PROVA SCRITTA (a.a. 2017/18) (esempio campione)
Descrizione della prova
• La seguente prova scritta `e costituita da 5 quesiti a risposta multipla e da 2 quesiti a risposta aperta.
• Nei quesiti a risposta multipla:
– una ed una sola risposta `e corretta;
– la risposta non data assegna 0 punti;
– la risposta errata assegna −1 punti;
– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 18 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate) `e di −8 punti.
• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 14 punti.
• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.
• Nello svolgimento dei quesiti a risposta aperta lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.
Quesiti a risposta multipla
1. (3 punti) Si consideri l’insieme A :=1
x: x ∈ (0, 1] . Si determini quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
inf A = 0.
sup A = +∞.
2 `e un maggiorante per A.
Nessuna delle precedenti affermazioni `e corretta.
2. (3 punti) Si stabilisca quale dei seguenti risultati `e corretto.
limn→∞
√
n2+1
√
n+1 = 1.
limn→∞
√
n2+1 n+1 = 1.
limn→∞
√
n2+1 n+1 = 0.
Nessuno dei precedenti risultati `e corretto.
3. (3 punti) Si consideri la funzione f (x) = x3− x sul suo dominio naturale. Si dica quale delle seguenti affermazioni `e corretta.
f `e strettamente convessa nell’intervallo (0, +∞).
f `e crescente nell’intervallo (0, +∞).
f `e positiva nell’intervallo (0, +∞).
Nessuna delle precedenti risposte `e corretta.
4. (3 punti) Si consideri la funzione F (x) =Rx
0 et2cos t dt sul dominio Df = [0, π/2]. Si stabilisca quali delle seguenti affermazioni `e corretta.
F `e crescente su Df. F (0) = 1.
F (π/2) = 0.
Nessuna delle precedenti risposte `e corretta.
5. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso e si supponga che essa sia di classe C1 negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.
Si risponda alle seguenti domande.
(i) (3 punti) Il minimo di f su Df `e 2
−2 Non esiste.
Nessuna delle precedenti risposte `e corretta
(ii) (1 punto) `E vero che esistono due valori x1, x2∈ Df tali che f (x1) = f (x2) = 2?
Si No
(iii) (1 punto) `E vero che esiste f+0(2) ed `e uguale a 0?
Si No
(iv) (1 punto) `E vero che esiste x0∈ R tale che f0(x0) = 0?
Si No Quesiti a risposta aperta
1. Si consideri la funzione reale f (x) = x2x−9.
(i) (6 punti) Si tracci al meglio il grafico di f considerata sul suo dominio naturale.
(ii) (2 punti) Si calcoliR+∞
4 f (x)dx.
(iii) (1 punto) Si stabilisca, senza effettuare calcoli, qual `e il valore di limb→3−Rb
−bf (x)dx.
(iv) (1 punto) Sia L ∈ R∗il valore stabilito al punto precedente. `E corretto dire che esiste l’integrale generalizzatoR3
−3f (x)dx e che esso `e uguale a L?
2. (4 punti) Si stabilisca se i seguenti vettori di R3 sono linearmente dipendenti o linear- mente indipendenti:
x1=
3 0 1
, x2=
1 2 4
x3=
1 3 0
.
Soluzioni
Quesiti a risposta multipla 1. sup A = +∞.
2. limn→∞
√n2+1 n+1 = 1.
3. f `e strettamente convessa nell’intervallo (0, +∞).
4. F `e crescente su Df. 5. (i) −2.
(ii) Si.
(iii) No.
(iv) Si.
Quesiti a risposta aperta
1. (i) i. Si ha Df= (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, +∞).
ii. f (−x) = (−x)−x2−9 = −x2x−9 = −f (x). Se ne deduce che f `e dispari.
iii. Il segno di f `e il seguente:
Valori di x x ∈ (−∞, −3) x ∈ (−3, 0) x = 0 x ∈ (0, 3) x ∈ (3, +∞)
Segno di f (x) − + 0 − +
iv. Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha
x→+∞lim f (x) = lim
x→−∞f (x) = 0, lim
x→−3−
f (x) = lim
x→3−
= −∞, lim
x→−3+
f (x) = lim
x→3+
= +∞.
v. Si ha
f0(x) = 1 · (x2− 9) − x(2x)
(x2− 9)2 = −x2− 9 (x2− 9)2. Ne deduciamo il segno di f0:
Valori di x x ∈ (−∞, −3) x ∈ (−3, 3) x ∈ (3, +∞)
Segno di f0(x) − − −
Ne deducamo che f ´e strettamente decrescente negli intervalli in cui `e definita.
vi. Si ha
f00(x) = −2x(x2− 9)2− (−x2− 9)2(x2− 9)(2x) (x2− 9)4
= −2x(x2− 9) − (−x2− 9)2(2x) (x2− 9)3
= −2x3+ 18x + 4x3+ 36x (x2− 9)3
= 2x3+ 54x (x2− 9)3. Il segno di f00`e il seguente.
Valori di x x ∈ (−∞, −3) x ∈ (−3, 0) x = 0 x ∈ (0, 3) x ∈ (3, +∞)
Segno di f00(x) − + 0 − +
Ne deduciamo che f ha un flesso in x = 0, `e strettamente con- vessa negli intervalli (−3, 0) e (3, +∞), strettamente concava negli intervalli (−∞, −3) e (0, 3).
Il grafico approssimativo `e il seguente.
−3 3
(ii) Utulizzando la sostituzione y = x2− 9 si ottiene Z +∞
4
x
x2− 9dx := lim
b→+∞
Z b 4
x
x2− 9dx = lim
b→+∞
1 2
Z b2−9 7
1 ydy
= lim
b→+∞
1
2[log y]b72−9 = +∞.
(iii) Poich´e f `e dispari, si haRb
−b x
x2−9dx = 0 per ogni b ∈ (0, 3). Ne consegue che il limite richiesto esiste ed `e uguale a 0.
(iv) No. Svolgendo i calcoli come nel punto (ii) si ottiene:
Z 3 0
x
x2− 9dx = −∞, Z 0
−3
x
x2− 9dx = +∞.
L’operazione (−∞) + (+∞) non `e definita in R∗, quindi l’integrale gen- eralizzatoR3
−3 x
x2−9dx non `e definito.
2. Costruiamo la matrice che ha come colonne i vettori assegnati:
A =
3 1 1 0 2 3 1 4 0
.
I vettori x1, x2, x3 sono linearmente indipendenti se e solo se det(A) 6= 0.
Sviluppando il calcolo del determinante sulla seconda riga si ottiene
det(A) = (−1)2+1· 0 · (...) + (−1)2+2· 2 · det
3 1 1 0
+ (−1)2+3· 3 · det
3 1 1 4
= 2 · (−1) + (−1) · 3 · 11 6= 0.
Se ne deduce che i tre vettori assegnati sono linearmente indipendenti.