Equazioni Di erenziali

Palermo

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Equazioni Di erenziali

Tutor: Dott. Fabio F. G. Calabrese

A.A. 2008- ’09

Supervisor:

Assessor:

Indice i

Prefazione ii

1 Introduzione 1

1.1 Esempi di interesse …sico di equazioni di¤erenziali alle derivate

parziali . . . 1

2 Equazioni di¤erenziali ordinarie lineari 3 3 Equazioni di¤erenziali lineari del primo ordine 5 3.1 Equazione omogenea . . . 5

3.2 Equazione non omogenea . . . 6

3.3 Esempio: Moto di un corpo che cade in un mezzo viscoso . . . 7

3.4 Esempio: Circuito RL serie con V (t) = Vo sen !t . . . 10

3.5 Metodo dell’angolo aggiunto . . . 13

4 Equazioni di¤erenziali del secondo ordine a coe¢ cienti costanti 16 4.1 Equazione omogenea . . . 17

4.2 Equazione non omogenea . . . 18

4.3 Esempio: Oscillatore armonico smorzato . . . 18

4.3.1 Soluzione omogenea . . . 19

4.3.2 Oscillazioni con forzante F = Focos (!t + ) - Metodo degli esponenziali complessi . . . 22 5 Caduta di un corpo in un mezzo viscoso - Regime idraulico 27

Bibliogra…a 34

i

Il presente scritto consiste nelle dispense relative alla prima parte delle eserci- tazioni da me tenute, del corso di Meccanica razionale del prof. F. Bagarello.

Il corso e le esercitazioni sono stati svolte nell’anno accademico 2008-’09 agli studenti dei Corsi di studio in Ingegneria civile e Ingegneria aerospaziale dell’Università degli studi di Palermo.

Queste dispense sono la versione corretta e ampliata di quelle dell’a.a. 2007-

’08. Sono disponibili su internet all’indirizzo:

http://www.unipa.it/~bagarell/didattica/attivitadidattica.htm

Questo scritto può essere liberamente copiato e/o distribuito con gli unici vincoli che ciò sia fatto:

- senza …ni commerciali

- senza modi…che e integralmente - citando la fonte

Sarò grato per ogni commento o segnalazione di errori; essi potranno essere fatti pervenire all’indirizzo: fabio.calabrese@difter.unipa.it

Per ogni commento sul corso il referente è il titolare del medesimo, raggiun- gibile all’indirizzo: bagarell@unipa.it.

Sperando di avere fatto opera gradita, auguro al lettore uno studio fruttuoso.

Palermo, gennaio 2009

Fabio F. G. Calabrese

ii

Introduzione

Indichiamo con equazione di¤erenziale un’equazione in cui l’incognita è una funzione, presente nell’equazione con le sue derivate.

Le equazioni di¤erenziali sono dette:

ordinarie: se l’incognita è una funzione di una sola variabile, quindi sono presenti derivate ordinarie (totali).

alle derivate parziali: se l’incognita è una funzione di più variabili, quindi sono presenti derivate parziali.

Chiamiamo ordine dell’equazione di¤erenziale l’ordine massimo delle derivate presenti.

1.1 Esempi di interesse …sico di equazioni dif- ferenziali alle derivate parziali

Si de…nisce operatore laplaciano (scalare):

r²u^def= @²u

@x² +@²u

@y² + @²u

@z² (1.1)

con u = u (x; y; z) :

1. Equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico V = V (x; y; z):

r²V = 1

"_o (1.2)

con = (x; y; z)densità di carica elettrica.

1

2. Equazione scalare delle onde (meccaniche, elettromagnetiche, ecc) con ampiez- za dell’onda scalare, o della singola componente vettoriale, u = u (x; y; z; t):

r²u 1 v²

@²u

@t² = f (1.3)

dove f = f (x; y; z; t) è il termine di sorgente e v la velocità di propagazione dell’onda.

3. Equazione di conduzione del calore, per il campo di temperature T = T (x; y; z; t) all’interno di un solido omogeneo e isotropo:

ar²T @T

@t = q (1.4)

dove a è detto coe¢ ciente di di¤usione ed è caratteristico del materiale in esame e q = q (x; y; z; t) è il calore fornito dalla sorgente per unità di tempo e volume.

Equazioni di¤erenziali ordinarie lineari

Ci occuperemo da adesso soltanto delle equazioni di¤erenziali ordinarie. Più speci…camente ci limiteremo, per semplicità, alle equazioni lineari. Esse possono essere sempre messe nella forma:

h_n(x) y⁽ⁿ⁾+ h_{n 1}(x) y^{(n 1)}+ ::: + h₁(x) y⁰+ h₀(x) y = w (x) (2.1) w (x) è detto termine di inomogeneità o forzante. Ci limitiamo ulteriormente a prendere in esame il caso in cui tutte le funzioni in gioco siano funzioni reali di una variabile reale.

I punti in cui h_n(x) = 0 sono singolari, in quanto riducono l’ordine del- l’equazione; studiamo allora l’equazione in un intervallo in cui h_n(x) 6= 0.

Dividendo ambo i membri per hn(x)l’equazione può scriversi:

y⁽ⁿ⁾+ f_{n 1}(x) y^{(n 1)}+ ::: + f₁(x) y⁰+ f₀(x) y = g (x) (2.2) Se g (x) = 0 l’equazione di¤erenziale è detta omogenea:

y⁽ⁿ⁾+ f_{n 1}(x) y^{(n 1)}+ ::: + f₁(x) y⁰+ f₀(x) y = 0 (2.3) Teorema 1 Teorema di esistenza e unicità - Equazione omogenea:

Sia I un intervallo aperto e siano f0(x) ; :::; f_{n 1}(x) funzioni continue su I chiusura di I. La (2.3) ammette una e una sola soluzione y = f (x) in I che soddis… le condizioni iniziali:

f (x₀) = f₀ ; f⁰(x₀) = f₁ ; ::: ; f^{(n 1)}(x₀) = f_{n 1} (2.4) con f₀; f₁; :::; f_{n 1} numeri reali e x₀ 2 I.

3

Si noti che la soluzione è almeno di classe Cⁿ(I), infatti, essendo soluzione ammette almeno derivata n-ma e inoltre questa è continua perché può essere scritta tramite la (2.2) come somma e moltiplicazione di funzioni continue.

