Moto di un proiettile

Moto di un proiettile

E un moto bidimensionale, in cui le componenti x e y si evolvono ` separatamente

Lungo x non agisce alcuna forza, quindi il moto ` e rettilineo uniforme.

Equazioni del moto

La velocit` a iniziale ` e ~ v ₀ e le sue componenti sono v _0x = v ₀ cos(θ) e v 0y = v 0 sin(θ)

Le equazioni del moto lungo x sono quelle del moto rettilineo uniforme v x (t) = v 0x x (t) = x 0 + v 0x t

Le equazioni del moto lungo x sono quelle del moto uniformemente accelerato con accelerazione a = −g

v y (t) = v 0y − g t y (t) = y 0 + v 0y t − 1

2 g t ²

x ₀ e y ₀ sono le coordinate iniziali, che nel seguito considero nulle

Comportamento di velocit` a e accelerazione

L’accelerazione ` e diretta verso il basso (−y ) per tutto il moto La componente x della velocit` a ` e costante per tutto il moto, quindi uguale al suo valore iniziale

La componente y della velocit` a ` e dapprima positiva e poi, dopo il

punto di massimo, negativa

Altezza massima

Cerco l’altezza massima raggiunta dal proiettile y M

Prima del punto massimo, la componente y della velocit` a ` e positiva, dopo ` e negativa. Quindi nel punto massimo ` e nulla.

Il punto di massimo si trova quindi dall’equazione v y (t M ) = 0 che implica t _M = v _0y /g .

Da questo, sostituendo t _M al posto di t nelle equazioni per x e y , trovo i valori di x e y nel punto di massimo:

x _M = v _0x v _0y

g y _M = v _0y ²

2g

Gittata

La distanza percorsa dal proiettile prima di tornare a terra ` e la gittata Il proiettile ritorna a terra dopo un tempo t <sub>g</sub> , quindi y (t <sub>g</sub> ) = 0 Questa equazione ha due soluzioni: t <sub>g</sub> = 0 non ` e chiaramente, quella giusta, dato che corrisponde alla situazione iniziale

La soluzione giusta ` e quindi t _g = ^{2 v} _g

.

Lo spazio percorso lungo x , cio` e la gittata, vale quindi x g = 2 v 0x v 0y

g Scrivendo in coordinate angolari si vede che

x _g = 2 v ₀ ² sin(θ) cos(θ)

g = v ₀ ² sin(2θ) g

La gittata, a parit` a di velocit` a iniziale, ` e massima quando sin(2θ) = 1,