) x+

√

864 6 =0

Lavoriamo sul radicale: in effetti

√ ⁸⁶⁴⁼⁶ √ ²⁴

x

²

−( √ 2+ √ 3) x+ √ 24=0

^.

Purtroppo il termine noto non è il prodotto di

√ 2 √ 3= √ 6

e quindi non possiamo concludere niente riguardo alle soluzioni. Di buono c'è che abbiamo semplificato l'equazione in una versione equivalente più facile da gestire.

L'equazione è già nella forma standard a x²+b x+c=0 . La formula risolutiva

x= −b± √ b

²

−4 a c 2 a

^ci

permette di ottenere le soluzioni direttamente dai valori dei coefficienti. Applichiamo la formula alla forma semplificata che abbiamo provato col tentativo descritto sopra:

x= −( √ 2+ √ 3)± √ ⁽ ^√ ²⁺ ^√ ³⁾

²

⁻⁴⁽¹⁾ ^√ ²⁴

2(1)

Ma concentriamoci un momento sul discriminante:

Δ=2+3+2 √ 6−4 √ 24=5+2 √ 6−8 √ 6=5−6 √ 6<0

Il discriminante è negativo e quindi non ci sono soluzioni per questa equazione.

(5)

4 tris

6 x

²

−6( √ 2+ √ 3) x+ √ 216=0

Metodo 1: individuare nei coefficienti la somma e il prodotto delle soluzioni

Prima dividiamo tutti i coefficienti per 6 in modo da avere 1 come coefficiente del termine di secondo grado.

x

²

−( √ ²⁺ √ ^{3) x+} √ 216 6 =0

Adesso osserviamo che

√

216

6 =

√

36

√

2

√

3

6 =6

√

2

√

3

6 =

√

2

√

3 .

Avendo constatato che il coefficiente di primo grado è l'opposto di

√ ²⁺ √ ³

e che il termine noto è

√ ² √ ³

possiamo concludere che le soluzioni sono:

x= √ 2∨x= √ 3

^.

L'equazione è già nella forma standard

a x

²

+b x+c=0

. La formula risolutiva

x= −b± √ ^b

²

^{−4 a c}

2 a

^ci

permette di ottenere le soluzioni direttamente dai valori dei coefficienti.

In questo caso a=6 ;b=−6(

√

²⁺

√

^3);c=

√

²¹⁶ . Sostituiamo nella formula risolutiva:

x= +6( √ ²⁺ √ ^3)± √ ⁶

²

⁽ ^√ ²⁺ ^√ ³⁾

²

⁻⁴⁽⁶⁾⁽ ^√ ²¹⁶⁾

2(6) = 6( √ ²⁺ √ ^3)± √ ^{36 (2+3+2} √ ⁶⁾⁻²⁴ √ ²¹⁶

12 =...

...= 6( √ 2+ √ 3)± √ ^36(2+3+2 ^√ ⁶⁾⁻¹⁴⁴ ^√ ⁶

12 =...

Manipolando in modo furbo l'argomento del radicale e tenendo presente che

( √ ³⁻ √ ²⁾

²

⁼³⁺²⁻² √ ⁶

...= 6( √ 2+ √ 3)± √ 36 √ ²⁺³⁺² ^√ ⁶⁻⁴ ^√ ⁶

12 = 6 ( √ 2+ √ 3)±6 √ ²⁺³⁻² ^√ ⁶

12 =...