Si vede agevolmente che a causa della linearità dell’equazione lo spazio delle soluzioni è uno spazio vettoriale, inoltre¹ dal teorema di esistenza e unicità che tale spazio ha dimensione n. Quindi se u1(x) ; :::; un(x) sono indipendenti (nel senso dell’algebra lineare, ossia che nessuna funzione sia ottenibile come sovrap- posizione lineare delle altre funzioni) ogni soluzione dell’equazione omogenea può scriversi:

u (x) = Xn

i=1

c_iu_i(x) (2.5)

con ci costanti. Essa è la soluzione generale dell’equazione omogenea.

Il problema, quindi, è determinare le ui. Una volta determinata la soluzione generale, la soluzione speci…ca sarà ottenuta in modo unico imponendo nella (2.5) le condizioni iniziali (2.4).

In particolare per le condizioni iniziali:

f (x₀) = 0 ; f⁰(x₀) = 0 ; ::: ; f^{(n 1)}(x₀) = 0 (2.6) la (2.3) ammette sempre la soluzione banale y (x) = 0.

Teorema 2 Teorema di esistenza e unicità - Equazione non omogenea:

Sia I un intervallo aperto e siano f₀(x) ; :::; f_{n 1}(x) ; g (x) ; funzioni continue su I. Supponendo che u1(x) ; :::; un(x) siano soluzioni indipendenti della (2.3), omogenea associata alla (2.2), e che v(x) sia una soluzione particolare della non omogenea, la soluzione generale di quest’ultima può scriversi:

y (x) = Xn

i=1

c_iu_i(x) + v (x) (2.7)

per ogni x 2 I, con cⁱ 2 R.

La dimostrazione si ottiene immediatamente considerando che y v è soluzione dell’omogenea di cui conosciamo la soluzione generale.

Richiamiamo per referenza che esiste un metodo generale, il metodo della variazione dei parametri, che permette di determinare sempre una soluzione particolare della non omogenea a partire dalla soluzione generale dell’omogenea.

1Cfr. ad es. [4] p. 36.

Equazioni di¤erenziali lineari del primo ordine

Le equazioni di¤erenziali lineari del primo ordine sono dunque nella forma:

y⁰ + f (x) y = g (x) (3.1)

con omogenea associata:

y⁰+ f (x) y = 0 (3.2)

Consideriamo qui il caso in cui f (x) e g (x) siano continue in modo che siano veri…cate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità.

3.1 Equazione omogenea

L’equazione omogenea può scriversi:

dy

dx = f (x) y (3.3)

da cui per y 6= 0:

dy

y = f (x) dx (3.4)

Z y(x) y(xo)

dy y =

Z x xo

f (x⁰) dx⁰ (3.5)

de…nendo adesso:

A (x)^def= Z x

xo

f (x⁰) dx⁰ (3.6)

5

in un intervallo in cui tale integrale sia …nito, e scegliendo y (xo)^def= y_o 6= 0 si ha:

ln y (x)

y_o = A (x) (3.7)

ossia:

jy (x)j = jy^oj e ^A(x) (3.8)

dovendo inoltre essere y (xo) = y_oe y (x) continua, e visto che essa non si annulla mai, questo è equivalente a dire:

y (x) = y_oe ^A(x) (3.9)

Si noti che essendo A (xo) = 0tale soluzione e¤ettivamente ammette y (xo) = y_o; inoltre nel caso in cui y (xo) = y_o= 0 la (3.9) prevede anche la soluzione banale.

In conclusione per il teorema di esistenza e unicità la (3.9) al variare di yo in R descrive tutte e sole le soluzioni dell’equazione omogenea, in particolare non ci sono altre soluzioni con y = 0 all’infuori di quella banale.

3.2 Equazione non omogenea

Determineremo adesso la direttamente la soluzione generale della non omogenea, senza passare da una soluzione particolare.

Sia y (x) la soluzione che cerchiamo della (3.1), allora:

y⁰(x) + f (x) y (x) = g (x) (3.10) pongo:

B (x)^def= y (x) e^A(x) (3.11)

derivando e usando la (3.10) e la derivata della (3.6) si ha:

B⁰(x) = y⁰(x) e^A(x)+ y (x) A⁰(x) e^A(x)=

= [y⁰(x) + y (x) f (x)] e^A(x) = (3.12)

= g (x) e^A(x) che può essere integrata:

B (x) = B (x_o) + Z x

xo

g (t) e^A(t)dt (3.13)

e sostituendo la (3.11):

y (x) e^A(x)= y (x_o) e⁰ + Z x

xo

g (t) e^A(t)dt (3.14) In…ne ponendo y (xo) = yo si ha:

y (x) = y_oe ^A(x)+ e ^A(x) Z x

xo

g (t) e^A(t)dt (3.15) Abbiamo così ottenuto per costruzione tutte e sole le soluzioni cercate. Che tali soluzioni rispettino il teorema di esistenza e unicità, discende direttamente dall’osservazione che il primo termine del secondo membro è la soluzione generale dell’omogenea e che il secondo termine, come si può veri…care per calcolo diretto, è una soluzione particolare della non omogenea.

3.3 Esempio: Moto di un corpo che cade in un mezzo viscoso

Questo paragrafo consiste nella discussione dell’esercizio 7 di p. 105 del libro di testo [1]. In questo caso si è scelto il simbolo per indicare il coe¢ ciente di attrito viscoso (si indicherà nel paragrafo 5 con il coe¢ ciente relativo al regime idraulico), mentre col simbolo k si indicherà nei paragra… successivi la costante elastica di una molla.

Consideriamo un oggetto di massa m che si muova unidimensionalmente soggetto ad una forza agente esterna Fa(t) all’interno di un mezzo viscoso, che o¤re una resistenza proporzionale alla velocità: Fv = v.

L’equazione del moto di Newton in questo caso si scrive:

F_a(t) v = ma (3.16)

questa equazione può essere pensata come una equazione di¤erenziale lineare del primo ordine per la velocità:

_v + mv = F_a(t)

m (3.17)

Essa può essere risolta con la tecnica sopra esposta; successivamente si può integrare la velocità così trovata per determinare la posizione.

