x2+ xy `e definita positiva 2 2 Esiste min{x2− y4 : x4+ y4 ≤ 7} 2 2 L’integrale improprio di x−10 in [0, 4] converge 2 2 L’equazione differenziale u0(t

Pisa, 13 Gennaio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Il vettore (4, 1, 3) ed il vettore (1, 5, 0) hanno la stessa norma 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : 0 < x < 1, 2x < y < 200x} `e limitato 2 2 La funzione f (x, y) = e<sup>xy</sup> non ha punti stazionari 2 2 La forma quadratica q(x, y) = x<sup>2</sup>+ xy `e definita positiva 2 2

Esiste min{x²− y⁴ : x⁴+ y⁴ ≤ 7} 2 2

L’integrale improprio di x⁻¹⁰ in [0, 4] converge 2 2 L’equazione differenziale u⁰(t) = sin(u²(t)) `e autonoma 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u<sup>00</sup>− 2u<sup>0</sup>+ u = 0 `e u(t) = ae^t+ b 2 2 u⁰⁰+ u = 0, u(0) = 1, u⁰(1) = 1 `e un problema di Cauchy 2 2 L’integrale di xy su {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : x<sup>2</sup>+ y<sup>2</sup> ≤ 1, y ≥ 0} `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = e^xy+ y⁷sin y. Allora f_x(2, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 3 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₃(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ 3x}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ |x|}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

|x| dx dy = . . . .

Z

B

3 dx dy = . . . .

sup



α ∈ R : Z

x²+y²≤1

dx dy

(x²+ y²)^α converge



= . . . .

max{xy : x ∈ [1, 2], y ∈ [1, 3]} = . . . .

Pisa, 28 Gennaio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

L’origine sta all’interno della sfera con centro in (1, 2, 3) e raggio 4 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R² : x ≥ 0, y ≥ 0, xy ≤ 1} `e limitato 2 2 La funzione f (x, y) = x<sup>3</sup>+ y<sup>2</sup>− x ha esattamente due punti stazionari 2 2 La funzione f (x, y) = x<sup>2</sup>+ y<sup>4</sup> `e convessa in tutto R² 2 2

Esiste min{x² − y⁴ : x⁴ + y⁴ ≥ 7} 2 2

L’integrale improprio di x⁻¹⁰ in [4, +∞[ converge 2 2

L’equazione differenziale u⁰⁰+ tu⁰+ t²u = 0 `e lineare e omogenea 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u<sup>00</sup>+ u = 0 `e u(t) = ae^t+ be^−t 2 2

Se u⁰ = arctan(u − 7) e u(0) = 7, allora u(7) = 7 2 2

L’integrale di |xy| su {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0} `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = arctan(2xy²). Allora f_xx(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 3 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₃(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x⁶}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 2, y ≥ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

1 dx dy = . . . .

Z

B

y dx dy = . . . .

sup



α ∈ R : Z

[0,1]×[0,1]

dx dy

√x · y^2α converge



= . . . .

min{xy : x ∈ [1, 2], y ∈ [2, 3]} = . . . .

Pisa, 11 Febbraio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Il vettore (1, 2, 3, 4) `e perpendicolare al vettore (4, 3, 2, 1) 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 27} `e un triangolo 2 2 La funzione f (x, y) = (x + y)³ ha infiniti punti stazionari 2 2

3x²+ 5xy + y² ≥ 0 per ogni (x, y) ∈ R² 2 2

inf{x⁴− y² : x⁴+ y⁴ ≥ 7} = −∞ 2 2

L’integrale improprio di x⁻¹⁰ in [0, 5] diverge a +∞ 2 2 L’equazione differenziale u⁰⁰+ tu⁰+ t²u = t³ non `e lineare 2 2 u(t) = te<sup>t</sup> `e una soluzione dell’equazione differenziale u⁰⁰− 2u⁰+ u = 0 2 2 L’equazione differenziale u⁰ = sin u non ha soluzioni costanti 2 2 L’integrale di x²y su {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0} `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = e^x+3y. Allora f_xy(0, 1) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₁(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 2], y ∈ [0, 1]}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

e^ydx dy = . . . .

Z

B

3|x| dx dy = . . . .

Z

R²

|y|

1 + x²+ y² dx dy = . . . . min{x⁴ + y⁶+ 55 : (x, y) ∈ R²} = . . . .

