RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’ EQUAZIONE
• Introduzione
Si vogliano individuare, se esistono, le radici o soluzioni dell’equazione f(x)=0.
Se f(x) è un polinomio di grado superiore al secondo o se è una espressione trascendente o mista, non sempre è possibile risolvere l’equazione per via elementare, in tal caso si ricorre a metodi più complessi che consentono di determinare approssimativamente le soluzioni, con precisione elevata quanto si vuole.
Intanto si osserva che, geometricamente, il problema si traduce nella determinazione dell’ascissa di uno o più punti di intersezioni del grafico γ della funzione y= f(x) con l’asse delle x.
Se sulla funzione reale f(x), di variabile reale x, non si formula alcuna ipotesi, il problema esposto rimane molto generico; infatti l’equazione potrebbe non ammettere soluzioni o ammetterne un numero finito oppure un numero infinito.
Nella più ampia casistica, si supponga la f(x) continua, derivabile più volte e che ammetta un numero finito di radici in ogni intervallo finito del suo dominio.
Sotto tali ipotesi il procedimento risolutivo si può articolare in due fasi:
• Determinazione degli intervalli dell’asse reale all’interno del quale esiste ed è unica la radice a di f(x)=0 (problema della separazione delle variabili);
• Applicazione di un algoritmo opportuno alla funzione in ciascuno degli intervalli trovati, che permetta di determinare lo zero appartenente a quell’intervallo con l’approssimazione che si vuole.
La prima fase è comune ai vari metodi risolutivi.
Per localizzare le radici può essere utile:
• uno studio sommario della funzione y = f(x), cercando di stabilire approssimativamente dove il grafico γ di questa interseca l’asse delle x;
• cercare di scrivere la f(x) come differenza di due funzioni f(x) = ϕ(x) - g(x)
studiare le due funzioni y1 = ϕ(x) e y2 = g(x) e, per via grafica, individuarne approssimativamente le loro intersezioni;
• studiare quando è possibile il segno di f(x) ad intervalli regolari, sufficientemente piccoli, sull’asse reale ed evidenziare gli intervalli [ai,bi] in cui la funzione cambia segno: se la funzione è continua e f (ai)*f (bi)<0, esisterà almeno un valore α∈] ai,b i [ per cui f(α) = 0.
Per localizzare la radice in intervalli più ristretti, ed essere così certi che tale radice è unica, si può utilizzare sia il metodo grafico sia quello numerico.
METODO DI BISEZIONE O DICOTOMICO
Il principio su cui si basa questo metodo è quello di ridurre successivamente le dimensioni dell’intervallo che contiene la radice cercata; una volta ottenuto un intervallo sufficientemente piccolo, poiché la radice cade all’interno dell’intervallo, se ne potrà determinare il valore con l’approssimazione desiderata.
Si consideri la funzione y = f (x), continua nell’intervallo [a, b], e tale che
f (a)* f (b) < 0
date le ipotesi, esiste almeno un valore α∈] a,b [ per cui f(α) = 0
Se inoltre f ’(x) ¹ 0 " x Î ] a, b[ , allora in tale intervallo la radice α è unica.
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Sia x Î ] a, b[ , detto m = a + b il valore medio di a e b, allora:
2
a1= [ a + (1- segno(f (a)* f(m))* a/2 + (1+ segno(f (a)* f(m))* b/2]/2
b1= [ b + (1- segno(f (a)* f(m))* a/2 + (1+ segno(f (a)* f(m))* b/2]/2
sono gli estremi del nuovo intervallo contenente la radice.
Iterando il processo, si determineranno gli intervalli inscatolati [a1,b1], [a2,b2],…………., [an,,bn] e i valori m1, m1, …….., mn , permanendo la condizione f (an)* f (bn) < 0
Si possono verificare due casi:
1. se per un certo n, f (mn)=0 , allora la radice cercata è proprio α = mn
2. se f (mn) ¹ 0 è possibile determinare intervalli sempre più piccoli [an,bn], che consentono di approssimare come si vuole il valore di α.