...= 6( √ 2+ √ 3)±6 √ ⁽ ^√ ³⁻ ^√ ²⁾

²

12 = √ 2+ √ 3±( √ 3− √ 2) 2

Scegliendo l'opzione + otteniamo

x= √ ²⁺ √ ³⁺ √ ³⁻ √ ²

2 = 2 √ ³

2 = √ ³

Scegliendo l'opzione - otteniamo

x= √ 2+ √ 3− √ 3+ √ 2

2 = 2 √ 2 2 = √ 2

Possiamo quindi concludere che le soluzioni sono:

x= √ 2∨x= √ 3

Metodo 2 bis: applicare la formula risolutiva e le formule dei radicali quadratici doppi

Applicando la formula risolutiva non abbiamo avuto bisogno dell'intuizione necessaria invece per vedere nei coefficienti la somma e il prodotto delle soluzioni. Abbiamo però usato l'intuizione, successivamente, per vedere il

(6)

quadrato di

√ 3− √ 2

come argomento del radicale nella formula risolutiva. Senza quell'intuizione ci saremmo ritrovati in questa situazione:

...= 6( √ ²⁺ √ ^3)± √ ³⁶⁽⁵⁺² √ ⁶⁾⁻¹⁴⁴ √ ⁶

12 = 6( √ ²⁺ √ ^3)± √ ¹⁸⁰⁺⁷² ^√ ⁶⁻¹⁴⁴ ^√ ⁶

12 =...

...= 6( √ ²⁺ √ ^3)± √ ¹⁸⁰⁻⁷² √ ⁶

12 = 6( √ ²⁺ √ ^3)±6 √ ⁵⁻² √ ⁶

12 = 6( √ ²⁺ √ ^3)±6 √ ⁵⁻ √ ²⁴

12 =...

Trovandoci di fronte ad un radicale doppio e sprovvisti di intuizioni, l'unica nostra speranza rimane quella di sfogliare il libro e vedere se esiste qualche formula che possa cavarci dall'impaccio. Per fortuna che a pagina 184 del libro troviamo proprio le formule che fanno al caso nostro. Dobbiamo soltanto verificare che

5

²

−24

sia il quadrato di un intero. In effetti:

5

²

−24=25−24=1=1

² . Dunque possiamo applicare le formule dei radicali quadratici doppi per sostituire

√ ⁵⁻ ^√ ²⁴⁼ √ ⁵⁺ ² ^√ ¹ ⁻ √ ⁵⁻ ² ^√ ¹ ⁼ ^√ ³⁻ ^√ ²

e proseguire nello svolgimento della formula risolutiva, come già visto sopra.

5

Determinare i lati e l'area di un triangolo isoscele avente il perimetro lungo 34 cm e sapendo che, se si aumenta ciascun lato di 2 cm e si diminuisce di 2 cm la base, il triangolo diventa equilatero.

Diamo un nome alle grandezze coinvolte. Essendo il triangolo isoscele chiameremo x la lunghezza dei lati uguali e chiameremo y la lunghezza della base. Cominciamo a tradurre in formule matematiche le informazioni che ci vengono fornite a parole.

Il fatto che il perimetro sia 34 cm significa che

2 x+ y=34

.

La seconda informazione richiede più concentrazione: ciascun lato aumenta di 2, cioè ciascun lato diventa

x+2

; la base invece diminuisce di 2, cioè diventa

y−2

. Con queste modifiche il triangolo diventa equilatero, ovvero

x+2= y−2

. Per determinare i lati ci è sufficiente risolvere il seguente sistema:

{ x+2= y−2 ^{2 x+ y=34}

Me lo aggiusto in forma standard

{ ^{2 x + y=34} x− y=−4

e poi applico il metodo di riduzione.

Sommando le due equazioni ottengo

3 x=30

ovvero

x=10

.

Per ricavare la y moltiplico per

−2

la seconda equazione

{ −2 x+2 y=8 ^{2 x+ y =34}

e poi sommo le due equazioni. In questo modo otteniamo

3 y=42

ovvero

y=14

.

Abbiamo così ottenuto i lati del triangolo: i lati uguali sono lunghi 10 cm mentre la base è 14 cm.

Essendo richiesta anche l'area e non avendo riferimenti cartesiani, siamo costretti a ricavarci l'altezza del triangolo utilizzando il teorema di Pitagora. L'altezza di un triangolo isoscele lo divide in due triangoli simmetrici e può essere determinata come cateto del triangolo rettangolo “metà” del triangolo originale. L'altro cateto è metà della base e l'ipotenusa e uno dei lati uguali.