Pisa, 3 Giugno 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Il vettore (1, 0, 2) ha norma √

5 2 2

L’insieme {(x, y) ∈ R² : 2x²+ 3y² ≤ 4} contiene il punto (1, 1) 2 2 Se f (x, y) = 3x²+ y, allora ∇f (3, 2) = (18, 1) 2 2

x²+ y²− xy ≥ 0 per ogni (x, y) ∈ R² 2 2

(0, 0) `e un punto di minimo locale per f (x, y) = x<sup>4</sup>− x<sup>2</sup>− y<sup>2</sup> 2 2 L’integrale improprio di e<sup>−x2</sup> su tutto R converge 2 2 L’equazione differenziale u<sup>00</sup>+ u<sup>0</sup> + u + 1 = 0 `e lineare e omogenea 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u⁰⁰− 4u = 0 `e u(t) = ae²+ be⁻² 2 2

Se u⁰ = t²u³ e u(1) = 2, allora u⁰(1) = 8 2 2

L’integrale di xy² su {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≤ 0} `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = log(1 + 3x²+ y²). Allora f_xy(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 3 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₃(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], y ∈ [0, 1]}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 2}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

(x + y) dx dy = . . . .

Z

B

(x − y) dx dy = . . . .

Z

[0,1]×[0,1]

√x

ydx dy = . . . .

min{y − x : x ∈ [0, 2], y ∈ [0, 1]} = . . . .

Pisa, 24 Giugno 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

Il prodotto scalare tra (1, −2, 1) e (2, 3, 3) `e positivo 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : arctan x ≤ y ≤ 1} `e limitato 2 2 Il gradiente di f (x, y) = e^x+y2 non si annulla mai 2 2

inf{x²+ xy : (x, y) ∈ R²} = −∞ 2 2

(0, 0) `e un punto di minimo locale per f (x, y) = e<sup>xy</sup> 2 2 L’integrale improprio di e<sup>−x</sup> in [−5, +∞[ converge 2 2 u<sup>00</sup> = tu, u(0) = u(7) = 0 `e un problema di Cauchy 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u⁰⁰ = 0 `e u(t) = at + b 2 2 L’equazione differenziale u<sup>00</sup>+ u<sup>0</sup>+ u + 1 = 0 `e autonoma 2 2 L’integrale di y sul triangolo con vertici in (0, 1), (−1, 0), (1, 0) `e 0 2 2

• Sia f (x, y) =√

5 + sin(x + 2y). Allora f_y(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 2 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₂(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x ∈ [0, 1], x² ≤ y ≤ x}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 2}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

3 dx dy = . . . .

Z

B

(1 + x) dx dy = . . . .

Z

[0,1]×[0,1]

√x

y dx dy = . . . .

min{x²+ y² : (x, y) ∈ [−1, 1] × [−2, 2]} = . . . .

Pisa, 22 Luglio 2006

• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:

Proposizione Vera Falsa

La distanza tra i vettori (2, 2, 2, 2) e (1, 1, 1, 1) `e 2 2 2 L’insieme {(x, y) ∈ R<sup>2</sup> : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 27} `e limitato 2 2 La funzione f (x, y) = x⁴+ y²− x² ha esattamente due punti stazionari 2 2 La forma quadratica q(x, y) = −2x²− y² + 3xy `e definita negativa 2 2

Esiste min{arctan(x + e^y) : x ≥ 0, y ≥ 0} 2 2

L’integrale improprio di (x⁴ + 4)⁻⁴ su tutto R converge 2 2 L’equazione diff. u⁰+ tu = t pu`o essere scritta a variabili separabili 2 2 La soluz. generale dell’eq. diff. u<sup>00</sup>+ 4u<sup>0</sup> = 0 `e u(t) = a cos(2t) + b sin(2t) 2 2 La soluzione del problema di Cauchy u⁰ = arctan²u, u(0) = 1 `e crescente 2 2 L’integrale di x sul triangolo con vertici in (0, 1), (−1, 0), (1, 0) `e 0 2 2

• Sia f (x, y) = cos(x + 2y). Allora f_yy(0, 0) = . . . .

Il polinomio di Taylor di ordine 1 di f (x, y) con centro (0, 0) `e P₁(x, y) = . . . .

• Siano

A = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≤ 0}, B = {(x, y) ∈ R² : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0}.

Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):

Z

A

x²dx dy = . . . .

Z

B

x dx dy = . . . .

sup



α ∈ R : Z

x²+y²≤1

y⁸

(x²+ y²)^α dx dy converge



= . . . .

min{5 cos(xy) : (x, y) ∈ R²} = . . . .