Speci…chiamo adesso la forza agente supponendo che l’oggetto pesante ven- ga lasciato immergere in un liquido viscoso partendo da fermo, sotto l’e¤etto del proprio peso. Considerando come positivo il verso delle altezze crescenti l’equazione del moto si scrive:

_v + mv = g (3.18)

e seguendo la tecnica precedentemente esposta:

A (t)^def= Z t

o mdt⁰ =

mt (3.19)

B (t)^def= ve^mt (3.20)

B⁰(t) = _ve^mt+

mve^mt= _v +

mv e^mt= ge^mt (3.21) B (t) = B (0) g

Z t o

e^mt0dt⁰ (3.22)

ve^mt= 0 m

g e^mt 1 (3.23)

v (t) = mg +mg

e ^mt (3.24)

Il signi…cato di questa descrizione è il seguente: inizialmente l’oggetto è fer- mo, la (3.18) all’istante iniziale indica che l’accelerazione iniziale è g verso il basso. Appena l’oggetto inizia a muoversi entra in gioco la forza di attrito vis- coso che cresce al crescere della velocità, la (3.24) ci dice che al passare del tempo la velocità cresce sempre di meno e tende al valore limite mg= . Il tempo caratteristico in cui ciò avviene è:

def= m

(3.25) nell’istante t = la velocità è 1 e ¹ ' 63% della velocità …nale; dopo un tempo t = 3 invece la velocità ha raggiunto il 95% della velocità …nale.

Si noti come al decrescere della viscosità o al crescere della massa crescano parallelamente sia la velocità limite che tale tempo caratteristico, non si avrà di¢ coltà a immaginare tale fenomeno.

Nel caso che avessimo considerato una velocità iniziale non nulla vo la (3.22) avrebbe dato:

ve^mt = v_o m

g e^mt 1 (3.26)

e usando la de…nizione di :

v (t) = v_oe ^t g 1 e ^t =

= g + (v_o+ g ) e ^t (3.27)

col medesimo valore limite per la velocità, cioè:

v₁^vis= g = gm

(3.28)

in…ne utilizzando questo ulteriore parametro del sistema la velocità può scriversi:

v (t) = v₁^vis+ v_o+ v₁^vis e ^t (3.29) Come si può vedere, qualunque sia la velocità iniziale, si ha v (1) = v₁^vis; se v₁^vis < v_o < 0 la velocità crescerà in valore assoluto verso tale valore, se invece v_o < v₁^vis essa decrescerà. Nel caso in cui vo > 0 si avrà v (t) > 0 …no ad un tempo et per cui v et = 0e successivamente sarà v (t) < 0. Si ricava dalla (3.29) che per v = 0:

e^et = vo+ v₁^vis

v₁^vis (3.30)

da cui:

et= ln 1 + v_o

v^vis₁ (3.31)

La distanza coperta si può adesso ottenere integrando la (3.29):

s (t) = Z t

0

h

v₁^vis+ v_o+ v^vis₁ e ^t0i dt⁰ =

= v₁^vis t + v_o+ v₁^vis h

e ^t0it

0 = (3.32)

= v₁^vis t + v_o+ v₁^vis 1 e ^t

Esempio 3 Ra¤ reddamento di un oggetto a contatto con un termostato Consideriamo il caso in cui un oggetto a temperatura T sia messo a contatto con un termostato a temperatura Tter (es. un edi…cio a contatto con l’aria o un oggetto di acciaio incandescente che viene temprato). L’equazione del calore, in questo semplice caso, può essere formulata dicendo che la temperatura del corpo

tende a quella del termostato, con una velocità proporzionale alla di¤erenza di temperatura fra oggetto e termostato:

dT (t)

dt = c (T_ter T ) (3.33)

con c > 0. Ossia:

dT (t)

dt + cT (t) = cT_ter (3.34)

Essa è formalmente identica alla (3.18) che riscriviamo:

_v + v

= g (3.35)

se facciamo corrispondere alla temperatura T la velocità v, e inoltre a:

c ! 1

(3.36)

cT_ter ! g (3.37)

da cui:

g = v₁^vis ! T^ter (3.38)

la soluzione (3.29) quindi si scrive:

T (t) = T_ter+ [T (0) T_ter] e ^ct (3.39) che indica una temperatura che si avvicina esponenzialmente alla temperatura del termostato.

3.4 Esempio: Circuito RL serie con V (t) = V

sen !t

Un circuito con generatore di tensione V = V (t), resistenza R e induttanza L posti in serie è retto dall’equazione alla maglia:

V (t) Ri Ldi

dt = 0 (3.40)

ossia:

di dt +R

Li = V (t)

L (3.41)

Si noti che anche questa equazione è formalmente identica alla (3.17) di p. 7, di un corpo immerso in un ‡uido viscoso. Alla velocità corrisponde l’intensità di corrente, alla forza la di¤erenza di potenziale, alla costante di attrito viscoso la resistenza elettrica e alla massa l’induttanza.

Se la corrispondenza fra e R appare intuitiva, essa infatti è …sicamente il fattore dissipativo (proporzionale a v $ i), è interessante notare come L rappresenti un fattore inerziale, esso si oppone, infatti, proporzionalmente alla variazione di i.

Se adesso riscriviamo la soluzione relativa a vo= 0 (3.24), tenendo conto che mg = Fa:

v (t) = F_a

1 e ^mt (3.42)

da questa analogia traiamo subito che chiudendo all’istante t = 0 l’interruttore di un circuito RL serie con generatore di tensione costante Vo, la corrente all’interno del circuito seguirà la legge:

i (t) = V_o

R 1 e ^t (3.43)

dove abbiamo posto:

= L

R (3.44)

la corrente è quindi inizialmente nulla, cresce rapidamente in principio, sempre più lentamente dopo, tendendo al valore limite i (1) = V^o=R. Per t la corrente non essendo praticamente più variabile cortocircuita l’induttanza.

