Esame di Matematica Generale
Docente: S. Federico (matricole 50-74) 13 Febbraio 2019 (Fila B)
Nome: Cognome: Matricola:
Descrizione della prova
• La seguente prova scritta `e costituita da 5 quesiti a risposta multipla e da 2 quesiti a risposta aperta.
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 6 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate)
`
e di −4 punti.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 26 punti.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti a risposta aperta lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta aperta
1. (9 punti) Si tracci al meglio (considerando anche lo studio del segno della derivata seconda) il grafico della funzione reale
f (x) = x2− 2x − 8 x − 2 . 2. (6 punti) Si consideri la seguente funzione reale definita a tratti
f : R → R, f (x) :=
x, se x < 0,
−x2, se x ∈ [0, 1],
−1, se x > 1.
(i) Si tracci il grafico di f .
(ii) Si dica per quali valori di x ∈ R risulta f (x) = −1.
(iii) Si determini l’insieme f ([1, +∞)).
3. (4 punti) Si determini il dominio naturale e si calcoli la derivata prima della funzione f (x) = (x2− 1)(ex)−x2.
4. (3 punti) Si tracci il grafico della funzione f (x) =
q
log(e−x2) 5. (4 punti) Si considerino i seguenti vettori:
x1=
0 0 0 1
, x2=
0 0 1 3
, x3=
0 1 3 1
, x4=
2 3 4 5
.
Si determini se essi sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti.
Quesiti a risposta multipla
1. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C2 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.
−1 0 1 5 8
x y
(i) (1 punto) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
R1
0 f (x)dx < 8.
R1
0 f (x)dx > 8.
(ii) (1 punto) Si dica se il Teorema di Fermat `e applicabile a f |(0,2)nel punto x = 1.
Si No
(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e errata.
f (0) = 5.
f ([−1, 1]) = [0, 8]
Df = [−1, +∞) f0(0) < 0
(iv) (1 punto) Si dica quale delle seguenti affermazioni `e corretta (attenzione al significato dei simboli!):
8 ∈ f ({1}) 8 = f ({1})