Nel nostro caso l'altezza

h= √ ¹⁰

²

⁻⁷

²

⁼ ^√ ^100−49= ^√ ⁵¹

Finalmente possiamo calcolare l'area

14× √ ⁵¹

2 =7 √ ^{51 cm}

²

Calcolo dell'area senza ricavare l'altezza.

(7)

È valida la formula di Erone, che ci permette di calcolare l'area di un triangolo senza dover ricavare l'altezza, indicando con 2p il perimetro e con p il semi-perimetro del triangolo (come da tradizione), con a,b,c i lati del triangolo, la formula è la seguente:

√ p ( p−a )( p−b)( p−c)= √ 17(17−14)(17−10)(17−10)= √ ²⁴⁹⁹⁼⁷ √ ⁵¹

Metodo alternativo che aggira il formalismo del sistema.

Come spesso accade, qualche studente particolarmente brillante si inventa una soluzione “fuori dagli schemi” che però, a guardar bene, in questo è sempre la soluzione di un sistema ma senza la formalizzazione del sistema.

Ecco il ragionamento: chiamo x i lati uguali del triangolo isoscele, ma per misteriosi motivi continuo a chiamare la base AB, anziché assegnarle la y

AB=34−2 x È la lunghezza della base in funzione di x. Ho utilizzato l'informazione che il triangolo è isoscele.

Adesso uso l'altra informazione, il fatto che con opportune modifiche alle lunghezze dei lati, il triangolo diventa equilatero. In particolare la vecchia base diminuita di 2 cm sarà

AB−2=34−2 x−2=32−2 x

. Quindi posso scrivere l'equazione x+2=32−2 x che uguaglia la lunghezza del nuovo lato alla lunghezza della nuova base.

Si ci fate caso sto risolvendo col metodo di sostituzione, lo stesso sistema impostato nella precedente risoluzione senza averlo formalizzato.

Risolviamo l'equazione di primo grado ottenuta:

3 x=30

e scopriamo che

x=10

. Di conseguenza la base

AB=34−2(10)=14

.

Per calcolare l'area rimandiamo alle precedenti risoluzioni.

Ovviamente questo approccio denota sicuramente un buon intuito ed una intelligenza vivace, ma anche una mancanza di ascolto e di applicazione nello studio. Tale soluzione non può essere considerata la migliore, proprio perché si priva di quel formalismo che la renderebbe più comoda e più facile da scrivere e da leggere. Fra l'altra l'impostazione delle due equazioni richiederebbe delle opportune spiegazioni che molto spesso gli alunni si dimenticano di dare.

6

Calcolare l'area del triangolo individuato dalle rette di equazioni:

y=3

;

√ 3 x− 2

√ ³ ^y+ √ 3=0

; 3

√

2 x+

√

18

3 y−2

√

98−

√

2=0

Calma.

Non lasciamoci spaventare dai coefficienti irrazionali. Sono brutti e ci danno fastidio, dunque cerchiamo di sbarazzarcene. Nella seconda equazione, per esempio, potremmo moltiplicare tutti i coefficienti per

√ 3

^.

L'equazione diventa molto più carina:

3 x−2 y +3=0

e il bello è che rappresenta sempre la stessa retta (uno dei vantaggi delle equazioni implicite).

Per addolcire anche la terza equazione occorre qualche passaggio in più, ma è abbastanza facile osservare che

√ 18=3 √ 2

^{e che}

√ 98=7 √ 2

. Basta quindi dividere tutti i coefficienti per

√ 2

ottenendo così la nuova equazione:

3 x+ y−14−1=0

ovvero

3 x+ y−15=0

anch'essa piuttosto carina (anche se forse a qualcuno non piacerà quel 15).

Il disegno non è richiesto, ma farlo può essere utile per riflettere meglio.