Studiamo adesso il caso in cui il circuito vada soggetto a una di¤erenza di potenziale del tipo:

V (t) = V_o sen !t (3.45)

L’equazione di¤erenziale del circuito allora si scrive:

di dt + 1

i = V_o

L sen !t (3.46)

essa è nella forma della (3.10) p. 6. La de…nizione (3.6) in questo caso si scrive:

A (t)^def= Z t

0

1dt⁰ = t

(3.47) e la soluzione (3.15):

i (t) = i_oe ^t + e ^t Z t

0

V_o

L sen !t⁰ e^t0dt⁰ (3.48) Calcoliamo adesso questo integrale per parti, dalla primitiva di e^t:

Z t 0

sen !t⁰ e^t0dt⁰ =h

sen !t⁰ e^t0it 0

Z t 0

! cos !t⁰ e^t0dt⁰ (3.49)

integriamo nuovamente per parti:

Z t 0

sen !t⁰ e^t0dt⁰ = sen !t e^t ! h

cos !t⁰ e^t0it 0

+ Z t

0

! sen !t⁰ e^t0dt⁰ =

= sen !t e^t ! ² cos !t e^t 1 !^{2 2} Z t

0

sen !t⁰ e^t0(3.50)dt⁰ portando adesso l’integrale a primo membro e mettendolo in evidenza si ha:

Z t 0

sen !t⁰ e^t0dt⁰ = 1 1 + !^{2 2}

h

sen !t e^t ! ²cos !t e^t + ! ²i

(3.51) così:

i (t) = i_oe ^t +Vo

L 1 1 + !^{2 2}

h

sen !t ! ²cos !t + ! ²e ^ti

=

= i_o+ Vo

L

! ²

1 + !^{2 2} e ^t + Vo

L 1 + !^{2 2} [sen !t ! cos !t](3.52) Notiamo anche in questo caso una soluzione composta da un termine che decade esponenzialmente e uno che permane nel tempo; il primo viene indicato come transiente il secondo come soluzione stazionaria.

Disinteressiamoci adesso al transiente e, ricordando che = L=R, scriviamo:

i (t) = V_o R

1

1 + !^{2 2} [sen !t ! cos !t] (3.53) Si noti che per L ! 0 ( ! 0) troviamo:

i (t) = V_o

R sen !t (3.54)

che è correttamente la legge di Ohm. Moltiplichiamo adesso la (3.53) per R=R:

i (t) = V_o 1

R²+ !²L² [R sen !t !L cos !t] (3.55) essa per R ! 0 diventa:

i (t) = V_o

!Lcos !t (3.56)

Si noti come la corrente circolante nel circuito puramente induttivo è in ritardo di =2, infatti cos !t = sen (!t =2).

3.5 Metodo dell’angolo aggiunto

Introduciamo adesso una semplice tecnica che permette di scrivere somme di termini in seno e coseno dello stesso argomento, come la (3.55), in termini di una sola delle due funzioni trigonometriche, es. seno.

L’idea è quella di riscrivere a sen !t + b cos !t in modo da utilizzare la regola di somma:

cos sen !t + sen cos !t = sen (!t + ) (3.57) tentiamo allora ponendo:

a = c cos (3.58)

b = c sen (3.59)

in modo da avere:

a sen !t + b cos !t = c cos sen !t + c sen cos !t = (3.60)

= c sen (!t + ) (3.61)

Interpretiamo adesso quindi le (3.58) e (3.59) come un sistema di incognite c e e termini noti a e b. Il modo più semplice per risolvere il sistema consiste nel quadrare e sommare membro a membro per determinare c:

a²+ b² = c²cos² + c² sen² = c² (3.62) c = p

a²+ b² (3.63)

invece per determinare si può dividere membro a membro (3.59) e (3.58) e trovare:

c sen

c cos = tan = b

a (3.64)

se a 6= 0.

Naturalmente a = 0 corrisponde alla soluzione banale b cos !t = b sen (!t + =2) (ossia c = b, = =2). Nel caso che fosse b < 0 e volessimo c > 0 potremmo scrivere:

b cos !t = jbj cos (!t) = jbj cos (!t ) = jbj sen (!t =2) (3.65) Non ci interesseremo oltre a questo caso.

Cerchiamo adesso soluzioni che appartengano al ramo ] =2; =2 [ della tangente, ossia scegliamo:

2 < <

2 (3.66)

e quindi:

= arctan b

a (3.67)

In questo caso cos > 0 e dalla (3.58) segue che dobbiamo scegliere c concorde con a.

Con questa posizione il problema può dirsi risolto; è però spesso comodo esprimere la regola utilizzando c positivi, e questa sarà la scelta adottata d’ora in poi. Nel caso quindi che c < 0 (in quanto a < 0) si può scrivere:

c sen (!t + ) =jcj sen (!t + + ) = jcj sen (!t + ) (3.68) con:

= + (3.69)

2 < < 3

2 (3.70)

Riassumendo possiamo scrivere:

a sen !t + b cos !t = c sen (!t + ) per: c = p

a²+ b² e:

( = arctan ^b_a; se a > 0

= arctan ^b_a+ ; se a < 0

(3.71)

Si noti che la (3.68) è anche il motivo per cui la scelta di segno dicè equivalente a quella del ramo della tangente. Si sarebbe potuto alternativamente scegliere …n dal principioc > 0e determinare dalla (3.58):

( a > 0; ₂< <₂ =) arctan_a^b=

a < 0; ₂< <³₂ =) arctan_a^b= + (3.72)

Con questo metodo la soluzione stazionaria del circuito RL assume la forma:

i (t) = V_o

pR²+ !²L² sen (!t + ) (3.73)

dove:

= arctan!L

R (3.74)

Si notino le condizioni limite L = 0 =) = 0: circuito resistivo, nessuno sfasa- mento; R = 0 =) = arctan (+1) = =2: circuito puramente induttivo, sfasamento di =2 in ritardo.

Citiamo in…ne per referenza che nella teoria dei circuiti questa tecnica o quella degli esponenziali complessi che a¤ronteremo a breve, sono alla base della de…nizione di impedenza; ci disinteresseremo qui di tali sviluppi.

Equazioni di¤erenziali del secondo ordine a coe¢ cienti costanti

Per quanto concerne le equazioni di¤erenziali del secondo ordine, si deve dire che non esiste una regola generale che permetta di determinarne le soluzioni; esse vengono studiate accorpandole in famiglie dalle caratteristiche speci…che.

La famiglia più semplice che si può considerare è quella delle equazioni lineari a coe¢ cienti costanti: per questa famiglia esiste una soluzione generale in ter- mini di funzioni elementari che considereremo in questo paragrafo. Ad esempio l’oscillatore armonico, avendo equazione:

m•x = kx (4.1)

appartiene a questa categoria.

