ESERCIZI DEL CAPITOLO 10 VOLUME 1 pagine 717 -718
54 (prima)
∣1−2 x∣+x<8 . L'argomento dell'unico valore assoluto presente, si annulla per x=1 2 . Distinguiamo due casi.
Caso x<1
2 . La disequazione diventa 1−2 x+x<8 ovvero −x<7 ovvero x>−7 . Dunque tutte le x tali che −7<x<1
2 soddisfano la disuguaglianza.
Caso x≥1
2 . La disuguaglianza diventa −1+2 x+ x<8 ovvero 3 x<9 ovvero x<3 . Dunque tutte le x tali che 1
2≤x<3 soddisfano la disuguaglianza.
Ricapitolando, le soluzioni della disequazione sono tutte le x tali che −7<x<3 . 54 (seconda)
x≥∣2 x−5∣ L'argomento dell'unico valore assoluto presente, si annulla per x=5 2 . Distinguiamo due casi.
Caso x<5
2 . La disequazione diventa x≥−2 x +5 ovvero 3 x≥5 ovvero x≥5 3 . Dunque tutte le 5
3≤x<5
2 sono soluzioni della disequazione.
Caso x≥5
2 . La disequazione diventa x≥2 x−5 ovvero 5≥x . Dunque tutte le x tali che 5
2≤x≤5 sono soluzioni della disequazione.
Ricapitolando, le soluzioni della disequazione sono le x tali che 5
3≤x≤5 . 55 (prima)
∣1+2 x∣≥1−2 x . L'argomento dell'unico valore assoluto presente, si annulla per x=−1 2 . Distinguiamo due casi.
Caso x<−1
2 . La disequazione diventa −1−2 x≥1−2 x ovvero −1≥1 . Tale disuguaglianza è falsa per qualunque valore di x. Dunque in questo caso non ci sono soluzioni.
Caso x≥−1
2 . La disequazione diventa 1+2 x≥1−2 x ovvero 4 x≥0 ovvero x≥0 . Ricapitolando, ogni x≥0 è soluzione della disequazione.
55 (seconda)
3 x−4+∣x∣<0 . Distinguiamo ovviamente in due casi.
Caso x<0 . La disequazione diventa 3 x−4−x<0 ovvero 2 x−4<0 ovvero x<2 . Dunque tutte le x<0 sono soluzioni.
Caso x≥0 . La disequazione diventa 3 x−4+ x<0 ovvero 4 x−4<0 ovvero x<1 . Dunque sono soluzioni tutte le x tali che 0≤x<1 .
Ricapitolando sono soluzioni tutte le x<1 56 (prima)
∣x−2∣+x−3<0 L'argomento dell'unico valore assoluto presente, si annulla per x=2 . Distinguiamo due casi.
Caso x<2 . La disequazione diventa −x+2+x−3<0 ovvero −1<0 . Questa diseguaglianza è vera per ogni valore di x. Dunque tutte le x<2 sono soluzioni.
Caso x≥2 . La disequazione diventa x−2+ x−3<0 ovvero 2 x−5<0 ovvero x<5 2 . Dunque sono soluzioni tutte le x tali che 2≤x<5
2 .
Ricapitolando, sono soluzioni dell'equazione tutte le x tali che x<5 2 56 (seconda)
∣2 x+3∣<x .
Salta subito agli occhi una cosa: le x<0 non possono essere soluzioni, e verificando si vede che
pure x=0 non è soluzione. Dunque le soluzioni andranno cercate tra le x>0 .
Con x>0 l'argomento del valore assoluto è sempre positivo, dunque la disequazione diventa 2 x+3<x ovvero x<−3 che però non sono accettabili.
Ricapitolando tale disequazione è impossibile.
57 (prima)
4 x−3∣x∣+2≥0 Distinguiamo ovviamente in due casi.
Caso x<0 . La disequazione diventa 4 x+3 x+2≥0 ovvero 7 x≥−2 ovvero x≥−2 7 . Dunque sono soluzioni le x tali che −2
7≤x<0 .
Caso x≥0 . La disequazione diventa 4 x−3 x+2≥0 ovvero x≥−2 . Dunque sono soluzioni tutte le x≥0 .
Ricapitolando sono soluzioni tutte le x≥−2 7 57 (seconda)
6−∣x+5∣−x<0 . L'argomento dell'unico valore assoluto presente, si annulla per x=−5 . Distinguiamo due casi.
Caso x<−5 . La disequazione diventa 6+ x+5−x<0 ovvero 11<0 che è falsa per qualsiasi valore di x.
