Esercizi sugli integrali indefiniti

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche

Esercizi sugli integrali indefiniti

1) Trovare una primitiva delle seguenti funzioni

f 1 (x) = 5, f 2 (x) = −3x, f 3 (x) = 1

2 x ² , f 4 (x) = x ⁴ , f 5 (x) = 2x − 3x ² ,

f 6 (x) = x(1 − x), f 7 (x) = 2x ³ − x + 2, f 8 (x) = (x + 1) ² , f 9 (x) = (1 − x) ² ,

f ₁₀ (x) = √

x, f ₁₁ (x) = √

x + 3, f ₁₂ (x) = 1

√ x − 1 , f ₁₃ (x) = x

³⁴

,

f 14 (x) = (x − 2)

³²

, f 15 (x) = (x + 1) ⁻

⁵⁶

, f 16 (x) = 2x √

x + (1 − x) ⁻

¹²

, f 17 (x) = 1 x , f 18 (x) = 1

x + 1 , f 19 (x) = 1

2 − x , f 20 (x) = 3 sin x, f 21 (x) = cos(2x), f 22 (x) = sin x − cos x

2 , f 23 (x) = sin(−2x), f 24 (x) = sin x cos x,

f 25 (x) = 1

cos ² (2x) , f 26 (x) = e ^3x , f 27 (x) = e ^−x , f 28 (x) = e ^1−2x Soluzioni (alcune):

F 12 (x) = 2 √

x − 1 F 16 (x) = ⁴ ₅ x

⁵²

− 2 √

1 − x F 25 (x) = ^tan(2x) ₂ F 28 (x) = − ^e

^1−2x

₂

2) Verificare che F (x) = x + 2 √

x e G(x) = ( √

x + 1) ² sono due primitive delle stessa funzione h(x). Dire chi `e h(x) e per quale costante differiscono F e G.

Soluzione:

f (x) = g(x) = 1 + ^{√ 1} _x Differiscono per k = 1.

3) Verificare che F (x) = e ^x + x ² − x − e `e la primitiva di f (x) = e ^x + 2x − 1 che si annulla nel punto x 0 = 1.

4) Calcolare i seguenti integrali mediante scomposizione

a) Z

x ² − 2x + 3 dx b) Z

( √

x + 1) · (x − √

x + 1)dx c)

Z 1 + x

²³

x

³⁴

dx d)

Z x ² − 1 x − 1 dx e)

Z x ³ − 1

x − 1 dx f )

Z 1

x(x + 1) dx g)

Z 1 − x ²

x(1 + x) dx h)

Z 1 − x 1 − √

x dx

Soluzioni (alcune):

c) 4x

¹⁴

+ ¹² ₁₁ x

¹¹¹²

+ k d) ^x ₂

²

+ x + k e) ^x ₃

³

+ ^x ₂

²

+ x + k f) log(x) − log(x + 1) + k h) ² ₃ x

³²

+ x + k

1

5) Calcolare i seguenti integrali facendo uso della sostituzione suggerita.

a) Z

x(5x ² − 3) ⁷ dx, ponendo y = 5x ² − 3 b) Z √

cos x − 3 sin x dx, ponendo y = cos x

c)

Z dx

e ^x + 1 , ponendo x = − log y d)

Z x dx

√ x + 1 , ponendo y = √ x + 1 e)

Z x ³ − 1

x ⁴ − 4x + 1 dx, ponendo y = x ⁴ − 4x + 1 f )

Z x ²

√

3

x ³ + 1 dx, ponendo y = x ³ + 1 g)

Z tan √ x − 1

√ x − 1 dx, ponendo y = √

x − 1 h)

Z log(log x)

x dx, ponendo y = log x i)

Z arctan x

1 + x ² dx, ponendo y = arctan x l) Z √

e ^x − 1 dx ponendo y = √ e ^x − 1 Z

cos x sin(sin x) dx (t = sin x);

Z

xe ^{√ x} dx (t = √ x) Z √

x sin √

x dx (t = √ x);

Z sin ³ x

cos ² x dx (t = cos x) Soluzioni (alcune):

a) ^(5x

²

₈₀ ⁻³⁾

⁸

+ k c) x − log(e ^x + 1) + k d) ^2(x−2) ₃ ^{√ x+1} + k e) ^log(x

⁴

^−4x+1) ₄ + k f) ^(x

³

⁺¹⁾

23

2 + k

g) −2 log(cos( √

x − 1) + k h) log(x)[log(log(x)) − 1] + k i) ^arctan(x ₂

²

⁾ + k

6) Calcolare i seguenti integrali mediante integrazione per parti a)

Z

x sin x dx b) Z

x ² e ^3x dx c) Z x

e ^x dx d)

Z log x

x ³ dx e) Z

log ² x dx

f )

Z log x

√ x dx g) Z

arctan x dx h) Z

x arctan x dx i)

Z x

cos ² x dx l) Z p

9 − 4x ² dx m) Z

x sin 2x dx n) Z

arctan √

x dx o)

Z arcsin x

√ x + 1 dx p)

Z √

x ln x dx q) Z

sin(ln x) dx r) Z

ln ² x dx s) Z

x √

e ^x dx t) Z

x ² e ^3x dx u)

Z

x ³ ln x dx v) Z

arctan x dx z) Z

e ^2x sin x dx w) Z

x ³ e ^x

²

dx y) Z

x ² cos x dx

Soluzioni (alcune):

b) ₂₇ ¹ e ^3x (9x ² −6x+2)+k d) − ^{log x} _2x

2

− _4x ¹

2

+k e) x log ² x−2x log x+2x+k g) x arctan x− ^log(x ₂

²

⁺¹⁾ +k n) (x + 1) arctan √

x − √

x + k y) 2x cos(x) + (x ² − 2) sin(x) + k

7) Calcolare i seguenti integrali a)

Z x p

⁵

5 − x ² dx b)

Z 1

√ e ^x dx c)

Z sin x − cos x sin x + cos x dx

d) Z

x ³ e ^−x

²

dx e) Z

e ^{√ x} dx f )

Z log ² x x ² dx

Soluzioni (alcune):

c )− log(cos x + sin x) + k f) − _x ¹ (log ² x + 2 log x + 2) + k

2