Poiché ogni intervallo ha un’ampiezza metà dell’intervallo precedente, l’errore che si commette nella valutazione di α, al passo n, è minore di b - a
2n+1
METODO DELLE SECANTI
Sia f(x)=0, l’equazione di cui si vuole determinare la radice α.
Se f(x) è continua nell’intervallo [a, b] e f(a) * f(b) < 0, il punto α apparterrà all’intervallo e i valori a e b si possono considerare come due prime approssimazioni di α.
La successiva approssimazione x0 si trova servendosi di un procedimento d’interpolazione del primo ordine, e precisamente interpolando l’arco di curva che passa per i punti di coordinate
[a, f(a)], [b,f(b)], con la quale la corda che unisce tali punti, e trovandone l’ascissa del punto di intersezione con l’asse x.
L’equazione della corda è: y - f(a) = x – a f(b)-f(a) b – a
ovvero y = f(a) + (x-a). f(b)-f(a) b - a
L’ascissa x0 del punto di intersezione con l’asse x è data da:
x0 = a f(b) - b f(a) , f(b) - f(a)
generalizzando
xn+1 = a f(xn) - xn f(a) se f(a)*f ’’(x)>0 (1) f(xn) - f(a)
oppure:
xn+1 = xn f(b) - b f(xn) se f(a)*f ’’(x)<0. (2) f(b) - f(xn)
iterando la ricerca si perverrà alla successione
x0 , x1 ,x2 ,…….,xn ,
decrescente nel caso (1) o crescente nel caso (2), convergente al valore α cercato.
y
x2 x1 b= x0
a α x
METODO DELLE APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE O
DELLA FUNZIONE DI ITERAZIONE
Sia α∈R una radice separata dell’equazione
f(x) = 0 (1)
e [a,b] un intervallo che la contiene, si constata facilmente che la (1) è equivalente all’equazione
f(x) + x = x posto
f(x) + x = ϕ(x)
la (1) si trasforma in
x = ϕ(x) (2) pertanto se α è soluzione della (1) allora è soluzione della (2), e si ha
α = ϕ (α)
α si dice punto fisso o punto unito di ϕ(x) .
Geometricamente la soluzione della (1) coincide con l’ascissa del punto d’intersezione di
y = x e y = ϕ(x)
Non tutte le ϕ(x) di iterazione generano successioni di {xn } convergenti ad α, la condizione affinchè ciò avvenga è che esista un opportuno intorno F di α dove la ϕ(x) sia continua con la sua derivata prima e che in tale intorno F sia :
0 < |ϕ‘ (x)| £ q < 1
in tal caso per ogni x0 Î F, esiste una successione {xn },contenuta in F e convergente ad α.
METODO DELLE TANGENTI
Sia f(x) = 0, l’equazione di cui si vuole determinare la radice α e sia [a , b] l’intervallo che contiene α, sia inoltre f(x) una funzione almeno di classe due su [a,b].
A partire da un punto x0 Î [a , b] si sostituisce a y = f(x) l’equazione della tangente a f(x) nel punto [x0 , f(x0)], ossia
y = , f(x0) +, f ‘(x0)(x - x0)
Invece di risolvere f(x)=0 si risolve l’equazione
, f(x0) +, f ‘(x0)(x - x0) = 0
che ha per soluzione
x1 = x0 - f (x0) ( 1 )
f ‘(x0)
con x1 ascissa del punto di intersezione della tangente con l’asse delle ascisse. Tale valore si considera una prima approssimazione di α.
Ripetendo il procedimento descritto a partire da x1, si otterrà una successiva approssimazione x2 di α. Iterando n+1 volte il procedimento si può giungere alla formula ricorsiva seguente:
x n+1 = x n - f (xn) x0 = a ( 2 ) f ‘(xn)
Si ottiene una formula identica alla (2) partendo da x0 = b anzicchè da a.
Nell’ipotesi che f ’’(x) ¹ 0 "xÎ[ a,b ] si dimostra che il procedimento è convergente a partire da un qualsiasi x0Î[ a,b ].
y
b
O xo=a x1 x2 x