Dunque ci interessa determinare le lunghezze della base AB e dell'altezza CH in modo da poter calcolare l'area del triangolo. Per ottenere queste informazioni ci interessano le coordinate dei punti A, B, C che possiamo ottenere come intersezioni delle tre rette, due a due.

(8)

Le coordinate del punto A le ottengo dal sistema:

{ 3 x−2 y+3=0 y=3

Che si risolve molto facilmente:

{ 3 x−2(3)+3=0

y=3 { ^{3 x−6+3=0} y=3 { ^{3 x−3=0} y=3 { ^{3 x=3} y =3 { ^x=1 y=3

Identico discorso per le coordinate di B:

{ 3 x+ y−15=0 y =3

{ 3 x+(3)−15=0

y=3 { ^{3 x−12=0} y=3 { ^{3 x=12} y =3 { ^x=4 y=3

Meno banale, ma pur sempre facile, è determinare le coordinate di C:

{ 3 x−2 y+3=0 3 x+ y−15=0

Utilizzando il metodo di riduzione:

3 x−2 y+3=0

−3 x− y+15=0 ...

0−3 y+18=0 y=6

3 x−2 y+3=0 6 x+2 y−30=0

...

9 x+0−27=0 x =3

Ricapitolando abbiamo determinato

A(1 ;3) B(4 ;3)C (3 ;6)

.

La base

AB=4−1=3

, l'altezza

CH =6−3=3

e quindi l'area richiesta è

3×3 2 = 9

2

(9)

7

Disegnare la retta di equazione

2 x+3 y+6=0

. Siano A e B i suoi punti di intersezione con gli assi, calcolare il perimetro del triangolo ABO. Qual è l'equazione della retta parallela alla retta data e contenente l'origine?

Cominciamo col disegno. Disponendo solo di carta a quadretti e lapis, conviene passare all'equazione esplicita:

y=− 2

3 x−2

. I punti A e B menzionati nella richiesta successiva sono anche quelli più facili da ricavare e utili per il disegno:

A(0 ;−2) B (−3 ;0)

. Un altro punto facile da ricavare e utile per il disegno poteva essere

P (3 ;−4)

. I più disinvolti potrebbero accontentarsi dell'intersezione con l'asse y

A(0 ;−2)

e poi ragionare sul coefficiente angolare: il segno meno ci dice che la retta “scende” da sinistra verso destra, il valore assoluto ci permette di tracciare una pendenza disegnando la diagonale di un rettangolo di base 3 quadretti e altezza 2 quadretti.

In questa esposizione vi propongo il grafico disegnato col software GeoGebra:

Per calcolare il perimetro del triangolo ABO ci servono le misure dei tre lati.

AO =2 ; BO =3 ; AB= √ ⁽⁰⁺³⁾

²

^+(−2−0)

²

⁼ √ 9+4= √ 13

Dunque il perimetro richiesto è

2+3+ √ 13=5+ √ 13

^.

Per quanto riguarda l'ultima richiesta, l'equazione che andremo a scrivere dovrà avere

m=− 2

3

, in quanto parallaela alla retta data; q=0 in quanto retta contenente l'origine. L'equazione richiesta è dunque

y=− 2

3 x 8

Verificare l'allineamento dei seguenti punti:

A(2+ √ 3 ;−2) B(−4+ √ 3 ;−5) C (1+ √ 3 ;− 5 2 )

Non lasciamoci spaventare dai radicali (e nemmeno dalle frazioni). Qualcuno molto bravo potrebbe applicare una traslazione di

√ 3

ai tre punti e cancellare in un colpo solo i radicali. Mi rendo conto che una simile idea possa venire assai difficilmente a questo livello di studi. Quindi procediamo con i metodi a nostra disposizione.

Metodo 1: applicare la formula specifica.

