1 d nessuna delle precedenti (4) La funzione fα(x

(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica M/Z

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 gennaio 2018 – A

(1) Delle radici terze di w = (i − 2) · (1 + 3i)

a nessuna appartiene al quarto quadrante c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al secondo quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La funzione f (x) =

(sin(αx) cosh x−log(1+x)

x se x > 0

cosh(βx) se x ≤ 0 nel punto x₀ = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ R

c `e continua ma non `e derivabile per ogni α, β ∈ R

b `e derivabile per α = 2 e ogni β ∈ R d nessuna delle precedenti

(3) L’ordine di infinitesimo della funzione g_α(x) = cos(x^α) −√

e^{− sin x} con α > 0 per x → 0⁺ `e a 1 per ogni α ∈ R

c 2 per qualche α > 1

b ¹₂ per qualche α < 1 d nessuna delle precedenti (4) La funzione f_α(x) =

q

log²(x − 1) + α con α ≥ 0 a non ammette punto di minimo per qualche α ≥ 0 c assume il valore y₀ = 2 per ogni α > 1

b `e derivabile nel suo dominio per ogni α ≥ 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’integrale improprio Z +∞

1

log²(3x − 2)

(3x − 2)² dx vale a +∞

c ²₃

b −²₉

d nessuna delle precedenti

(6) La serie numerica

+∞

X

n=0

n^αn(1 − cos_n!¹) converge

a per ogni α < 2 c per nessun α ∈ R

b solo per α > 1

(2)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e d . Abbiamo che

w = (i − 2) · (1 + 3i) = −5 − 5i = 5√

2(cos^5π₄ + i sin^5π₄ ) e le sue radici terze sono date da

z_k = ³ q

5√

2 cos5π 4 +2kπ

3

+ i sin5π 4 +2kπ

3

=√³

5 cos ^5π+8kπ₁₂ + i sin ^5π+8kπ₁₂ , i = 0, 1, 2, cio`e sono

z₀ = ³ q

5√

2 cos ^5π₁₂ + i sin ^5π₁₂

z₁ = ³ q

5√

2 cos ^13π₁₂ + i sin ^13π₁₂

z₂ = ³ q

5√

2 cos ^21π₁₂ + i sin ^21π₁₂

e pertanto che z₀ cade nel primo quadrante del piano complesso perch´e ₁₂⁵ ∈ (0,¹₂), z₁ nel terzo dato che ¹³₁₂ ∈ (1,³₂), z2 nel quarto poich´e ²¹₁₂ ∈ (³₂, 2).

(2) La risposta esatta `e d . Abbiamo lim

x→0⁻

f (x) = lim

x→0⁻

cosh(βx) = 1 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, essendo per x → 0, log(1 + x) = x + o(x) e sin(αx) cosh x = (αx + o(x))(1 + o(x)) = αx + o(x), si ottiene

lim

x→0⁺

f (x) = lim

x→0⁺

sin(αx) cosh x − log(1 + x)

x = lim

x→0⁺

(α − 1)x + o(x)

x = α − 1

per ogni α ∈ R. Dunque f (x) risulter`a continua in x0 = 0 solo per α = 2, quindi a e c sono false.

(3)

Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f⁰(x) = β sinh(βx) e che lim

x→0⁻

f⁰(x) = 0 per ogni β ∈ R. Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x₀ = 0 con f₋⁰ (0) = 0.

Riguardo alla derivata destra, per α = 2, osservato che per x → 0 risulta log(1 + x) = x −¹₂x²+ o(x²) e sin(2x) cosh x = (2x + o(x²))(1 + o(x)) = 2x + o(x²) otteniamo

lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x = lim

x→0⁺

sin(2x) cosh x−log(1+x)

x − 1

x

= lim

x→0⁺

2x + ¹₂x²− x + o(x²) − x

x² = lim

x→0⁺ 1

2x²+ o(x²) x² = ¹₂

Quindi la funzione ammette derivata destra in x₀ = 0 con f₊⁰ (0) = ¹₂. Ne segue che la funzione non risulta derivabile in x0 = 0 per ogni α, β ∈ R e dunque anche b `e falsa.

