Integrazione per decomposizione

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Integrali indefiniti semplici

Integrazione per decomposizione

1. Calcolare gli integrali:

a)

(2x

− 4x + 1) dx;

b)

( x − 1)

d x;

c)

x − 1

x + 1 dx;

d )

x

+ x

+ x

x

dx;

e)

x

+ 1

x + 1 dx;

f )

d x

a

− x

, a
= 0;

g)

tg

x dx;

h)

sin

x − cos

sin

x cos

x dx;

i )

d x

sin

x cos

x ;

Integrazione per parti

2. Calcolare gli integrali:

a)

xe

d x;

b)

x

e

dx;

c)

x

e

dx;

d )

x

e

d x, ( m intero positivo, , α costante non nulla);

x^m−^m_αx^m−1+^m(m−1)_α2 x^m−2− +(−1)^{m m!}_αm

eαxα +c

e)

xa

dx, (a costante positiva diversa da 1);

x −_{log a}¹ _{log a}^ax 

eαxα +c

f )

x

a

dx, (a costante positiva diversa da 1);

x²−_{log a}^2x +_{log2 a}² 

log aax +c

g)

x

a

d x, ( m intero positivo, a costante positiva diversa da 1, α costante non nulla);

x^m−_{α log a}^m x^m−1+^m(m−1)

α2 log2 ax^m−2− · · · + (−1)^m_{αm logm a}^m! 

α log aaαx +c

h)

log x dx, (m intero positivo, a costante positiva diversa da 1, α costante non nulla);

x log x − x + c

i )

x

log x dx, (α costante diversa da − 1);

xα+1α+1



logx −_α+1¹  +c

l )

x

log

x dx, (m intero positivo, α costante diversa da − 1);

xα+1α+1 log^mx −_α+1^m

x^αlog^m−1x dx

m)

x

cos x dx;

x²sinx + 2x cos x − 2 sin x + c

m)

sin

x dx;

12(x − sin x cos x) + c

m)

cos

x dx;

12(x + sin x cos x) + c

n)

sin x cos x dx;

sin2 x 2 +c

o)

sin

x dx ( m costante);

−_m¹ sin^m−1x cos x +^m−1_m 

sin^m−2x dx se m
= 0; x + c se m = 0

p) cos

x dx (m costante);

m1 cos^m−1x sin x +^m−1_m 

cos^m−2x dx se m
= 0; x + c se m = 0

q)

sin x e

dx;

−¹2(sinx + cos x)e^−x+c

r )

e

sin x dx (α costante non nulla);

α2+1α



sinx −_α¹cosx e^αx+c

s)

log log x x d x;

logx(log log x − 1) + c

Integrazione per sostituzione

3. Calcolare gli integrali:

a)

(4x + 3)

dx (m costante diversa da − 1);

4(m+1) +c

b)

(x

− x + 1)

(2x − 1) dx;

4(x²− x + 1)⁴+c

c)

8x

+ 3

1 + (2x

+ 3x)

dx;

d )

1

x √

2x − 1 dx;

2x − 1 + c

e)

√ x

1 − x

dx;

1− x²+c

f )

√ x

1 − x

dx;

2arcsin(x²) +c

g)

x

(1 + x

)

d x;

2(1+x2)+c

h)

1

a

+ x

dx (a costante non nulla );

aarctg^x_a+c

i )

1



(1 − 2x)

d x;

2 3√1−2x+c

j )

1



(2 x + 5)

dx;

−^√_2x+5¹ +c se 2x + 5 > 0;^√_−2x−5¹ +c se 2x + 5 < 0

k )

1

√ a

− x

d x ( a costante non nulla);

a+c

l )

 a − x

a + x dx (a costante non nulla);

a±√

a²− x²+c se a ≶ 0

m)

1

1 + e

d x;

1+ex+c

n)
√

e

− 1 dx;

e^x− 1) + c

o)

1

e

+ e

dx;

p)

tgx dx;

q)

cotgx dx;

r )

sin mx cos mx dx ( m costante non nulla );

2msin²mx + c

s)

sin mx cos mx dx (m costante non nulla );

2msin²mx + c

t )

1

sin x dx;

2| + c

u)

1

cos x dx;

log ^{1+tg x}_{1−tg x}²

2

+ c

v ) cos

x dx;

sinx −^{sin3 x}3 +c

w )

1

1 + cos x d x;

2+c

x )

arcsin x dx;

1− x²+c

y)


a

− x

dx (a costante non nulla);

a22(arcsin^x_a+^x

√a2−x2 a2 ) +c

z)

1

a + b cos x d x ( a, b costanti non nulle).