Allentando la richiesta che i coe¢ cienti siano costanti o che l’equazione sia lineare, in generale non è più possibile scrivere la soluzione in termini di funzioni elementari, così, capovolgendo la prospettiva, tali equazioni possono essere usate per de…nire funzioni di cui non esiste una espressione in termini di funzioni ele- mentari. Tali funzioni sono dette funzioni speciali e lo studio delle loro proprietà è uno dei campi tradizionali di studio dell’analisi e della …sica matematica. Casi apparentemente semplici come il pendolo, con equazione:

l• = g sen appartengono a questa più ampia famiglia.

16

Come premesso ci si interesseremo adesso al semplice caso in cui l’equazione sia lineare ed i coe¢ cienti siano costanti:

y⁰⁰+ ay⁰+ by = g (x) (4.2)

Supporremo che g (x) sia continua su R. Tale equazione ha omogenea associata:

y⁰⁰+ ay⁰+ by = 0 (4.3)

Di quest’ultima si può ottenere la soluzione generale secondo lo schema seguente:

4.1 Equazione omogenea

Si de…nisce equazione caratteristica l’equazione algebrica:

2+ a + b = 0 (4.4)

essa ha come discriminante:

= a² 4b (4.5)

1. Se = 0 si de…nisce: u1(x)^def= 1, u2(x)^def= x 2. Se > 0 si de…nisce: k = ¹₂p

; u1(x)^def= e^kx, u2(x)^def= e ^kx 3. Se < 0 si de…nisce: k = ¹₂p

; u1(x)^def= sen kx, u2(x)^def= cos kx La soluzione generale della (4.3) allora è:

y = e ^a2x[c₁u₁(x) + c₂u₂(x)] (4.6) Si noti come in ognuno dei tre casi la soluzione generale è combinazione lineare di un numero di funzioni linearmente indipendenti pari all’ordine dell’equazione di¤erenziale, cioè 2.

4.2 Equazione non omogenea

Si de…nisce wronskiano di due funzioni h1(x)e h2(x)la funzione w (x):

w (x)^def= h₁(x) h⁰₂(x) h₂(x) h⁰₁(x) (4.7) Siano h1(x)e h2(x) due funzioni de…nite da:

h₁(x)^def= e ^a2xu₁(x) (4.8) h₂(x)^def= e ^a2xu₂(x) (4.9) con u1(x) e u2(x) le funzioni de…nite per l’equazione omogenea. Si de…niscano in…ne le due funzioni 1(x)e 2(x):

1(x)^def= Z

h₂(x) g (x)

w (x)dx (4.10)

2(x)^def= Z

h₁(x) g (x)

w (x)dx (4.11)

dove g (x) è il termine di inomogeneità. Allora l’equazione non omogenea (4.2) ammette come soluzione particolare:

v (x) = ₁(x) h₁(x) + ₂(x) h₂(x) (4.12) e quindi come soluzione generale:

y = e ^a2x[c₁u₁(x) + c₂u₂(x)] + v (x) (4.13)

4.3 Esempio: Oscillatore armonico smorzato

Consideriamo un oggetto di massa m che si muova unidimensionalmente soggetto ad una forza agente esterna Fa(t)all’interno di un mezzo viscoso, che o¤re una resistenza: Fv = v. Supponiamo che il corpo sia altresì soggetto a una forza di richiamo elastica (di Hooke): Fh = kx.

L’equazione del moto di Newton in questo caso si scrive:

F_a(t) v kx = ma (4.14)

Questa può essere pensata come una equazione di¤erenziale lineare del secondo ordine per la posizione:

•

x +m _x + k

mx = F_a(t)

m (4.15)

che, ricordando che l’oscillatore armonico ammette una pulsazione naturale¹:

!_o = rk

m (4.16)

può essere riscritta:

•

x + m_x + !²_ox = F_a(t)

m (4.17)

Tale equazione può essere a¤rontata con la tecnica sopra esposta per ottenere la soluzione generale dell’omogenea.

4.3.1 Soluzione omogenea

Consideriamo per cominciare il caso in cui non sia presente una forza agente esterna e applichiamo lo schema precedentemente descritto:

=

2

m² 4!²_o (4.18)

A¤rontiamo per primo il caso in cui < 0 cioè

2

m² < 4!²_o (4.19)

de…niamo:

! = 1 2

p = 1

2 r

4!²_o

2

m² (4.20)

! = r

!²_o

2m

2

(4.21) e troviamo come soluzione:

x (t) = e ^2mt[a sen !t + b cos !t] = ce ^2mt sen (!t + ) (4.22) secondo la tecnica dell’angolo aggiunto.

Si può notare la presenza anche in questo caso di un decadimento esponen- ziale, che de…nisce un tempo proprio del sistema:

def= 2m

(4.23)

1Tale risultato è usato puramente per comodità di notazione, non è presupposto: sarà comunque ottenibile dalla soluzione generale.

ma rispetto alla (3.25) di p. 8 in assenza di forza di richiamo, questa è il doppio, indicando un fenomeno …sicamente distinto (si noti che quel caso non può essere pensato come caso limite di questo per k ! 0 perché per !²o = k=m = 0e 6= 0 si ha > 0).

Ride…niamo allora le (4.17) e (4.18):

• x + 2

_x + !²_ox = F_a(t)

m (4.24)

= 4 1

2 !²_o (4.25)

e ricapitoliamo quanto ottenuto:

Oscillazioni smorzate (smorzamento sottocritico): < 0 Per:

!_o > 1

(4.26) la soluzione è:

x (t) = ce ^t sen (!t + ) (4.27)

con:

! = r

!²_o 1

2 (4.28)

Si noti come la frequenza di oscillazione risulti comunque inferiore a quella in assenza di smorzamento. Il caso limite si ha per = 0 ) ! 1 caso in cui, come annunciato nella nota di p. 19, si trova ! = !o =p

k=m.

In questo primo caso il tempo caratteristico del decadimento è maggiore del periodo di oscillazione:

> 1

!_o = T_o

2 (4.29)

qualitativamente ciò signi…ca dire che possono avvenire delle oscillazioni prima che lo smorzamento prevalga.