(3) La risposta corretta `e la b . g_α(x) = cos(x^α) −√

e^{− sin x}Ricordando che cos y = 1 −^y₂²+^y₂₄⁴+ o(y⁴) per y → 0 posto y = x^α, dato che α > 0 per x → 0 otteniamo cos(x^α) = 1 − ^x^2α₂ + ^x₂₄^4α + o(x^4α).

Abbiamo poi che

√

e^{− sin x} = e⁻¹²^{sin x} = 1 − ¹₂sin x + ¹₈sin²x + o(sin²x)

= 1 − ¹₂(x + o(x²)) + ¹₈(x + o(x²))²+ o((x + o(x²))²)

= 1 − ^x₂ +^x₈² + o(x²) Ne segue che

g_α(x) = cos(x^α) −

√

e^{− sin x} = −^x^2α₂ +^x₂₄^4α + o(x^4α) + ^x₂ − ^x₈² + o(x²)

=







x

2 + o(x) se 2α > 1

−^x₁₂² se 2α = 1

−^x^2α₂ + o(x^2α) se 2α < 1

Quindi g_α(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α > ¹₂, 2 per α = ¹₂ e 2α per ogni 0 < α < ¹₂. Ne segue che per α = ¹₄ la funzione ha ordine di infinitesimo ¹₂ e pertanto b `e vera mentre a e c sono false.

Nota: se per α = ¹₂ non avessimo considerato lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di cos(x^α) = cos(√ x) non sarebbe stato possibile concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 2 ma solo che `e maggiore di 1.

(4) La risposta corretta `e la d . Studiamo la funzione f_α(x) = q

log²(x − 1) + α al variare di α ≥ 0.

Si ha che f_α(x) `e definita e continua in tutto (1, +∞). Se α > 0, la funzione risulta ovunque positiva mentre per α = 0 si ha che risulta positiva per x 6= 2, nulla per x = 2. Abbiamo

x→+∞lim f_α(x) = +∞ e lim

x→1⁺f_α(x) = +∞

Pertanto ammette un asintoto verticale in x = 1 qualunque sia α ≥ 0. Se α = 0 la funzione non risulta derivabile in x = 2, dove presenta un punto angoloso, in quanto

lim

h→0^±

f₀(2 + h) − f₀(2)

h = lim

h→0^±

q

log²(1 + h)

h = lim

h→0^±

|h|

h = ±1

(4)

e dunque b `e falsa. `E invece derivabile in ogni x ∈ (1, +∞), x 6= 2, con f₀⁰(x) = log(x − 1)

q

log²(x − 1)

· 1 x − 1

Se α > 0 la funzione risulta derivabile in ogni x ∈ (1, +∞) con f_α⁰(x) = log(x − 1)

q

log²(x − 1) + α

· 1 x − 1

Per ogni α ≥ 0 otteniamo allora che f_α⁰(x) < 0 per ogni 1 < x < 2 e f_α⁰(x) > 0 per ogni x > 2. Ne segue che f_α(x) `e strettamente decrescente in (1, 2], `e strettamente crescente in [2, +∞) e che x = 2

`e punto di minimo assoluto con f_α(2) = √

α per ogni α ≥ 0, quindi a `e falsa. Dal teorema dei valori intermedi ne segue inoltre che l’equazione f_α(x) = 2 ammette soluzione solo per √

α ≤ 2, ovvero per α ≤ 4, e precisamente, dalla monotonia stretta, una sola soluzione se α = 4 e due soluzioni se α < 4.

