Ciclo di Carnot in un gas di fotoni

Ciclo di Carnot in un gas di fotoni

Quando la lunghezza d’onda elettromagnetica λ = c/ν diventa con- frontabile con la lunghezza Compton delle particelle elementari λ_C = h/mc la radiazione elettromagnetica si comporta come un gas di fotoni avente una densit`a di energia (=energia per unit´a di volume) u = bT⁴ ed a cui corrisponde una pressione pari a P = u/3.

Si descriva un ciclo di Carnot per un volume V di questo gas di fotoni.

Soluzione

Un ciclo di Carnot `e formato da due trasformazioni isoterme e due adi- abatiche. Si tratta di vedere quali sono le rappresentazioni sul piano (P,V) di queste trasformazioni per un gas che soddisfa le leggi scritte sopra.

Essendo P = u/3 = bT⁴/3, una trasformazione isoterma (T = cost) coin- cide con una isobara (P = cost). Le due isoterme sono quindi rappresentate da dua segmenti orizzontali sul piano (P,V).

La trasformazione adiabatica `e caratterizzata da δQ = 0. Per cui:

0 = dU + δL = bT⁴dV + 4bV T³dT +1

3bT⁴dV = 4bV T³dT + 4

3bT⁴dV (1) Dividendo per 4bT³ si ricava l’equazione differenziale a variabili separa- bili:

1 3

dV V +dT

T = 0 → V T³ = cost (2)

Per passare ad una relazione fra P e V non possiamo, naturalmente, utiliz- zare l’equazione di stato dei gas perfetti P V = nRT , ma la relazione scritta in ipotesi P = bT³/3.

P (V ) = cost

V^4/3 (3)

Calcoliamo adesso il lavoro nei vari rami:











LAB = pA(VB− V_A) = ¹₃bT₂⁴(VB− V_A)

LBC = −∆UBC = UB− U_C = bVBT₂⁴− bV_CT₁⁴ L_CD = p_C(V_D− V_C) = ¹₃bT₁⁴(V_D − V_C)

LDA= −∆UAD = UD− U_A= bVDT₁⁴− bV_AT₂⁴

(4)

Il lavoro totale `e:

L = 4

3bT₂⁴(V_B− V_A) − T₁⁴(V_C − V_D)

(5) 1

Figure 1:

Il calore assorbito nel tratto AB `e:

Q_AB = L_AB+∆U_AB = 1

3bT₂⁴(V_B−V_A)+bT₂⁴(V_B−V_A) = 4

3bT₂⁴(V_B−V_A) (6) ATTENZIONE: l’energia interna non dipende solamente da T , per cui non possiamo dire, come nel caso di gas perfetto, che in una isoterma l’energia interna del sistema non cambia!

In definitiva, l’efficienza del ciclo risulta:

η = Ltot

Qass

= 1 −T₁⁴ T₂⁴

VC− V_D

VB− V_A (7)

Ricordando l’equazione 2 per l’adiabatica di un gas di fotoni:

η = 1 − T₁ T2

(8) ottenendo, quindi, lo stesso risultato trovato per il gas perfetto.

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