Caso x≥−5 . La disequazione diventa 6−x−5−x<0 ovvero 1<2 x ovvero 1 2<x . Ricapitolando le soluzioni sono le x>1
2
58 (prima)
∣2 x−4∣+∣x+1∣−3 x +1>0 . Gli argomenti dei due valori assoluti si annullano rispettivamente per x=2 e per x=−1 . Distinguiamo tre casi.
Caso x<−1 . Entrambi gli argomenti sono negativi. La disequazione diventa:
−2 x+4−x−1−3 x+1>0 ovvero −6 x+4>0 ovvero x<2
3 , quindi sono soluzione tutte le x<−1<2
3 .
Caso −1≤x<2 . Il primo argomento è negativo il secondo è positivo o nullo. La disequazione diventa −2 x+4+x +1−3 x+1>0 ovvero −4 x+6>0 ovvero x<3
2 . Dunque sono soluzione tutte le x tali che −1≤x<3
2<2 .
Caso x≥2 . Entrambi gli argomenti sono positivi, oppure il primo è nullo. La disequazione diventa semplicemente 2 x−4+x+1−3 x+1>0 ovvero −2>0 che è falsa per qualunque valore di x.
Ricapitolando le soluzioni della disequazione sono le x<3 2 . 58 (seconda)
∣x+2∣−∣x+1∣−2<0 . I due argomenti si annullano rispettivamente per x=−2 e per x=−1 Distinguiamo tre casi.
Caso x<−2 . Gli argomenti sono entrambi negativi. La disequazione diventa
−x−2+x+1−2<0 ovvero −3<0 vera per qualunque valore di x.
Caso −2≤x<−1 . Il primo argomento è positivo o nullo, l'altro è ancora negativo. La disequazione diventa x+2+ x+1−2<0 ovvero 2 x+1<0 ovvero x<−1
2 . Dunque sono soluzioni tutte le x tali che −2≤x<−1<−1
2 .
Caso x≥−1 . Entrambi gli argomenti sono positivi, il secondo può essere nullo. La disequazione diventa semplicemente x+2−x−1−2<0 ovvero −1<0 vera per ogni valore di x.
Ricapitolando, sono soluzione della disequazione tutti i valori di x reali.
59 (prima)
∣2 x−5∣≥∣x+1∣ . I due argomenti si annullano rispettivamente per x=5
2 o per x=−1 . Distinguiamo tre casi.
Caso x<−1 . Entrambi gli argomenti sono negativi. La disequazione diventa
−2 x+5≥−x−1 ovvero x≤6 , dunque sono soluzione tutte le x<−1<6 . Caso −1≤x<5
2 . Il primo argomento è negativo, il secondo è positivo o nullo. La disequazione diventa −2 x+5≥x+1 ovvero 3 x≤4 ovvero x≤4
3 . Dunque sono soluzione le x tali che
−1≤x≤4 3<5
2 . Caso x≥5
2 . Entrambi gli argomenti sono positivi, il primo può essere nullo. La disequazione diventa semplicemente 2 x−5≥x+1 ovvero x≥6 . Dunque sono soluzione tutte le
x≥6>5 2 .
Ricapitolando sono soluzioni della disequazione le x tali che x≤4
3∨x≥6 . 59 (seconda)
∣x−1∣−2 x+1
x−1 >0 . Prima di partire con la ricerca delle soluzioni poniamo le condizioni di esistenza. Dobbiamo assicurarci che il denominatore non sia nullo e quindi deve essere x≠1 . Andiamo ora ad osservare l'argomento dell'unico valore assoluto (che fra l'altro è uguale al denominatore). Si annulla proprio per x=1 . Distinguiamo due casi.
Caso x<1 . L'argomento è negativo. La disequazione diventa −x+1−2 x+1
x−1 >0 ovvero
−3 x+2
x−1 >0 . Risolviamo due disequazioni “di servizio”, una per il numeratore e una per il denominatore.
Per quanto riguarda il numeratore si risolve −3 x+2>0 ovvero −3 x>−2 ovvero x<2 3 . Per quanto riguarda il denominatore si risolve x−1>0 ovvero x>1 .
Per riassumere i nostri risultati possiamo aiutarci con un grafico o con una tabella.
−3 x+2 x−1
- 0 + Non esiste
−3 x +2 + 0 - +
x−1 - - - 0
x x<2
3 x=2
3
2
3<x<1 x=1
Caso x>1 . L'argomento è positivo. La disequazione diventa semplicemente x−1−2 x+1
x−1 >0 ovvero −x
x−1>0 . Anche in questo caso risolviamo due disequazioni “di servizio”. La prima è banale −x>0 ovvero x<0 , la seconda l'abbiamo già risolta al caso precedente (ed era comunque banale). Quindi possiamo aiutarci con un altro pezzo di tabella ( immagino che sia superfluo ricordare che 0<1 ).
