FOGLIO DI ESERCIZI 2– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12
Esercizio 2.1 (1.2). Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ ∈ R, calcolare A + B, B − A, λA + µB, AB, BA, A
2:
A = 1 1 2 2
B = 3 2
−1 4
λ = 1
2 , µ = 0 A =
1 0 1
3 −1 −1
2 0 −1
B =
3 0 2
−1 4 5
−1 0 0
λ = 2, µ = −1
Soluzione:
Comiciamo dalla prima coppia di matrici:
A + B = 4 3 1 6
B − A = 2 1
−3 2
λA + µB = 1
2 · A + 0 · B = 1 2 A =
12 1
1 1
2AB = 2 6 4 12
BA = 7 7 7 7
A
2= A · A = 3 3 6 6
Analogamente per la seconda coppia di matrici:
A + B =
4 0 3 2 3 4 1 0 −1
B − A =
2 0 1
−4 5 6
−3 0 1
λA + µB = 2A − B =
−1 0 0
7 −6 −7
5 0 −2
AB =
2 0 2
11 −4 1
7 0 4
BA =
7 0 1
21 −4 −10
−1 0 −1
A
2= A · A =
3 0 0
−2 1 5 0 0 3
Esercizio 2.2 (1.3). Date le seguenti matrici:
A
1=
−1 2 5 −3
3 −1 0 2
4 0 0 −2
; A
2= 0 −2 5 4 −3 2
; A
3=
5 0
−1 2
4 5
5 −1
;
A
4=
3 5
−1 10
−2 0
; A
5=
−2 4 1
−4 4 4 0 0 0
; A
6= −3 1 −1
−8 5 3
;
calcolare, quando possibile, i prodotti A
i· A
jper i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Soluzione:
Ricordiamo che una matrice `e detta n × m se ha n righe e m colonne. Inoltre `e possibile moltiplicare due matrici A e B solamente se
• A `e del tipo n × m
• B `e del tipo m × k
(cio`e se il numero delle colonne di A `e uguale al numero delle righe di B). Il risultato `e una matrice C del
tipo n × k.
Scriviamo solo i prodotti che `e possibile effettuare:
A
1· A
3=
−2 32 26 −4 10 2
A
2· A
1= 14 2 0 −14
−5 11 20 −22
A
2· A
4= −8 −20 11 −10
A
2· A
5= 8 −8 8 4 4 −8
A
3· A
2=
0 −10 25
8 −4 −1
20 −23 30
−4 −7 23
A
3· A
6=
−15 5 −5
−13 9 7
−52 29 11
−7 0 −8
A
4· A
2=
20 −21 25 40 −28 15
0 4 −10
A
4· A
6=
−49 28 12
−77 49 31
6 −2 2
A
5· A
1=
18 −8 −10 12 32 −12 −20 12
0 0 0 0
A
5· A
4=
−12 30
−24 20
0 0
A
5· A
5=
−12 8 14
−8 0 12
0 0 0
A
6· A
1= 2 −7 −15 13 35 −21 −40 28
A
6· A
4= −8 −5
−35 10
A
6· A
5= 2 −8 1
−4 −12 12
Esercizio 2.3 (1.4). Date le matrici
A = 1 2 3 4 I
4=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
calcolare i prodotti AI
4e I
4A
T.
Soluzione:
Notiamo che la matrice quadrata I
4`e detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche (dei differenti ordini) vengono indicate I.
AI
4= 1 2 3 4 = A
I
4A
T= I
4·
1 2 3 4
=
1 2 3 4
= A
TEsercizio 2.4 (1.5). Date le matrici
A = −2
123 1
B = 1 −3
231 calcolare 3A − 2B e AB
T.
Soluzione:
3A − 2B = −6
329 3 − 2 −6
432 = −8
152 2331
AB
T= −2
123 1 ·
1
−3
2 3