Esame di Matematica Generale
Docente: S. Federico (matricole 50-74) 13 Febbraio 2019 (Fila A)
Nome: Cognome: Matricola:
Descrizione della prova
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti a risposta aperta lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta aperta
1. (9 punti) Si tracci al meglio (considerando anche lo studio del segno della derivata seconda) il grafico della funzione reale
f (x) = x2− 9 x − 1.
2. (6 punti) Si consideri la seguente funzione reale definita a tratti
f : R → R, f (x) :=
−x, se x < 0, x2, se x ∈ [0, 1], 1, se x > 1.
(i) Si tracci il grafico di f .
(ii) Si dica per quali valori di x ∈ R risulta f (x) = 1.
(iii) Si determini l’insieme f ([1, +∞)).
3. (4 punti) Si determini il dominio naturale e si calcoli la derivata prima della funzione f (x) = (1 − x2)(ex)−x2.
4. (3 punti) Si tracci il grafico della funzione f (x) =
q
log(e−x2) 5. (4 punti) Si considerino i seguenti vettori:
x1=
0 0 0 1
, x2=
0 0 1 2
, x3=
0 1 4 5
, x4=
2 3 4 5
.
Si determini se essi sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti.
Quesiti a risposta multipla
1. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C2 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.
−1 0 1 5 8
x y
(i) (1 punto) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
R0
−1f (x)dx < 5.
R0
−1f (x)dx > 5.
(ii) (1 punto) Si dica se il Teorema di Fermat `e applicabile a f |(0,2)nel punto x = 1.
Si No
(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e errata.
f (−1) = 0.
f ((1, +∞)) = (0, 8]
Df = [−1, +∞) f0(2) < 0
(iv) (1 punto) Si dica quale delle seguenti affermazioni `e corretta (attenzione al significato dei simboli!):
8 ∈ f ({1}) 8 = f ({1})
Soluzioni
Quesiti a risposta aperta 1. (a) Si ha Df = R\{1}.
(b) Non ha senso chiedersi se f `e pari o dispari, poich´e il dominio non `e simmetrico.
(c) Il segno di f `e il seguente:
Valori di x x ∈ (−∞, −3) x = −3 x ∈ (−3, 1) x ∈ (1, 3) x = 3 x ∈ (3, +∞)
Segno di f (x) − 0 + − 0 +
(d) Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha
x→+∞lim f (x) = +∞, lim
x→−∞f (x) = −∞.
lim
x→1−
f (x) = −1
0− = +∞, lim
x→1+
f (x) = −1
0+ = −∞.
Dunque non ci sono asintoti orizzontali, mentre `e presente un asintoto verticale di equazione x = 1.
(e) Si ha
f0(x) = 2x(x − 1) − (x2− 9)
(x − 1)2 = x2− 2x + 9 (x − 1)2 .
Il numeratore non ha radici reali quindi `e sempre positivo su Df, mentre il denominatore
`
e chiaramente positivo su Df. Ne deduciamo il segno di f0:
Valori di x x ∈ (−∞, 1) x ∈ (1, +∞)
Segno di f0(x) + +
Ne deduciamo che f `e strettamente crescente su sugli intervalli (−∞, 1) e (1, +∞).
(f) Si ha
f00(x) = (2x − 2)(x − 1)2− 2(x2− 2x + 9)(x − 1)
(x − 1)4 = −16
(x − 1)3. Ne deduciamo il segno di f00:
Valori di x x ∈ (−∞, 1) x ∈ (1, +∞)
Segno di f00(x) + −
Ne deduciamo che f `e strettamente convessa in (−∞, 0) e strettamente concava in (0, +∞).
In x = 0 si ha un flesso.
Il grafico approssimativo `e il seguente.
−3 1 3
9
x f (x)
2. (i) Il grafico `e il seguente:
1 1
x f (x)
(ii) Per x = −1 e per ogni x ∈ [1, +∞).
(iii) f ([1, +∞) = {1}.
3. Il dominio naturale `e Df = R. Su tale dominio f si riscrive come f (x) = (1 − x2)(ex)−x2= (1 − x2)e−x3. Si ha dunque:
f0(x) = −2xe−x3+ (1 − x2)e−x3(−3x2) = e−x3(−2x − 3x2+ 3x4).
4. Si ha f (x) =√
−x2. Ne consegue che il dominio naturale `e Df = {0}. SI ha f (0) = 0, quindi il grafico `e costituito da un unico punto: l’origine del piano cartesiano.
5. La matrice costruita ponendo come colonne i vettori x4, x3, x2, x1 (in quest’ordine) `e
A =
2 0 0 0
3 1 0 0
4 4 1 0
5 5 2 1
.
Essa `e una matrice quadrata di R4×4 in forma triangolare inferiore. Pertanto il suo determi- nante `e uguale al prodotto degli elementi della diagonale principale: det(A) = 2 · 1 · 1 · 1 = 2.
Poich´e esso `e diverso da 0, se ne deduce che i vettori assegnati sono linearmente indipendenti.
Quesiti a risposta chiusa 1. (i) R0
−1f (x)dx < 5.
(ii) Si.
(iii) f ((1, +∞)) = (0, 8].
(iv) 8 ∈ f ({1}).