−x x−1
Non esiste -
−x + -
x−1 0 +
x x=1 x>1
Ricapitolando: le soluzioni della disequazione sono dove vediamo il segno “+” per la frazione algebrica, cioè in corrispondenza di 2
3<x<1 . 60 (prima)
∣x−1∣+∣x−2∣−3∣x+3∣−x>1
Ci sono ben tre valori assoluti. Si annullano rispettivamente per x=1 ; x=2 ; x=−3 . Ci rimbocchiamo le maniche e suddividiamo in quattro casi.
Caso x<−3 . Tutti gli argomenti sono negativi. La disequazione diventa
−x+1−x+2+3 x+9−x>1 ovvero 12>1 che è vera per qualunque valore di x, in questo caso per tutti gli x<−3
Caso −3≤x<1 . Il terzo argomento è positivo o nullo, gli altri sono negativi. La disequazione diventa −x+1−x+2−3 x−9−x>1 ovvero −6 x−7>0 ovvero x<−7
6 . Quindi la disuguaglianza è verificata per tutte le x tali che −3≤x<−7
6 .
Caso 1≤x<2 . Il primo argomento è positivo o nullo, il secondo è negativo e il terzo è positivo.
La disequazione diventa x−1−x+2−3 x−9−x >1 ovvero −4 x−9>0 ovvero x<−9 4 .
Dunque nel caso in questione non ci sono soluzioni , visto che −9 4<1 .
Caso x≥2 . Tutti gli argomenti sono positivi, il secondo può essere nullo. La disequazione diventa semplicemente x−1+x−2−3 x−9−x >1 ovvero −2 x−13>0 ovvero x<−13
2 . Dunque nel caso in questione non ci sono soluzioni visto che −13
2 <2 . Ricapitolando: le soluzioni richieste sono x<−7
6 60 (seconda)
∣x−2∣−2∣x−1∣≤4−3 x Gli argomenti si annullano rispettivamente per x=2 e per x=1 . Suddividiamo in tre casi.
Caso x<1 . Entrambi gli argomenti sono negativi. La disequazione diventa
−x+2+2 x−2≤4−3 x ovvero 4 x≤4 ovvero x≤1 . In questo caso dobbiamo solo escludere la possibilità che x=1 .
Caso 1≤x<2 . Il secondo argomento è positivo o nullo, l'altro è negativo. La disequazione diventa −x+2−2 x+2≤4−3 x ovvero 4≤4 che è vera per ogni x, in particolare per x=1 che prima avevamo escluso.
Caso x≥2 . Entrambi gli argomenti sono positivi, il secondo può essere anche nullo. La disequazione diventa x−2−2 x+2≤4−3 x ovvero 2 x≤4 ovvero x≤2 . Dunque per questo caso è soluzione soltanto x=2 .
Ricapitolando: le soluzioni richieste sono le x≤2 . 61 (prima)
∣x−2∣−3∣x−1∣−∣x−5∣+∣x−4∣>0 . Ci sono ben quattro valori assoluti. Si annullano rispettivamente per x=2 , per x=1 , per x=5 e per x=4 . Suddividiamo in cinque casi.
Caso x<1 . Tutti gli argomenti sono negativi. La disequazione diventa
−x+2+3 x−3+x−5−x+4>0 ovvero 2 x>2 ovvero x>1 . Dunque per questo caso non troviamo soluzioni accettabili.
Caso 1≤x<2 . Il secondo argomento è positivo o nullo, gli altri sono negativi. La disequazione diventa −x+2−3 x+3+x−5−x+4>0 ovvero −4 x>−4 ovvero x<1 . Anche per questo caso non troviamo soluzioni accettabili.
Caso 2≤x<4 . Il primo argomento è positivo o nullo, il secondo è positivo, gli altri sono negativi. La disequazione diventa x−2−3 x+3+ x−5−x+4>0 ovvero −2 x>0 ovvero
x<0 . Anche per questo caso non troviamo soluzioni accettabili.
Caso 4≤x <5 . L'ultimo argomento è positivo o nullo, il primo e il secondo sono positivi, il terzo
è negativo. La disequazione diventa x−2−3 x+3+ x−5+ x−4>0 ovvero −8>0 che è falsa per qualsiasi valore di x.
Caso x≥5 . Il terzo argomento è positivo o nullo, gli altri sono positivi. La disequazione diventa x−2−3 x+3+ x−5+ x−4>0 ovvero −2 x>2 ovvero x<−1 . Anche per questo caso non troviamo soluzioni accettabili.
Ricapitolando: non abbiamo trovato nessuna soluzione accettabile, la disequazione è impossibile.
61 (seconda) x−∣x+2∣
∣x∣ <0 . Prima di partire alla ricerca delle soluzioni, stabiliamo le condizioni di esistenza.