La via più (tristemente) scolastica è applicare la formula di allineamento di tre punti, che poi è semplicemente la

(10)

formula della retta per due punti, sostituendo le variabili con le coordinate del terzo punto.

x

_C

− x

_A

x

_B

− x

_A

= y

_C

− y

_A

y

_B

− y

_A Sostituendo con le coordinate assegnate:

1+ √ 3−2− √ 3

− 4+ √ 3−2− √ 3 =

− 5 2 +2

−5+2

Facendo i conti:

−1

−6 =

− 1 2

−3

ovvero

1 6 = 1

6

. Dunque i punti sono allineati.

Metodo 1 bis: determinare l'equazione della retta con due punti e poi verificare che il terzo appartiene.

Dal punto di vista del calcolo è del tutto equivalente a quanto fatto sopra. Per determinare l'equazione per due punti uso la formula della retta per due punti:

x−x

_A

x

B

− x

A

= y− y

_A

y

B

−y

A

. Successivamente sostituisco le variabili con le coordinate di C e ritorniamo ai calcoli già visti sopra.

Metodo 2: confronto i coefficienti angolari.

Osserviamo che il coefficiente angolare della retta per A e B potrei calcolarlo immediatamente in questo modo:

m

_AB

= y

_A

− y

_B

x

A

− x

B

e anche per la retta identificata da A e C

m

_AC

= y

_A

− y

_C

x

A

−x

C

.

Se i tre punti sono allineati queste due rette sono la stessa retta e quindi:

m

_AB

= m

_AC

ovvero:

y

_A

− y

_B

x

_A

− x

_B

= y

_A

− y

_C

x

_A

−x

_C da cui si ritorna sempre al primo metodo che abbiamo visto.

9

Tre dei quattro vertici di un parallelogramma hanno le seguenti coordinate nel piano cartesiano:

A(4 ; 2) B(9 ;1) C (11 ;4)

. Determinare le coordinate del quarto vertice D.

Non è richiesto il disegno, ma come al solito, farlo ci aiuta a trovare la risposta.

Grazie al disegno ci rendiamo conto che il punto D posso individuarlo come intersezione di due rette: una passante per

(11)

C e parallela al segmento AB, l'altra passante per B e parallela al segmento AC. Non c'è nulla di male ad osservare la quadrettatura è concludere che i coefficienti angolari sono

m

_AB

=− 1

5 m

_AC

= 2 7

^.

Se non si ha il coraggio di ragionare sulla quadrettatura si può sempre calcolare utilizzando le coordinate dei punti:

m

_AB

= y

_A

− y

_B

x

_A

− x

_B

= 2−1 3−8 =− 1

5 m

_AC

= y

_A

− y

_C

x

_A

− x

_C

= 2−4 3−10 = 2

7

Per quanto riguarda l'intercetta, utilizziamo l'equazione esplicita y=m x+q sostituendo i valori del coefficiente angolare e le coordinate del punto che la retta deve contenere.

Ricaviamo l'intercetta dela retta parallela al segmento AB e contenente C

4=− 1

5 10+q

ovvero

q=4+ 1

5 10=4+2=6

da cui l'equazione che ci interessa

y=− 1

5 x+6

. Grazie al disegno ci rendiamo conto che il punto D posso individuarlo come intersezione di due rette: una passante per C e parallela al segmento AB, l'altra passante per B e parallela al segmento AC. Non c'è nulla di male ad osservare la quadrettatura è concludere che i coefficienti angolari sono

m

_AB

=− 1

5 m

_AC

= 2 7

^.

Se non si ha il coraggio di ragionare sulla quadrettatura si può sempre calcolare utilizzando le coordinate dei punti:

m

_AB

= y

_A

− y

_B

x

A

− x

B

= 2−1 4−9 =− 1

5 m

_AC

= y

_A

− y

_C

x

A

−x

C

= 2−4 4−11 = 2

7

Per quanto riguarda l'intercetta, utilizziamo l'equazione esplicita y=m x+q sostituendo i valori del coefficiente angolare e le coordinate del punto che la retta deve contenere.

Ricaviamo l'intercetta dela retta parallela al segmento AB e contenente C

4=− 1

5 11+q

ovvero

q=4+ 1

5 11=4+ 11 5 = 31

5 y=− 1 5 x+ 31

5

^.

