x2+ 5x + 6 x2+ 3x + 2≤ 0

Esercizi

Equazioni e disequazioni (a) Polinomiali e razionali:

(x⁴− 1)(2 − x) > 0; x²+ 5x + 6

x²+ 3x + 2≤ 0; 2x + 5 3x − 1> 4 (b) Con valore assoluto:

x²+ 2|x + 1| − 1 = 0; x + |x + 1| < 0 (c) Logaritmiche e esponenziali:

ln(x²− 3x + 3) = 0; log1

5(x²+ 1) > −1; e^x−x2< 0; 2^x2−2x+1> 1.

Limiti

(a) Confronti tra inniti:

x→+∞lim

x¹⁰⁰+ 3^x

x²⁰⁰− 3^x; lim

x→+∞

x²+ ln x

4 + e^x ; lim

x→−∞

x²(1 + 3x) − x x + 5 − 4x³− 3x²; (b) Limiti notevoli:

x→0lim

e^2x2− 1

3x² ; lim

x→0

ln(2x²+ 1)

3x ; lim

x→1

ln(x²− 2x + 2) (x − 1)² ; (c) Limiti vari:

lim

x→0⁺

3^1/x; lim

x→0⁻

3^1/x; lim

x→+∞ln x²+ x x²− 3x; lim

x→1

 2 + 1

x

^3x

; lim

x→+∞

 4 5

^x

+ x

x + 1 Derivate

(a) Calcolare la derivata di:

f (x) = sin x²− 1 x²+ 1



; f (x) = (e^−x4+ 1)⁸; f (x) =p

log(tan(x))

(b) Determinare l'equazione della retta tangente nel punto indicato:

f (x) = x²(e^x− ln(1 + x)) in x0= 0; f (x) = log₂(x²− 2) in x0= 2;

(c) Calcolare i seguenti limiti usando il teorema di De L'Hopital (vericando prima l'applicabilità):

x→1lim

√x + 1 −√ 2

x²− 1 ; lim

x→0

sin(x²) + 1 − cos x

x² ; lim

x→+∞

3x + ln x

2 + x ; lim

x→^π₄

sin x − cos x π − 4x ; Studi di funzione

(a) Determinare il dominio e eventuali simmetrie delle funzioni:

ln(1 − x²)

x ; x³− 3x

(x²− 4)(x²+ 4); √

1 − x +√

1 + x; p

ln(2 − x) − ln(1 + x);

(b) Determinare il dominio delle funzioni date e delle loro composizioni f(g(x)), g(f(x)):

f (x) = 2x²− x − 1, g(x) = x − 2√

x; f (x) = ln(x − 1), g(x) =√ 1 + x;

(c) Determinare massimi e minimi assoluti nel dominio indicato:

f (x) = |1 − x²| in [−√ 2,√

2]; f (x) =

 |x²− 1| per x ≤ 1

ln(x) per x > 1 in [−2, 2];

(d) Studiare continuità e derivabilità di:

f (x) =

 a − x² per x ≤ 0

|x − 1| per x > 0 al variare di a; f (x) =

 1 + e^2x per x ≤ 0

ax + 2 per x > 0 per a = 1 e 2 (e) Determinare il dominio, simmetrie, eventuali asintoti, positività, crescenza e decrescenza, punti di

estremo relativo delle funzioni:

x²e^−x2; x³

x²− 4; e^x x;

(f) Determinare il dominio, simmetrie, asintoti, positività, crescenza e decrescenza, punti di estremo relativo, convessità e punti di esso delle funzioni:

xe^−x; x + 1

x − 1; x − ln x; x e^4x x + 1;

Vedere anche esercizi e slide sugli argomenti del corso all'indirizzo http://www-dimat.unipv.it/mora/galeno2014.html