FORME INDETERMINATE

FORME INDETERMINATE

Nel calcolo di limiti , rappresentano

soluzioni non determinate. Esse sono:

PER “TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE”

uso procedimenti che dipendono dai vari casi

TUTORIAL DELLA PROF.SSA PAOLA BARBERIS - agg. 2014

+! " ! !

!

0 0

0 i! 1

0

!

F. RAZIONALE INTERA: Forma Ind +∞-∞

I METODO

RACCOLGO la X di grado max

x

lim

x

1 # 2

x + 1

x

# 4 x

$

% & '

( )

raccolgo x³ e,dentro la parentesi, divido i monomi per x³

IMPORTANTE : dentro la parentesi DEVO SEMPLIFICARE

E poi “ passo a l limite “ sostituendo

x

lim

x

1 # 2x

x

+ x

x

# 4 x

$

% & '

( )

= (+!)

" 1# 2

+! + 1

+! # 4

+!

$

% & '

( ) = +!" (1# 0 + 0 # 0) = +!

Il

x!+"

lim x

# 2x

+ x # 4

= + "# "+ "# 4 = +"# " Forma Indeterminata

II METODO ( VELOCE)

INFINITO DI ORDINE SUPERIORE*

x

lim

x

# 2x

+ x # 4 =

^lim

x

= (+")

= +"

* La x con esponente più alto

Es1) F. IND. +∞-∞

I METODO : RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x⁵)

Ora “passo al limite” (sostituendo) e ottengo:

x

lim

x

"8 " 2x

x

+ 7 x

$

% & '

( ) = lim

x

"8 " 2

x

+ 7 x

$

% & '

( ) =

= (!")

# !8 ! 0 + 0 ( ) = !" # (!8) = +"

x!"# lim " 8x ⁵ " 2x ² + 7 sostituisco

= + # " # + 7 = +# " #

x

lim

" 8x

" 2x

+ 7

II METODO ( VELOCE)

INFINITO DI ORDINE SUPERIORE

x lim !"# "8x ⁵ "2x ² + 7 = lim

x !"# "8x ⁵ = "8("#) ⁵ = "8("#)= +#

Es2) F. IND +∞-∞

x

lim

2x

+ 5x

+ x + 3 = +# + # " # + 3 = +# " #

I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x⁴)

x

lim

x

2 + 5

x

+ 1

x

+ 3 x

$

% & '

( ) =

semplifico

dentro la parentesi.

Ora “passo al limite” e

sostituisco -∞ al posto della x

x

lim

x

2 + 5x

x

+ x

x

+ 3 x

$

% & '

( ) =

= (!")

# 2 + 0 + 0 + 0 ( ) = +" # 2 = +"

x

lim

2x

+ 5x

+ x + 3

II METODO ( VELOCE)

INFINITO DI ORDINE SUPERIORE

x!"# lim 2x ⁴ + 5x ² + x + 3 = lim

x!"# 2x ⁴ = 2("#) ⁴ = +#

∞/∞ FUNZIONE RAZIONALE FRATTA

x

lim

x

+ 3x

# 2

x

# 7x # 4 = "

"

Il

x

lim

x³

# 1+ 3x

x³

$ 2

%

&

' (

) *

# 1$ 7x

x²

$ 4

%

&

' (

) *

= lim

x!+"

x¹

# 1+ 3

x

$ 2

%

&

' (

) * 1# 1$ 7

x

$ 4

%

&

' (

) *

= (+")

# 1+ 0 $ 0 ( )

1# 1$ 0 $ 0 ( ) ^{= +"}

REGOLA PRATICA

Se gradoNUM > gradoDEN il risultato è infinito ∞

Se gradoNUM = gradoDEN il risultato è finito l Se gradoNUM < gradoDEN il risultato è zero 0

x

lim

x

+ 3x

# 2

x

# 7x # 4 ! lim

x!+"

x

x

= lim

x!+"

x

1 = +"

I METODO:

RACCOLGO LA X DI GRADO MAX

II METODO veloce CONSIDERO

INFINITI ORDINE SUP

Es 1: FORMA IND ∞/∞

x

lim !+"

9x ² + 3x + 7

5x ² + 6x # 1 = "

"

Il

= 1 ! 9 + 0 + 0 ( )

1 ! 5 + 0 " 0 ( ) ^{= 9 5}

PASSANDO AL LIMITE

LE FRAZIONI CON DEN INFINITO TENDONO A 0

x

lim

x²

# 9 + 3x

x²

+ 7

$

% & '

( )

# 5 + 6x

x²

* 1

$

% & '