Ricaviamo l'intercetta dela retta parallela al segmento AC e contenente B.

1= 2

7 9+q

ovvero

q=1− 2

7 9=− 11

7 y= 2 7 x− 11

7

^.

Per ricavare le coordinate del punto D risolviamo il sistema:

{ ^y=− ^y= ² ⁷ ¹ ⁵ ^x− ^x+ ¹¹ ⁷ ³¹ ⁵

Applichiamo il metodo del confronto:

− 1 5 x+ 31

5 = 2 7 x− 11

7

^ovvero

− 1 5 x− 2

7 x=− 11 7 − 31

5

^ovvero

−17

35 x= −272 35

ovvero

x= 272 17 =16

Sostituendo nella prima equazione:

y=− 1

5 16+ 31 5 = 15

5 =3

Conclusione: le coordinate di D sono

x=16 ; y=3

(12)

Esiste anche un'altra risposta, ovvero un altro punto D

In effetti convenzionalmente in geometria le lettere dei vertici vengono attribuite seguento un ordine alfabetico in senso orario o antiorario. Se qualcuno tenesse presente questa convenzione andrebbe a cercare il punto D da un'altra parte. In questa visione i lati del parallelogramma sarebbero AB e BC mentre AC sarebbe la diagonale. Dunque la retta per A e B e contenente C ci è utile pure in questa visione.

L'avevamo già ricavata sopra, la sua equazione è

y=− 1 5 x+ 31

5

^.

L'altra retta che ci interessa è quella parallela a BC e contenente A. Osservando la figura possiamo notare che il coefficiente angolare è

m

_BC

= 3

2

ma se a qualcuno non piace dedurre la cose osservando la figura può sempre fare il conto:

m

_BC

= 4−1

11−9 = 3 2

^.

Per determinare l'intercetta:

2= 3

2 4+q

ovvero q=2−6=−4 .

Ricapitolando abbiamo le equazioni delle due rette, la cui intersezione è il punto D che ci interessa:

Per ricavare le coordinate del punto D risolviamo il sistema:

{ ^y=− ^y= ¹ ⁵ ³ ² ^x+ ^x−4 ³¹ ⁵

Utilizzando il metodo del confronto:

3 2 x−4=− 1 5 x+ 31

5

^ovvero

3 2 x+ 1

5 x=4+ 31

5

^ovvero

3 2 x+ 1

5 x=4+ 31

5

^ovvero

17 10 x= 51

5

^ovvero

x=6

. Sostituendo nella seconda equazione:

y= 3

2 6−4=5

.

(13)

Dunque il punto D richiesto ha coordinate

D(6 ;5)

Metodo 2: punto medio delle diagonali

Vi propongo qui anche un metodo alternativo inopinatamente ideato da qualche alunno. La configurazione da tenere presente è ancora quella del secondo disegno con il punto D messo nell'ordine convenzionale del verso antiorario.

Calcolo le coordinate del punto medio della diagonale AC

x

_M

= 4+11 2 = 15

2 ; y

_M

= 2+4 2 = 6

2 =3

L'idea geniale è che questo è anche il punto medio della diagonale BD, in questo modo posso ottenere due equazioni:

15 2 = x

_D

+9

2 ;3= y

_D

+ 1

2

^{da cui} ^x^D=15−9=6 ; y_D=6−1=5 e abbiamo così ricavato senza grande fatica le coordinate richieste del punto

D(6 ;5)

.

Nella prima configurazione avremmo prima cercato le coordinate del punto medio di BC

x

_M

= 9+11 2 = 20

2 =10 ; y

_M

= 1+4 2 = 5

2

e poi fatto la considerazione che è anche il punto medio di AD, impostando così le equazioni.

10= x

_D

+ 4 2 ; 5

2 = y

_D

+2

2

^{Da cui:} ^x^D⁼20−4=16 ; y_D=5−2=3 ottenendo le coordinate richieste.

