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FORME INDETERMINATE
Una volta capita la definizione di limite, i limiti si devono calcolare; per farlo non è, fortunatamente, necessario applicare la definizione.
E’ importante, comunque, almeno in casi semplici, applicare la definizione per capirne praticamente il significato e la funzione di
, di
e dell’intorno che ne deriva.Consideriamo una funzione reale di variabile reale “facile”:
f(x) = x
2− 4x
il suo dominio è R; il codominio è f(x) ≥
− 4,
non presenta discontinuità.Forme indeterminate pagina 2
Se alla x diamo, ad esempio, il valore
x = 5
otteniamo perf(5)
il valore 9 e scriveremof(5)=9
;usando il concetto di limite scriveremo lim
𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) = 𝑙 lim
𝑥→5(𝑥2 − 4𝑥) = 9
Questo esempio ci dice, ancora una volta, che il calcolo del limite coincide in tutto e per tutto con il tipo di calcolo che abbiamo fatto in precedenza;
calcolare il valore della funzione f(x) = x
2− 4x quando x=5 e calcolare il lim
𝑥→5
(𝑥
2− 4𝑥) sono la stessa cosa.
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Ma il concetto di limite non è nato per essere utilizzato in situazioni “normali”;
è nato per dare un significato a operazioni che algebricamente non ne hanno, come ad esempio la divisione per zero e la divisione per valori infiniti.
Operazioni che non hanno senso algebricamente ma il cui significato è chiarissimo se si tiene presente che qualunque espressione algebrica può
essere considerata come funzione e rappresentata graficamente in un sistema di assi cartesiani. Il grafico della funzione ci dice chiaramente cosa succede.
Esempio:
la funzione
𝑓(𝑥) =
1(𝑥−3)2 non è definita per
x =3
, si ottiene infatti 𝑓(3) = 10 , una divisione per zero, operazione non definita nell’insieme dei numeri reali. Ma, dal grafico (vedi figura), si intuisce chiaramente che
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lim
𝑥→3
1
(𝑥−3)2
= ∞
e anche:1. lim
𝑥→+
1
(𝑥−3)2 = 0
2. lim
𝑥→−
1
(𝑥−3)2 = 0
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Si dice che la funzione
𝑓(𝑥) =
1(𝑥−3)2
è un infinito per x che tende a 3 e un infinitesimo per x che tende a
; siamo costretti a considerare +
e −
come numeri che però non hanno un valore preciso.
La presenza di +
e −
, al numeratore e/o al denominatore ci costringe a parlare di quantità infinitamente grandi (positive e negative) o infinitamente piccole (tendenti a zero).Considerare +
e −
alla stregua di numeri ci costringe a calcolare il valore di una funzione utilizzando delle regole particolari che potremmo definire l’algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Il problema che si pone ora, però, è che questa algebra non si limita al tipo di casi che abbiamo visto ed elencato utilizzando l’esempio precedente.Forme indeterminate pagina 7
Ci sono delle operazioni tra infiniti e infinitesimi che non hanno un significato numerico preciso, possono essere fonte di contraddizioni e alle quali non sappiamo dare risposta a priori, ma vanno risolti caso per caso.
Un esempio:
quanto vale 𝟎
𝟎 , vale
0
, vale 1, o qualcos'altro?!?! La risposta è: non c'è una risposta generale. Dipende da caso a caso!Le operazioni problematiche, chiamate forme indeterminate, tra infiniti e infinitesimi, sono quelle per la cui soluzione è stato sviluppato il concetto di limite e i relativi calcoli.
I limiti permettono di risolvere essenzialmente sette forme indeterminate
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Noi affronteremo solo alcuni casi, in particolare 𝟎
𝟎