La velocità è:

v (t) = c 1

e ^t sen (!t + ) + !e ^t cos (!t + ) =

= ce ^t ! cos (!t + ) 1

sen (!t + ) (4.30)

Determiniamo adesso le costanti c e a partire dalle condizioni iniziali:

x (0) = c sen ^def= x_o (4.31)

e:

v (0) = c ! cos 1

sen ^def= v_o (4.32)

da cui:

c ! cos 1

x_o= v_o (4.33)

c cos = 1

! x_o

+ v_o = 1

! (x_o+ v_o ) (4.34) da cui:

c² = c² sen² + c² cos² = x²_o+ 1

!^{2 2} (x_o+ v_o )² (4.35) e d’altro canto:

tan = c sen

c cos = ! x_o

x_o+ v_o (4.36)

Smorzamento critico: = 0 In questo caso:

!o = 1

(4.37) e la soluzione si scrive:

x (t) = (a + bt) e ^t (4.38)

Per a e b discordi vi è un cambiamento di segno per:

t_c = a

b > 0 (4.39)

Il caso dello smorzamento critico con a e b concordi è quello per cui vi è il più rapido avvicinamento alla posizione di riposo senza oscillazione; per tale motivo è la condizione utilizzata nella progettazione di vari apparati quali: chiusura automatica di porte, apparati di misura a lancetta, ecc.

La velocità è in questo caso:

v (t) = (a + bt) 1

e ^t + be ^t = 1

(b a bt) e ^t (4.40) e le condizioni iniziali si scrivono:

x (0) = a^def= x_o (4.41)

v (0) = 1

(b a) = b x_{o def}

= v_o (4.42)

e in…ne:

b = v_o+ x_o

(4.43) Smorzamento sovracritico: > 0

Nel caso restante si ha:

!o < 1

(4.44) 0 < = 1

2

p =

r 1

2 !²_o < 1

= 2m (4.45)

e la soluzione si scrive:

x (t) = e ^t ae ^t+ be ^t = ae (¹ )^t+ be (¹⁺ )^t (4.46) Si noti che:

1 > 0 (4.47)

ed entrambi gli esponenziali sono decrescenti.

Può aversi al più un cambiamento di segno.

Lasciamo come esercizio al lettore la determinazione dei parametri a e b sulla base delle condizioni iniziali.

Nel caso limite k ! 0 si ha !^o= 0, = 4= ² e:

= 1 2

p = 1

> 0 (4.48)

da cui:

x (t) = a + be ^2t = a + be ^mt (4.49) che ricostruisce l’andamento temporale aspettato.

Per veri…carlo direttamente si ponga ad esempio g = 0 nella (3.32) di p. 9 che così diventa:

s (t) = v_om

1 e ^mt + s_o (4.50)

4.3.2 Oscillazioni con forzante F = F

cos (!t + ) - Meto- do degli esponenziali complessi

L’applicazione dello schema all’equazione non omogenea:

• x + 2

_x + !²_ox = F_a(t)

m (4.51)

con forzante:

F_a(t) = F_ocos (^!t + ) (4.52) risulta di¢ coltoso perché conduce agli integrali:

1(t) = F_o m!_o

Z

sen ^!t cos !_ot e^tdt (4.53)

2(t) = F_o m!_o

Z

sen ^!t sen !_ot e^tdt (4.54) la cui soluzione oltre ad essere molto ingombrante, risulta di di¢ cile lettura.

È molto più conveniente fare l’ipotesi …sicamente evidente che la soluzione oscilli con pulsazione identica alla forzante:

x (t) = x_ocos (^!t + ) (4.55) e determinare successivamente se e per quali condizioni questo sia possibile;

d’altro canto, per il teorema di esistenza e unicità, siamo interessati alla ricerca di una soluzione particolare qualsiasi.

Prima di far ciò, per sempli…care ulteriormente i calcoli, è opportuno in- trodurre un metodo di importanza cruciale per lo studio di ogni fenomeno oscillatorio: il metodo degli esponenziali complessi.

Il punto di partenza consiste nell’individuare in ogni fenomeno oscillatorio reale la parte reale di un esponenziale complesso, utilizzando la formula di Eulero:

cos ' = Re (cos ' + i sen ') = Re e^i' (4.56) Adotteremo adesso la notazione per cui una grandezza complessa è indicata in caratteri calligra…ci.

Nel nostro caso quindi scriveremo:

F_a(t) = F_ocos (^!t + ) = Re F_oe^{i(^!t+ )} = (4.57)

= Re F_oeⁱ e^{i^!t} = Re F^oe^{i^!t} = Re [F (t)] (4.58) dove si è de…nito:

F^{o def}= F_oeⁱ (4.59)

F (t)^def= F^oe^{i^!t} (4.60) e analogamente per x.

Già a questo stadio si può osservare come la grande comodità di questo metodo consiste nel potere scrivere complicate regola di somma come:

cos (!t + ) = cos !t cos sen !t sen (4.61) nella semplice forma:

e^{i(^!t+ )} = e^{i^!t}eⁱ (4.62)

infatti:

cos (!t + ) = Re e^{i(^!t+ )} = Re e^{i^!t}eⁱ

= Re [(cos !t + i sen !t) (cos + i sen )] (4.63)

= cos !t cos sen !t sen

Ciò permette di svolgere i calcoli molto più agevolmente, posto che alla …ne si prenda la parte reale del risultato.

Esprimiamo allora la soluzione cercata in forma complessa:

X (t) = X^oe^{i^!t} (4.64)

e derivando:

X (t) = i^_ !X^oe^{i^!t} (4.65) X (t) _• X (t) = !^²X^oe^{i^!t} (4.66) L’equazione non omogenea (4.51) espressa in forma complessa allora diventa:

X +• 2 _X + !²oX = F (t)

m (4.67)

^

!²X^oe^{i^!t}+2

i^!X^oe^{i^!t}+ !_o²X^oe^{i^!t} = F^o

me^{i^!t} (4.68) da cui:

!²_o !^²+ 2i!^

X^o = F^o

m (4.69)

X^o= F^o=m

!²_o !^²+ 2i^{!^} (4.70)

Il denominatore è nella forma cartesiana a + ib, è può essere riscritto nella forma polare eⁱ con:

= s

!²_o !^^{2 2}+ 4!^²

2 (4.71)

tan = 2^!=

!²_o !^² (4.72)

da cui:

X (t) = F_oeⁱ =m

eⁱ e^{i^!t}= F_o

m e^{i(^!t+ )} (4.73)

e in conclusione, passando alla parte reale:

x (t) = F_o m

q 1

!²_o !^^{2 2}+ 4^{!^}2²

cos [^!t + ( )] (4.74)

Si osservi che l’ampiezza dell’oscillazione:

x_o = F_o m

q 1

!²_o !^^{2 2}+ 4^{!^}2²

(4.75)

presenta un picco in corrispondenza di:

^

! = !_o (4.76)

ossia quando la forzante eccita il modo fondamentale di vibrazione del sistema.

