Sul punteggio SB
Introduzione
Voglioqui dareunaspiegazioneinterminisempli idiunarelazione hevale
per i punteggi SB nei tornei di s a hi. Sara an he una risposta alla domanda
fatta di re ente da ilMusso in it.hobby.s a hi.
(1)
S rive ilMusso:
Comesappiamo, ilsistema Sonneborn-Bergerprevede heper al olare talepun-
teggio per ias un gio atore venga assegnato il totale dei punti ottenuti da ogni
avversario battuto nello s ontro diretto, la meta dei punti ottenuti da ogni av-
versario on ui sie avuto unrisultato dipareggio e zero deipunti ottenuti dagli
avversari dai quali si e stati battuti.
Fa endolasomma deipunteggiSBdeigio atoriparte ipantialtorneo ongirone
all'italiana di Chanty-Mansijsk on lusosi qual he giorno fa si ottiene un totale
di 353,00.
Con ludeva hiedendo ilper he delrisultato,e seesiste unaformula. Lari-
sposta di Paolo Casa hie stata questa:
Somma di tutti gli SB = N(N 1) 2
=2 P
j P
2
j
dove P
j
e il punteggio del j-mo
gio atore
mae stata giudi atatroppo astrusa (laformula e an or piu la deduzione).
Riprendero quindi la questione da apo,in modo|spero| piu ompren-
sibile, e ritrovero la formula di Casa hi.
Notazioni
Indi oigio atori onletteremaius ole: A,B,::: oppureminus olequando
li uso ome indi i. R
ab
e il risultato della partita tra A e B, visto da A; quindi
vale 1 se A ha vinto, 0 se ha perso, 0.5 in aso di patta. Per la stessa partita,
R
ba
e il risultato visto da B; quindi R
ba
= 0 se R
ab
= 1, e . Notiamo he e
sempre
R
ab +R
ba
=1: (1)
Per rappresentare l'intero torneo onviene usare una matri e. In parole
sempli i, una matri e non e he una s a hiera dove in ogni asella e s ritto
un numero. Solo he inve e di essere 88, la s a hiera avra tante traverse
(\righe" quando si parla di matri i) e tante olonne quanti sono i gio atori:
12 nell'esempio fatto da ilMusso, N in generale. A di erenza della notazione
s a histi a, in ui le olonne sono indi ate da lettere e le traverse da numeri,
(1)
http://groups.google. o m/d /msg /it .ho bby .s a h i/
Hq Aw7pqGy8/3TdWkkufuiA J
la indi hero on \b ." Vedremo subito he 'e un vantaggio a far questo.
Ogni aselladellamatri e orrispondeaunapartita: peres.\bf" orrispon-
de alla partita tra B ed F. Ma an he \fb" orrisponde alla stessa partita; he
motivo 'e di averla due volte? Il motivo e he in tal modo possiamo vederla
una voltadal punto divista di B, e un'altradal punto divista di F.Chiariamo
meglio.
Di evo henelle asellemettiamodeinumeri: piupre isamente, imettiamo
i risultati dellapartita, vistidai due gio atori. Cos se B havinto su F, in\bf"
metteremo R
bf
= 1, in \fb" metteremo R
fb
= 0. La (1) i di e he la somma
dei valori nelle due aselle e sempre 1. Ma dove si trovano queste due aselle?
Efa ile apire hesonosimmetri herispettoalladiagonaleas endente heparte
dalla asella\aa."
C'e da tener onto di un'e ezione: le aselle nella diagonale as endente di
ui sopra, ossia \aa," \bb," e . Queste non orrispondono a nessuna parti-
ta (un gio atore non gio a ontro se stesso) quindi andrebbero las iate vuote.
Converra pero s river i il valore 0, ossia de nire R
aa
=0, R
bb
=0, e .
Cal olo dei punteggi
In primo luogo onsideriamo il punteggio he hiamero \sempli e," dato
he non onos o il nome uÆ iale (non sono uno s a hista). Lo indi o on P
a
per il gio atore A, e . Consiste nella somma dei punteggi ottenuti da ias un
gio atore nelle N 1 partite da lui disputate. Cos ad es. avremo
P
a
=R
ab +R
a
+ (2)
P
a
=R
aa +R
ab +R
a
+ (2
0
)
he e la somma di tutti i numeri della olonna \a" nella matri e. (E o per he
abbiamoposto R
aa
=0!). Idem per gli altri gio atorie le altre olonne.
Ilpunteggio SB (Sonneborn{Berger) di A e de nito ome segue:
S
a
=R
ab P
b +R
a P
+ (3)
Infattiseperes.AhavintosuBprendel'interopunteggiodiB;sehapareggiato,
ne prendemeta,per he R
ab
=0:5;se ha perso non prendeniente. Inve edi (3)
posso an he s rivere
S
a
=R
aa P
a +R
ab P
b +R
a P
+ (3
0
)
per la solita ragione.
