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PROVA SCRITTA (a.a. 2017/18) (esempio campione)

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Academic year: 2021

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Testo completo

(1)

PROVA SCRITTA (a.a. 2017/18) (esempio campione)

Descrizione della prova

• La seguente prova scritta `e costituita da 5 quesiti a risposta multipla e da 2 quesiti a risposta aperta.

• Nei quesiti a risposta multipla:

– una ed una sola risposta `e corretta;

– la risposta non data assegna 0 punti;

– la risposta errata assegna −1 punti;

– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.

• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 18 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate) `e di −8 punti.

• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 14 punti.

• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.

• Nello svolgimento dei quesiti a risposta aperta lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.

Quesiti a risposta multipla

1. (3 punti) Si consideri l’insieme A :=1

x: x ∈ (0, 1] . Si determini quale delle seguenti affermazioni `e corretta.

inf A = 0.

sup A = +∞.

2 `e un maggiorante per A.

Nessuna delle precedenti affermazioni `e corretta.

2. (3 punti) Si stabilisca quale dei seguenti risultati `e corretto.

limn→∞

n2+1

n+1 = 1.

limn→∞

n2+1 n+1 = 1.

limn→∞

n2+1 n+1 = 0.

Nessuno dei precedenti risultati `e corretto.

3. (3 punti) Si consideri la funzione f (x) = x3− x sul suo dominio naturale. Si dica quale delle seguenti affermazioni `e corretta.

f `e strettamente convessa nell’intervallo (0, +∞).

f `e crescente nell’intervallo (0, +∞).

f `e positiva nell’intervallo (0, +∞).

Nessuna delle precedenti risposte `e corretta.

4. (3 punti) Si consideri la funzione F (x) =Rx

0 et2cos t dt sul dominio Df = [0, π/2]. Si stabilisca quali delle seguenti affermazioni `e corretta.

F `e crescente su Df. F (0) = 1.

F (π/2) = 0.

Nessuna delle precedenti risposte `e corretta.

(2)

5. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso e si supponga che essa sia di classe C1 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.

Si risponda alle seguenti domande.

(i) (3 punti) Il minimo di f su Df `e 2

−2 Non esiste.

Nessuna delle precedenti risposte `e corretta

(ii) (1 punto) `E vero che esistono due valori x1, x2∈ Df tali che f (x1) = f (x2) = 2?

Si No

(iii) (1 punto) `E vero che esiste f+0(2) ed `e uguale a 0?

Si No

(iv) (1 punto) `E vero che esiste x0∈ R tale che f0(x0) = 0?

Si No Quesiti a risposta aperta

1. Si consideri la funzione reale f (x) = x2x−9.

(i) (6 punti) Si tracci al meglio il grafico di f considerata sul suo dominio naturale.

(ii) (2 punti) Si calcoliR+∞

4 f (x)dx.

(iii) (1 punto) Si stabilisca, senza effettuare calcoli, qual `e il valore di limb→3Rb

−bf (x)dx.

(iv) (1 punto) Sia L ∈ Ril valore stabilito al punto precedente. `E corretto dire che esiste l’integrale generalizzatoR3

−3f (x)dx e che esso `e uguale a L?

2. (4 punti) Si stabilisca se i seguenti vettori di R3 sono linearmente dipendenti o linear- mente indipendenti:

x1=

 3 0 1

, x2=

 1 2 4

 x3=

 1 3 0

.

(3)

Soluzioni

Quesiti a risposta multipla 1. sup A = +∞.

2. limn→∞

n2+1 n+1 = 1.

3. f `e strettamente convessa nell’intervallo (0, +∞).

4. F `e crescente su Df. 5. (i) −2.

(ii) Si.

(iii) No.

(iv) Si.

Quesiti a risposta aperta

1. (i) i. Si ha Df= (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, +∞).

ii. f (−x) = (−x)−x2−9 = −x2x−9 = −f (x). Se ne deduce che f `e dispari.

iii. Il segno di f `e il seguente:

Valori di x x ∈ (−∞, −3) x ∈ (−3, 0) x = 0 x ∈ (0, 3) x ∈ (3, +∞)

Segno di f (x) + 0 +

iv. Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha

x→+∞lim f (x) = lim

x→−∞f (x) = 0, lim

x→−3

f (x) = lim

x→3

= −∞, lim

x→−3+

f (x) = lim

x→3+

= +∞.

v. Si ha

f0(x) = 1 · (x2− 9) − x(2x)

(x2− 9)2 = −x2− 9 (x2− 9)2. Ne deduciamo il segno di f0:

Valori di x x ∈ (−∞, −3) x ∈ (−3, 3) x ∈ (3, +∞)

Segno di f0(x)

Ne deducamo che f ´e strettamente decrescente negli intervalli in cui `e definita.

vi. Si ha

f00(x) = −2x(x2− 9)2− (−x2− 9)2(x2− 9)(2x) (x2− 9)4

= −2x(x2− 9) − (−x2− 9)2(2x) (x2− 9)3

= −2x3+ 18x + 4x3+ 36x (x2− 9)3

= 2x3+ 54x (x2− 9)3. Il segno di f00`e il seguente.

Valori di x x ∈ (−∞, −3) x ∈ (−3, 0) x = 0 x ∈ (0, 3) x ∈ (3, +∞)

Segno di f00(x) + 0 +

(4)

Ne deduciamo che f ha un flesso in x = 0, `e strettamente con- vessa negli intervalli (−3, 0) e (3, +∞), strettamente concava negli intervalli (−∞, −3) e (0, 3).

Il grafico approssimativo `e il seguente.

−3 3

(ii) Utulizzando la sostituzione y = x2− 9 si ottiene Z +∞

4

x

x2− 9dx := lim

b→+∞

Z b 4

x

x2− 9dx = lim

b→+∞

1 2

Z b2−9 7

1 ydy

= lim

b→+∞

1

2[log y]b72−9 = +∞.

(iii) Poich´e f `e dispari, si haRb

−b x

x2−9dx = 0 per ogni b ∈ (0, 3). Ne consegue che il limite richiesto esiste ed `e uguale a 0.

(iv) No. Svolgendo i calcoli come nel punto (ii) si ottiene:

Z 3 0

x

x2− 9dx = −∞, Z 0

−3

x

x2− 9dx = +∞.

L’operazione (−∞) + (+∞) non `e definita in R, quindi l’integrale gen- eralizzatoR3

−3 x

x2−9dx non `e definito.

2. Costruiamo la matrice che ha come colonne i vettori assegnati:

A =

3 1 1 0 2 3 1 4 0

.

I vettori x1, x2, x3 sono linearmente indipendenti se e solo se det(A) 6= 0.

Sviluppando il calcolo del determinante sulla seconda riga si ottiene

det(A) = (−1)2+1· 0 · (...) + (−1)2+2· 2 · det

 3 1 1 0



+ (−1)2+3· 3 · det

 3 1 1 4



= 2 · (−1) + (−1) · 3 · 11 6= 0.

Se ne deduce che i tre vettori assegnati sono linearmente indipendenti.

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