Esame di Matematica Generale (Fila A)
Docente: S. Federico (matricole 50-74) 3 Settembre 2019
Nome: Cognome: Matricola:
Descrizione della prova
• La seguente prova scritta `e costituita da quesiti a risposta multipla e quesiti a risposta aperta.
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti a risposta aperta lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta aperta
1. (10 punti) Si tracci al meglio il grafico della funzione reale
f (x) = x2− 4 x2− 1. 2. (3 punti) Si calcoli
n→∞lim e−n2 n2+ 1. 3. (5 punti) Siano
A = [0, 1), B = {1}, C = (2, +∞).
Si determinino:
sup B, inf B, sup(A ∪ B), inf(A ∪ B), sup(B ∪ C), inf(B ∪ C).
Si dica inoltre se essi sono anche massimi/minimi.
Quesiti a risposta multipla
1. (3 punti) Siano A ∈ Rn×m, B ∈ Rm×k, C ∈ Rk×h. Si considerino le seguenti operazioni:
(AB)C, A(BC)
Quale `e ben definita?
Solo la prima Solo la seconda Nessuna Entrambe
2. (3 punti) Si consideri la successione ak= 1
k1/2. La serieP∞
k=1(−1)kak
Converge Diverge `E irregolare
Nessuna delle precedenti risposte `e corretta
3. (1 punto) Si stabilisca se la seguente proposizione `e vera o falsa:
“Se f : R → R `e limitata dal basso, allora esiste min
R
f .”
Vera Falsa
4. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C2 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.
(i) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e errata.
Df = R
L’immagine di f `e R
f |[0,+∞)`e strettamente crescente.
f |(−1,1)`e concava.
(ii) (1 punto) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
R2
1 f (x)dx > 1 R2
1 f (x)dx < 1
(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e errata.
f00(1) = 0 f00(0) = 0 sup[−1,0]f = 0 inf[−1,0]f < 0
Soluzioni
Quesiti a risposta aperta
1. (a) Si ha Df = {x ∈ R : x 6= ±1} = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞).
(b) Si ha f (−x) = f (x) per ogni x ∈ Df: la funzone `e pari ed il grafico simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
(c) Il segno di f `e il seguente:
Valori di x x ∈ (−∞, −2) x = −2 x ∈ (−2, −1) x ∈ (−1, 1) x ∈ (1, 2) x = 2 x ∈ (2, +∞)
Segno di f (x) + 0 − + − 0 +
(d) Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha
x→±∞lim f (x) = lim
x→±∞
x2− 4
x2− 1 = lim
x→±∞
x2 1 −x42
x2 1 −x12
= lim
x→±∞
1 − x42
1 − x12
= 1 − 0 1 − 0 = 1;
lim
x→−1±
f (x) = lim
x→−1±
x2− 4
x2− 1 = lim
x→−1±
−3
0∓ = ±∞.
lim
x→1±f (x) = lim
x→1±
x2− 4 x2− 1 = lim
x→1±
−3
0± = ∓∞.
(e) Si ha
f0(x) = 2x(x2− 1) − 2x(x2− 4)
(x2− 1)2 = 6x (x2− 1)2. Ne deduciamo il segno di f0:
Valori di x x ∈ (−∞, −1) x ∈ (−1, 0) x = 0 x ∈ (0, 1) x ∈ (1, +∞)
Segno di f0(x) − − 0 + +
Ne deduciamo che f `e strettamente decrescente negli intervalli (−∞, −1) e (−1, 0), stret- tamente crescente negli intervalli (0, 1) e (1, +∞), ed ha un minimo locale in x = 0.
(f) Si ha
f00(x) = 6(x2− 1)2− 6x · 2(x2− 1)2x
(x2− 1)4 = −6(3x2+ 1) (x2− 1)3 . Ne deduciamo il segno di f00:
Valori di x x ∈ (−∞, −1) x ∈ (−1, 1) x ∈ (1, +∞)
Segno di f00(x) − + −
Ne deduciamo che f `e strettamente concava negli intervalli (−∞, −1) e (1, +∞); stretta- mente convessa nell’intervallo (−1, 1); non ha un flessi.
Il grafico approssimativo `e il seguente.
2. Si ha
n→∞lim e−n2 n2+ 1 = 0
+∞= 0.
3. Si ha
sup B = 1, inf B = 1, sup(A ∪ B) = 1, inf(A ∪ B) = 0, sup(B ∪ C) = +∞, inf(B ∪ C) = 1.
Solo sup(B ∪ C) non `e un massimo.
Quesiti a risposta multipla 1. Entrambe.
2. Converge per il criterio di Leibniz.
3. Falsa. Controesempio: f (x) = 1+x12. 4. (i) f |(−1,1) `e concava
(ii) R2
1 f (x)dx > 1 (iii) sup[−1,1]f = 0