Si noti che per ! 0 ( ! 1) ciò comporta la divergenza dell’ampiezza per forzanti arbitrariamente piccole. Senza arrivare a questi estremi, coe¢ cienti di smorzamento bassi comportano fenomeni di risonanza che possono risultare distruttivi. Ciò ha comportato in passato casi in cui una semplice brezza o il marciare ritmico di truppe ha causato la distruzione di ponti non adeguatamente progettati.

Tralasciamo in questa sede di studiare il comportamento dello sfasamento.

Esempio 4 Circuito RLC serie con V = Vocos (^!t + ')

Un circuito con generatore di tensione V = V (t), resistenza R, capacità C e induttanza L, posti in serie è retto dall’equazione alla maglia:

V (t) Ri q

C Ldi

dt = 0 (4.77)

Derivando rispetto al tempo tale equazione e ricordando che i = dq=dt si ha:

V (t)_ Rdi dt

1

Ci Ld²i

dt² = 0 (4.78)

ossia:

d²i dt² +R

L di dt + 1

LCi = V (t)_

L (4.79)

Questa equazione è formalmente identica alla (4.17) di p. 19 …n qui considerata, con equivalenze:

x ! i F ! _V

m ! L k ! _C¹ ! R (4.80)

Poniamo quindi analogamente:

(4.16) p. 19: !_o = qk

m ! !^o = p¹

LC

(4.23) p. 19: = ^2m ! = ^2L_R (4.72) p. 25: tan = _!^{2^}₂^!=

o !^² ! tan = _!^{2^2}_o^!=_!^²

(4.81)

se inoltre la forzante si scrive:

V (t) = V_ocos (^!t + ') (4.82) si ha:

V (t) =_ !V^ _osen (^!t + ') = ^!V_ocos ^!t + ' +

2 (4.83)

con equivalenze:

F_o ! ^!V_o (4.84)

! ' + 2 (4.85)

con cui la soluzione (4.74) di p. 25 in…ne diventa:

i (t) = !V^ _o L

q 1

!²_o !^^{2 2}+ 4^{!^2}2

cos h

^

!t + ' +

2 i

(4.86)

Soluzione sulla quale è possibile sviluppare considerazioni …siche dello stesso tenore di quelle svolte precedentemente.

Caduta di un corpo in un mezzo viscoso - Regime idraulico

Il presente paragrafo consiste nella parziale risoluzione dell’Esercizio 8, p. 106 del libro di testo [1], è però necessario leggere anche l’esercizio 7 precedente.

Per uniformità di notazione non indicheremo qui col simbolo k la costante di viscosità in regime idraulico, bensì con :

F^idr = vv (5.1)

Abbiamo inoltre indicato in grassetto le variabili vettoriali.

Si ha:

v =p

_x²+ _y²+ _z² (5.2)

Se le dimensioni …siche di sono:

[ ] = F

v = ml t²

t l = m

t (5.3)

le dimensioni di invece sono:

[ ] = F

v² = ml t²

t² l² = m

l (5.4)

indicandoci chiaramente il signi…cato …sico di¤erente delle due costanti.

La forza agente ha la forma:

Fa = mgbz (5.5)

27

e le equazioni del moto di Newton diventano:

8>

<

>:

v _x = m•x v _y = m•y v _z mg = m•z

(5.6)

Tali equazioni si presentano nella forma di un sistema di equazioni di¤eren- ziali accoppiate, del secondo ordine e non lineari ; la risoluzione del sistema ove possibile presenta quindi in generale una grande di¢ coltà.

Nel testo citato è dimostrato che con le semplici condizioni iniziali:

_x²+ _y² (0) = 0 (5.7)

si ha:

_x²+ _y² (t) = 0 (5.8)

In questo caso:

v =p

0 + _z² =j _zj (5.9)

Possiamo quindi disinteressarci alle prime due equazioni e scrivere la terza:

m•z + j _zj _z = mg (5.10)

ossia:

•

z +m j _zj _z = g (5.11)

Tale equazione (come le due precedenti) è mancante del termine di ordine zero (cioè in z) e quindi secondo la ricetta generale è convenientemente espressa come equazione del primo ordine in _z. Esplicitiamo questo con la posizione:

_z = v_z (5.12)

con l’avvertenza che vz è considerato con il suo segno, mentre v è sempre non- negativo. L’equazione del moto allora diventa:

_v_z+

mjv^zj v^z = g (5.13)

La risoluzione di questa equazione richiede la suddivisione del problema in due parti: vz 0e vz 0. Il secondo caso diventa rilevante solo per vz(0) 0mentre comunque, prima o poi la velocità diventa negativa; si tenga inoltre presente che

una discussione …sicamente più adeguata richiederebbe di considerare nel caso che v < v_z < v (cfr.[1], p. 105) la forza di regime viscoso F^vis = v invece di quella relativa al regime idraulico.

Ci interessiamo qui solo al primo caso:

v_z 0 (5.14)

e inoltre supporremo vz < v . Avremo quindi jv^zj = v_z e l’equazione del moto diventa:

dvz

dt mv²_z = g (5.15)

Tale equazione appartiene alla famiglia delle equazioni del primo ordine a varia- bili separabili, per le quali cioè, è possibile isolare nei due membri la variabile dipendente e quella indipendente:

dv_z dt =

mv_z² g (5.16)

dv_z

mv²_z g = dt (5.17)

purché il denominatore non si annulli.

Essa si può quindi integrare direttamente:

Z vz(t) vz(0)

dv_z⁰

m(v_z⁰)² g = Z t

0

dt⁰ (5.18)

mZ vz(t) vz(0)

dv⁰_z

(v_z⁰)^{2 mg} = t (5.19)

dove correttamente le dimensioni di mg= sono:

mg = Fv²

F = v² (5.20)

È interessante allora introdurre una velocità caratteristica ~v:

~ v ^def=

rmg

(5.21) tramite la quale la (5.19) diventa:

mg 1 g

Z vz(t) vz(0)

dv⁰_z

(v⁰_z)² ~v² = v~² g

Z vz(t) vz(0)

dv_z⁰

(v_z⁰)² v~² = t (5.22)

La condizione sul denominatore si può scrivere jv⁰zj 6= ~v ) vz⁰ 6= ~v.

