2) Calcolare le equazioni delle rette tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione con l'asse x

Problema sulla parabola

1) Calcolare l'equazione della parabola di vertice V(2;2) e passante per A(4;0)

2) Calcolare le equazioni delle rette tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione con l'asse x

3) Detto P il punto di intersezione fra le rette calcolate nel punto 2, calcolare l'area del triangolo OPA

4) Calcolare la lunghezza della corda intercettata nella parabola dalla retta y=-x

5) Rappresentare graficamente Svolgimento

1) Formula parabola dato vertice:

( 2 )

²

2 = ⋅ −

− a x

y

Sostituisco le coordinate di A

( 4 2 )

²

2

0 − = a ⋅ −

2

= 1 a

Equazione parabola: y x 2 x 2

1

₂

+

−

=

2) Punti di intersezione con asse x:

0 2 2

1

₂

= +

− x x
x

_1,2

= 0 ; 4
A(4;0);O(0;0)

Tangente per A

( )



 



−

⋅

=

−

+

−

=

) 4 0

2 2 1

₂

x m y

x x

y
x 2 x mx 4 m

2 1

₂

−

= +

−

( 2 ) 4 0

2 1

₂

= +

−

⋅ +

− x x m m

( ) 4 0

2 4 1

2

²

 ⋅ =



 



 −

⋅

−

−

=

∆

_S

m m

0 8 4

4 − m + m

²

+ m =
m

²

+ m 4 + 4 = 0

2

− m =

Tangente per A: y = − 2 x + 8

Tangente per O



 



=

+

−

= mx y

x x

y 2

2 1

₂

− x + 2 x = mx 2

1

₂

( 2 ) 0

2 1

₂

=

−

⋅ +

− x x m

( ) 0 0

2 4 1

2

²

 ⋅ =



 



 −

⋅

−

−

=

∆

_S

m

( 2 − m )

²

= 0

m = 2

Tangente per O: y = 2 x

3) Calcolo delle coordinate di P:

 



= +

−

= x y

x y

2 8 2

P(2;4) Area del triangolo:

base OA=4; altezza PH=4;area=8 4) Calcolo degli estremi della corda:



 



−

=

+

−

= x y

x x

y 2

2 1

₂

− x + 2 x = − x 2

1

₂

0 2 3

1

₂

= +

− x x

0 2 3

1  =



 



 − +

⋅ x

x
x

_1,2

= 0 ; 6
C(6;-6);

O(0;0)

Lunghezza segmento OC

( 6 − 0 )

²

+ ( − 6 − 0 )

²

= 72 = 6 2 ≈ 8 , 49

= OC

5)