Non resta ora he fare la somma di tutte le S
a , S
b
, :::: hiamiamola T.
Abbiamo
T =(R
aa P
a +R
ab P
b +R
a P
+)+
(R
ba P
a +R
bb P
b +R
b P
+)+
(R
a P
a +R
b P
b +R
P
+)+
Riordinando e ra ogliendoP
a , P
b
, ::: si ottiene
T = (R
aa +R
ba +R
a
+)P
a +
(R
ab +R
bb +R
b
+)P
b +
(R
a +R
b +R
+)P
+
(4)
Guardiamoora l'espressione in parentesi nella primariga:
R
aa +R
ba +R
a +
Usando la (1) possiamo s riverla
R
aa
+(1 R
ab
)+(1 R
a
)+=(N 1) P
a
: (5)
Questa pero va spiegata:::
Quantisonogli1aprimomembro? Sonotantiquantiiterminidellasomma,
es lusoilprimo;quindi N 1. Sepoiri ordiamo heR
aa
=0,vediamo hetutti
gli altri terminisommati danno proprio P
a .
Quello he la (5) di e per la prima riga della (4), vale an he per tutte le
altre righe. Quindi la (4) si puo trasformarein
T = [(N 1) P
a
℄P
a
+[(N 1℄ P
b
℄P
b
+[(N 1) P
℄P
+=
(N 1)(P
a +P
b +P
+) (P 2
a +P
2
b +P
2
+):
Restasoloda al olareP
a +P
b +P
+: lasommadeituttiipunteggisempli i.
Ma questo e fa ile, per he ogni partita ontribuis e per 1 alla somma. Per es.
la partita \ab" da un punto ad A se e lui he l'ha vinta (e 0 a B). Se inve e ha
vinto B, su ede l'inverso. Se in nee stata patta, to a mezzo punto ias uno,
ma sempre un punto in tutto fra i due.
Basta ri ordare he il numero di partite e 1
2
N(N 1) per arrivare alla
on lusione:
P
a +P
b +P
+= 1
2
N(N 1) (6)
T = 1
2
N(N 1) 2
(P 2
a +P
2
b +P
2
+) (7)
he e la formula di Casa hi.
Qual he ommento
Il se ondo membro della (7) onsiste di due termini: il primo e sso, dato
il numero di gio atori, mentre il se ondo e variabile on i punteggi. Sappiamo
dalla(6) hela sommadeipunteggie ssa, ede noto he lasomma deiquadrati
diN numerila uisommasia ssata,assumeilvaloreminimoquandosonotutti
uguali.
Quando i P
x
sono tutti uguali, valgono ias uno 1
2
(N 1) e la somma
dei quadrati fa 1
4
N(N 1) 2
. Di onseguenza il massimo di T e 1
4
N(N 1) 2
.
Se N =12, abbiamoT =363.
Come si fa ad avere punteggi tutti uguali? Un modo ovvio e supporre he
tutte le partitesiano nite patte. Non e l'uni o, ma non importa.
E meno fa ile apire in qual aso la somma dei quadrati dei punteggi sara
massima. A intuito, bisogna he i punteggi siano i piu diversi possibili. Suppo-
niamo per es. he A vin a tutte le partite, totalizzando N 1 punti, e he un
altrogio atore,di iamo Z,le perda tutte, on punteggio 0. I gio atoririmanen-
ti avrano per forza punteggi intermedi: infatti il piu s arso avra vinto almeno
on Z, e quindi avra almeno un punto; il piu bravo avra perso almeno on A,
e potra avereal massimo N 2 punti, se avra vinto ontutti gli altri.
Insommala distribuzionedi punteggimeno uniformepossibilesembraesse-
re N 1;N 2;:::;1;0. La somma deiquadrati e 1
6
N(N 1)(2N 1)e per T
si ottiene 1
6
N(N 1)(N 2). Se N =12, si ha T =220.
Attenzione: questa non e una dimostrazione! Il minimo di T e solo plausibile,
non erto. Il minimo vero potrebbe essere an ora minore.
Ilrisultato353deltorneodiChanty-Mansijskemoltopiuvi inoalmassimo
healminimodiT,il heindi a hei on orrentieranomoltoequilibrati. An he
senza essere s a hista, lo trovopiuttosto ovvio.
Non so se io he ho s ritto rius ira omprensibile. Di si uro e molto piu
lungodella dimostrazionedi Casa hi.
E il prezzo he si pagaa non volerusare
sommatorie e altriarti i matemati i:::