Siamo quindi condotti a calcolare l’integrale:

I =

Z dx

x² a² (5.23)

questo è fatto canonicamente con la scomposizione:

1

x² a² = 1

x a

1

x + a = 1 2a

1

x a

1

x + a (5.24)

da cui:

I = 1

2a

Z dx

x a

Z dx x + a =

= 1

2a(lnjx aj lnjx + aj) + c = (5.25)

= 1

2alnjx aj jx + aj+ c Così la (5.22) diventa:

t = v~² g

1

2~v lnjvz⁰ v~j jvz⁰ + ~vj

vz(t)

vz(0)

= (5.26)

= ~v

2g lnjv^z(t) v~j

jv^z(t) + ~vj lnjv^z(0) v~j

jv^z(0) + ~vj (5.27) Ponendo ora per semplicità di scrittura:

def= jv^z(0) ~vj

jv^z(0) + ~vj (5.28)

abbiamo:

t = v~

2gln1jv^z(t) v~j

jv^z(t) + ~vj (5.29)

da cui:

jv^z(t) v~j

jv^z(t) + ~vj = e^2g~vt (5.30) Dato che vz 0(e ~v > 0) si ha jv^z(t) ~vj = (v_z(t) ~v) = ~v v_z(t).

Per quanto concerne il denominatore dobbiamo distinguere i casi:

I) v < v~ _z 0 II) v_z < v~ III) v_z = v~

(5.31)

Per il primo caso si ha jv^z(t) + ~vj = v^z(t) + ~v e la soluzione si scrive:

~

v v_z(t)

v_z(t) + ~v = e^2g~vt (5.32)

~

v v_z(t) = v_z(t) e^2gv~t+ ~v e^2g~vt (5.33) v_z(t) e^2gv~t+ 1 = ~v 1 e^2gv~t = v~ e^2g~vt 1 (5.34) dove quest’ultimo passaggio è orientato a fare risaltare l’atteso segno negativo della velocità.

vz(t) = v~ e^2g~vt 1

e^2gv~t+ 1 (5.35)

L’espressione si presta male ad essere interpretata per t ! 1, quindi moltipli- chiamo numeratore e denominatore per e ^2gv~t:

v_z(t) = ~v e ^2gv~t

+ e ^2gv~t (5.36)

Anche in questo caso è possibile individuare un tempo proprio del sistema:

def= v~

2g (5.37)

v_z(t) = v~ e ^t

+ e ^t (5.38)

Il valore limite della velocità è:

v^idr_z (1) = ~v (5.39)

indipendentemente dalle condizioni iniziali. Ciò conferisce signi…cato …sico alla de…nizione (5.21) di ~v.

Nel semplice caso che vz(0) = 0 (si supponga in questa analisi che v ' 0) si ha dalla (5.28):

v_z(t) = ~v 1 e ^t

1 + e ^t (5.40)

e la velocità in valore assoluto dell’oggetto va crescendo asintoticamente da zero al valore limite ~v. Si noti quindi che questa soluzione rispetta ad ogni istante la condizione I) della (5.31). Si dimostra analogamente che per ogni vz(0) tale che ~v < v_z(0) 0 la soluzione indica una velocità che va crescendo in valore assoluto da jv^z(0)j a ~v, rispettando ad ogni istante la condizione I).

Ritornando adesso a considerare il caso vz(0) = 0, si ha che per t = il rapporto (1 e ¹) = (1 + e ¹) vale circa 46% e che per t = 3 esso diventa il 91% circa, indicando, a parità di tempo proprio, un tipo di avvicinamento più lento al valore limite rispetto al caso di attrito viscoso ordinario di p. 8.

Ricaviamo adesso sotto questa condizione la posizione:

z (t) = v~ Z t

0

1 e ^t0 1 + e ^t0

dt⁰ (5.41)

Calcoliamo il corrispondente integrale inde…nito per sostituzione:

s = e ^t

ds = 1

e ^tdt =) (5.42)

dt = sds da cui:

I ^def=

Z 1 e ^t 1 + e ^t dt⁰ =

Z 1 s

1 + s s ds (5.43)

e scomponendo l’integrando:

1 s

s (1 + s) = 1 s

2

1 + s (5.44)

I =

Z ds

s 2

Z ds

1 + s = (lnjsj 2 lnj1 + sj) + c =

= t

2 ln 1 + e ^t + c = (5.45)

= t + 2 ln 1 + e ^t + c così:

z (t) = ~v [I (t) I (0)] = ~vh

t + 2 ln 1 + e ^t 2 ln 2i

(5.46) e in…ne:

z (t) = z_o ~vt 2~v ln1

2 1 + e ^t (5.47)

Nel caso II) vz ~vinvece si ha: jv^z(t) + ~vj = v^z(t) ~ve la (5.30) diventa:

~

v v_z(t)

v_z(t) v~ = e^t (5.48)

~

v v_z(t) = v_z(t) e^t v e~ ^t (5.49)

v_z(t) e^t 1 = ~v e^t + 1 (5.50)

v_z(t) = ~v e

t

+ 1 e^t 1

= v~ + e

t

e ^t (5.51)

Anche in questo caso:

v_z(1) = ~v (5.52)

ed essendo la frazione maggiore di 1, la condizione II) è rispettata per ogni t 0.

In questo caso la velocità decresce in valore assoluto dal suo valore iniziale che è maggiore del valore limite, avvicinandosi asintoticamente a questo.

Nel terzo e ultimo caso vz = v~e la (5.16) si può scrivere:

dv_z

dt = g v_z²

~

v² 1 (5.53)

cosicché se a un certo istante to si ha vz(t_o) = v, allora _v~ z = 0 e vz(t) = v~ costante è una soluzione ad ogni istante.

[1] F. Bagarello (2003), Note di Meccanica Razionale, Dario Flaccovio Editore [2] F. Bagarello (2007), Fisica matematica, Zanichelli

[3] T. M. Apostol (1977), Calcolo, Vol. I - Analisi 1, Boringhieri [4] T. M. Apostol (1978), Calcolo, Vol. III - Analisi 2, Boringhieri [5] K. R. Symon (1960), Mechanics, Second edition, Addison-Wesley

34