Per essere sicuri che il denominatore non si annulli, dobbiamo porre x≠0 .
Posta questa condizione, si osservi anche che il denominatore è sempre positivo, il segno di tutta la frazione dipenderà esclusivamente dal segno del numeratore.
In pratica dobbiamo soltanto risolvere la disequazione x−∣x+2∣<0 . In modo del tutto intuitivo si vede facilmente che qualsiasi x<0 soddisfa la disuguaglianza (è una somma di due numeri negativi); in modo altrettanto intuitivo si vede facilmente che qualsiasi x>0 soddisfa la disuguaglianza (è una differenza in cui il minuendo è più piccolo del sottraendo).
Se però tutte queste facili intuizioni non dovessero arrivare nella vostra mente, potete sempre suddividere in casi: l'argomento del valore assoluto si annulla per x=−2 , distinguiamo due casi.
Caso x<−2 . La disequazione diventa x+ x+2<0 ovvero 2 x<−2 ovvero x<−1 . Dunque le x di questo caso sono soluzioni.
Caso x≥−2 . La disequazione diventa x−x−2<0 ovvero −2<0 vera per qualsiasi valore di x.
Ricapitolando: tutte le x≠0 sono soluzioni della disequazione.
62
∣x∣−x+3
∣x−1∣+x−4>0 . Prima di partire alla ricerca delle soluzioni dobbiamo porre le condizioni di esistenza. Purtroppo anche per questo passaggio avremo a che fare con un valore assoluto.
Facciamo un sospiro, portiamo pazienza e mettiamoci al lavoro.
Il denominatore deve essere diverso da zero, ovvero ∣x−1∣+ x−4≠0 . Dobbiamo dunque risolvere l'equazione ∣x−1∣+ x−4=0 e porre come condizione che x debba essere diverso dalle soluzioni che troveremo. Questo lavoro ci sarà utile anche dopo, quando studieremo il segno del denominatore.
Per adesso risolviamo ∣x−1∣+ x−4=0 . L'argomento del valore assoluto si annulla per x=1 dunque distinguiamo due casi.
Caso x<1 . L'equazione diventa −x+1+x−4=0 ovvero −3=0 falsa per ogni valore di x.
Caso x≥1 . L'equazione diventa x−1+x−4=0 ovvero 2 x−5=0 ovvero x=5 2 . Si tratta di una soluzione accettabile, visto che 5
2≥1 . Dunque la condizione di esistenza da porre è x≠5
2 .
Già che ci siamo, possiamo sfruttare questo lavoro anche per studiare il segno del denominatore.
(Basta sostituire il simbolo “=” con il simbolo di servizio “>”). Con gli stessi calcoli si può affermare che per x<1 il denominatore è negativo. Il denominatore continua ad essere negativo anche per ed è positivo per x>5
2 .
Per quanto riguarda il numeratore, è abbastanza immediato verificare che con x≥0 vale sempre e soltanto 3, mentre con x<0 è necessariamente positivo. Se poi non ce ne rendiamo conto in modo immediato possiamo sempre risolvere facilmente la disequazione “di servizio”
∣x∣−x+3>0 .
Caso x<0 . La disequazione diventa −x−x+3>0 ovvero −2 x>−3 ovvero x<3 2 . Dunque possiamo dire che la disuguaglianza è verificata per tutte le x di questo caso.
Caso x≥0 . La disequazione diventa x−x+3>0 ovvero 3>0 vera per ogni valore di x.
Dunque il segno della frazione algebrica dipende esclusivamente dal denominatore, che è positivo per x>5
2 . Queste sono anche le soluzioni della disequazione.
63 (prima)
∣2+3 x∣<5 . Si potrebbe procedere come fatto fino ad oggi, ma ci viene suggerito questo metodo alternativo e quindi proviamolo.
La disequazione diventa −5<2+3 x<5 . I principianti possono, a questo punto, risolvere separatamente le due disequazioni. Gli esperti possono procedere in questo modo.
−5−2<3 x<5−2 . Il 2 è stato “trasportato” sia a destra che a sinistra. Infatti sto risolvendo due disequazioni contemporaneamente.
−7<3 x<3 . Resta da trasportare il coefficiente moltiplicativo 3
−7
3<x<3
3 ed ecco la soluzione richiesta: −7
3<x<1 . 63 (seconda)
∣4 x−3∣>2 .
In questo caso dobbiamo rassegnarci a risolvere separatamente le due disequazioni:
4 x−3>2 oppure 4 x−3<−2 .
Possiamo, se non ci confondiamo nel farlo, anche procedere in parallelo.
4 x>2+3 Oppure 4 x<−2+3 4 x>5 oppure 4 x<1
x>5
4 oppure x<1 4