10

Le quattro rette di equazioni

x−y =0

;

y=−x+12

;

y=7+x

;

x+ y +4=0

individuano un quadrilatero. Verificare che tale quadrilatero è un rettangolo e determinarne i vertici. Verificare poi che le diagonali del rettangolo sono congruenti e si tagliano reciprocamente a metà (cioè hanno lo stesso punto medio M).

Il disegno non è richiesto, ma farlo è sicuramente molto utile, sia per capire il da farsi che per descrivere quello che si è deciso di fare. L'immagine che vi propongo è stata realizzata grazie a GeoGebra.

Per verificare che si tratta di un rettangolo osserviamo che le rette indicate sono perpendicolari due a due. Scriviamo tutte le equazioni in forma esplicita:

r:

x−y =0

diventa

y=x

; coefficiente angolare

m=1

;

s:

y=−x+12

già in forma esplicita; coefficiente angolare

m=−1

; t:

y=x +7

già in forma esplicita; coefficiente angolare

m=1

; u:

x+ y +4=0

diventa

y=−x−4

; coefficiente angolare

m=−1

Osservando i coefficienti angolari possiamo affermare che r ⊥ s∧s ⊥t∧t⊥ u∧u ⊥ r e quindi il quadrilatero è effettivamente rettangolo.

Per determinare i quattro vertici dobbiamo risolvere quattro sistemi lineari.

r∩s { y=−x+12 ^y=x

x=−x+12

ovvero

2 x=12

ovvero

x=6

. Sostituendo nella prima equazione:

y=6

(14)

Abbiamo determinato il primo vertice

A(6 ;6)

.

s∩t { ^y=−x+12 y=x +7

− x+12= x+7

ovvero

−2 x=−5

ovvero

x= 5 2

^.

y=− 5

2 +12= 19 2

Abbiamo determinato il secondo vertice

B( 5 2 ; 19

2 )

.

t∩u { y =−x−4 ^{y= x+7}

x+7=−x−4

ovvero

2 x=−11

ovvero

x=− 11

2

^.

(15)

y=− 11

2 +7= 3 2

Abbiamo determinato il terzo vertice

C (− 11 2 ; 3

2 )

.

u∩r { ^{y =−x−4} y=x

− x−4= x

ovvero

−2 x=4

ovvero

x=−2

. Sostituendo nella prima equazione:

y=−2

Abbiamo determinato il quarto vertice

D(−2 ;−2)

.

Adesso verifichiamo che le diagonali AC e BD sono congruenti, utilizzando la formula della distanza tra due punti.

x − 7 = 7 ( x − 7 ) = 7

ESERCIZI SVOLTI DEL SUPER COMPITO 2^E - 2^ F Liceo Sportivo – 23-24 aprile 2018 1

√ 99+ √ 44− √ 275+ √ 396

3 √ 2− √ 8+ √ 6× √ 12−3 √ 128

√ 99+ √ 44− √ 275+ √ 396=3 √ 11+2 √ 11−5 √ 11+6 √ 11=6 √ 11

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

√

...=3 √ 2−2 √ 2+6 √ 2−24 √ 2=−17 √ 2

1 bis

√ 99+ √ 44− √ 275+ √ 396

√ 2− √ 8+ √ 6× √ 12−3 √ 128

√ 2− √ 8+ √ 6× √ 12−3 √ 128= √ 2−2 √ 2+ √ 2 √ 3(2 √ 3)−3(8 √ 2)=...