( )

= lim

x!+"

1# 9 + 3

x

+ 7

$

% & '

( ) 1 # 5 + 6

x

* 1

$

% & '

( )

I METODO:

=

RACCOLGO LA X DI GRADO MAX

II METODO:

CONSIDERO INFINITI

ORDINE SUP

lim

x

!+"

9x ² + 3x + 7

5x ² + 6x #1 ! lim

x

!+"

9x ²

5x ² = lim

x

!+"

9

5 = 9 5

GradoNUM=gradoDEN

Es 2: FORMA IND. ∞/∞

x

lim !"#

"x ³ + 4x ² + 2

3x ⁵ " 7x + 4 = #

#

Il

x

lim

x

$ "1+ 4x

x

+ 2 x

%

&'

( )*

x

$ 3 " 7x

x

+ 4 x

% &' (

)*

= lim

x!"#

1 $ "1+ 4

x + 2 x

% &' (

)*

x

$ 3 " 7

x

+ 4 x

% &' (

)*

= GRADO DEL NUMERATORE MINORE DI QUELLO DEL

DENOMINATORE

= 1 ! "1" 0 " 0 ( )

( "#)

! 3 " 0 " 0 ( ) ^{= +# "1 = 0}

I METODO:

RACCOLGO LA X DI GRADO MAGGIORE

II METODO:

CONSIDERO INFINITI ORDINE

SUPERIORE

x lim !"#

"x ³

3x ⁵ = lim

x !"#

"1

3x ² = "1

3( "#) ² = "1

+# = 0 ^"

∞/∞ METODO VELOCE

Il

x!"#

lim

2x

" 5x + 1

"2 + 8x ! lim

x!"#

2x

+8x = 2x

8 = 2( "#)

8 = "#

x

lim

4 # 7x

x

+ 2x ! lim

x!+"

#7x

x

= #7

1 = #7

x!"#

lim

6x

+ x +1

"2x

+ x " 2 ! lim

x!"#

6x

"2x

= 3

"x

! 3

"("#)

= 3

"(+#) = 0

RAPPORTO FRA INFINITI DI ORDINE SUPERIORE cioè le x di grado maggiore. Esempi:

x

lim

+4x

+ x

#1

#9x

+ 7 ! lim

x!+"

+4x

#9x

= lim

x!+"

+4

#9x = +4

#9(+") = +4

#" = 0

a)

b)

c)

d)

0/0 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA

lim

x

" 4x

+ 3x

x

" 9 = 0 0

SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE o con le regole di scomposizione (se possibile)

o con Ruffini (sempre possibile con K= valore a cui tende x ) Forma INDETERMINATA

Il

lim

x(x " 3)(x + 1)

(x + 3)(x " 3) = lim

x! 3

x(x + 1)

(x + 3) = 12

6 = 2

Otterrò sempre un FATTORE

che SI SEMPLIFICA, in questo caso (x-3),

“MANDANDO VIA” L’INDETERMINAZIONE

Es 1 - FORMA IND: 0/0

lim

x

+ 4x

+ 4 x

x

" 3x + 2 = 0 0

SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE Forma INDETERMINATA

Il

lim x !2

x(x " 2) ²

(x " 2)(x "1) = lim

x !2

x(x " 2)

(x "1) = 0

1 = 0

IL FATTORE (x-2) SI SEMPLIFICA

E “MANDA VIA” L’INDETERMINAZIONE

Es 2- FORMA IND: 0/0

lim

x

" 2x

" 32

x

" 3x " 4 = 0 0

SCOMPONGO con RUFFINI [ k=4 ] e poi semplifico (x-4)

Forma INDETERMINATA

Il

lim

(x " 4)(x

+ 2x + 8)

(x " 4)(x + 1) = lim

x!4

x

+ 2x + 8

(x + 1) = 32 5

1 -2 0 -32 K=4 4 8 +32 1 2 8 0

1 -3 -4 K=4 4 4 1 1 0

Es 3 - FORMA IND: 0/0

x

lim

x

" x

" 12

x

+ x + 34 = 0 0

SCOMPONGO con RUFFINI e poi semplifico Forma INDETERMINATA

Il

x

lim

(x + 2) (x

" 2x

+ 3x " 6)

(x + 2) (x

" 2x

+ 4x

" 8x + 17) = " 28 81

1 0 -1 0 -12 K=-2 -2 +4 -6 +12

1 -2 +3 -6 0

1 0 0 0 1 +34 K=-2 -2 4 -8 +16 -34 1 -2 4 -8 +17 0