...= √ 2−2 √ 2+6 √ 2−24 √ 2=−19 √ 2 2

( x− √ 7)

= 7

( x− √ 7)

=7

∣ x− √ 7 ∣ = √ 7

x≥ √ 7

x− √ 7= √ 7

x=2 √ 7

x< √ 7

− x+ √ 7= √ 7

x=0

x=2 √ 7∨x=0

x

−2 x √ 7+7=7

x

−2 x √ 7=0

x (x−2 √ 7)=0

x=2 √ 7∨x=0

√

√

√

√

x=2 √ 7∨x=0

x=2 √ 7∨x=0

x=2 √ 7∨x=0

(0− √ 7)

=7

(2 √ 7− √ 7)

=7

3

∣ x−2∣−∣x+4∣=x

+2 x+1

x=2 ; x=−4

x<−4

− x+2+x+4=x

+ 2 x+1

0=x

+2 x−5

x

+2 x−5=0

x= −2± √ 4+20

2 = 2± √ 24

2 =1± √ 6

1− √ 6>−4

−4≤x<2

−x+2−x−4=x

+ 2 x+1

0=x

+4 x+3

x

+ 4 x+3=0

−1−3=−4

(−1)(−3)=3

x= −4± √ 16−12

2 = −4± √ 4

2 =−2±1

x>2

x−2−x−4= x

√ ⁹⁹⁺ √ ⁴⁴⁻ √ ²⁷⁵⁺ √ ³⁹⁶

³ √ ²⁻ √ ⁸⁺ √ ^6× √ ¹²⁻³ √ ¹²⁸

...=3 √ ²⁻² √ ²⁺⁶ √ ²⁻²⁴ √ ²⁼⁻¹⁷ √ ²

( x− √ ⁷⁾

⁼ ⁷

( x− √ ⁷⁾

⁼⁷

x≥ √ ⁷

x− √ ⁷⁼ √ ⁷

^x=2 √ ⁷

x=2 √ ^7∨x=0

x=2 √ ^7∨x=0

x=2 √ ^7∨x=0

x=2 √ ^7∨x=0

(0− √ ⁷⁾

⁼⁷

x= −2± √ ⁴⁺²⁰

2 = 2± √ ²⁴

2 =1± √ ⁶

√ ⁵⁺ √ ⁷

√ ⁵ √ ⁷

x= −b± √ ^b

^{−4 a c}

a=2 ;b=−2( √ ⁵⁺ √ ^7);c= √ ¹⁴⁰

x= +2( √ 5+ √ 7)± √ ²

⁽ ^√ ⁵⁺ ^√ ⁷⁾

⁻ ⁴⁽²⁾⁽ ^√ ¹⁴⁰⁾

2(2) = 2( √ 5+ √ 7)± √ ^{4 (5+7+2} ^√ ³⁵⁾⁻⁸ ^√ ¹⁴⁰

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)± √ ^4(5+7+2 √ ³⁵⁾⁻¹⁶ √ ³⁵

( √ ⁷⁻ √ ⁵⁾

⁼⁷⁺⁵⁻² √ ³⁵

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)± √ ⁴ √ ⁵⁺⁷⁺² ^√ ³⁵⁻⁴ ^√ ³⁵

4 = 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ⁵⁺⁷⁻² ^√ ³⁵

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ⁽ ^√ ⁷⁻ ^√ ⁵⁾

4 = √ ⁵⁺ √ ^7±( √ ⁷⁻ √ ⁵⁾

...= 2( √ 5+ √ 7)± √ ^4(5+7+2 ^√ ³⁵⁾⁻¹⁶ ^√ ³⁵

4 = 2( √ 5+ √ 7)± √ ⁴⁸⁺⁸ ^√ ³⁵⁻¹⁶ ^√ ³⁵

...= 2( √ ⁵⁺ √ ^7)± √ ⁴⁸⁻⁸ ^√ ³⁵

4 = 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ¹²⁻² ^√ ³⁵

4 = 2( √ ⁵⁺ √ ^7)±2 √ ¹²⁻ ^√ ¹⁴⁰

√ ¹²⁻ ^√ ¹⁴⁰⁼ √ ¹²⁺ ² ^√ ⁴ ⁻ √ ¹²⁻ ² ^√ ⁴ ⁼ ^√ ⁷⁻ ^√ ⁵

√ ⁸⁶⁴⁼⁶ √ ²⁴