Dunque la funzione assume il valore y₀ = 2 solo per α ≤ 4 e anche c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e c . Infatti, Operando la sostituzione 3x − 2 = y (e quindi dx = ¹₃dy) e

(5)

integrando per parti due volte si ottiene Z

log²(3x−2)

(3x−2)² dx = ¹₃ Z

log²y

y² dy = ¹₃

−^log_y²^y + 2 Z

log y y² dy

= ¹₃

−^log_y²^y − ^{2 log y}_y + 2 Z

1 y² dy

= ¹₃

−^log_y²^y − ^{2 log y}_y − ²_y + c

= −^log²y+2 log y+2

3y + c

= −^log²(3x−2)+2 log(3x−2)+2

3(3x−2) + c

Dalla definizione di integrale improprio e dalla formula fondamentale del calcolo integrale, possiamo concludere che

Z +∞

1

log²(3x−2)

(3x−2)² dx = lim

b→+∞

Z b 1

log²(3x−2)

(3x−2)² dx = lim

b→+∞

h−^log²(3x−2)+2 log(3x−2)+2 3(3x−2)

ib 1

= lim

b→+∞

2

3 − ^log²(3b−2)+2 log(3b−2)+2 3(3b−2) = ²₃ essendo ^{log x}_xp → 0 per x → +∞ per ogni p > 0.

(6) La risposta corretta è a . Osserviamo innanzitutto che la serie è a termini positivi e che per n → +∞ risulta n^αn(1 − cos_n!¹) ∼ _2(n!)ⁿ^αn2. Quindi, dal criterio del confronto asintotico il comportamente della serie data è il medesimo della serie P+∞

n=1 n^αn

(n!)². Per studiare il comportamento di quest’ultima applichiamo il criterio del rapporto. Posto a_n= _(n!)ⁿ^αn2, per n → +∞ si ha

a_n+1

a_n = (n + 1)^α(n+1)

((n + 1)!)² · (n!)²

n^αn = (n + 1)^α−2 1 + ¹_nαn

→







+∞ se α > 2 e² se α = 2 0 se α < 2 Dal criterio del rapporto, la serie P+∞

n=1 n^αn

(n!)², e dunque anche la serie data, risulta convergente se e solo se α < 2.

(6)

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 gennaio 2018 – B

(1) Delle radici quarte di w = (2 − i) · (3 − i) a nessuna appartiene al secondo quadrante c una appartiene all’asse immaginario

b una appartiene al primo quadrante d nessuna delle precedenti

(sinh x cos x−log(1+αx)

x se x > 0

√3

βx − 1 se x ≤ 0 nel punto x₀ = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ R

b `e derivabile per α = 2 e β = 6 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione fα(x) = √

e^{sinh x}− cosh(x^α) con α > 0 per x → 0⁺ `e a 1 per ogni α ∈ R

c 2 per qualche α < 1

b maggiore di 2 per qualche α > 1 d nessuna delle precedenti

(4) La funzione g_α(x) =parctan²(x − 1) + α con α ≥ 0 a non ammette punto di minimo per qualche α ≥ 0 c assume il valore y₀ = 1 per ogni α > 1

b `e derivabile nel suo dominio per ogni α ≥ 0 d nessuna delle precedenti

2

log²(2x − 3)

(2x − 3)² dx vale a +∞

c −¹₄

b 1

+∞

X

n=0

1

n^αnsin^{3 1}_n! diverge a per ogni α < 2

c per nessun α ∈ R

b solo per α > 3

(7)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo che

w = (2 − i) · (3 − i) = 5 − 5i = 5(cos(−^π₄) + i sin(−^π₄)) e le sue radici quarte sono date da

z_k =√⁴ 5

cos

₋π 4+2kπ

4

+ i sin

₋π 4+2kπ

4

=√⁴

5 cos ^−π+8kπ₁₆ + i sin ^−π+8kπ₁₆ , i = 0, 1, 2, 3, cio`e sono

z₀ =√⁴

5 cos −₁₆^π + i sin −₁₆^π

z₁ =√⁴

5 cos ^7π₁₆ + i sin ^7π₁₆

z₂ =√⁴

5 cos ^15π₁₆ + i sin ^15π₁₆

z₃ =√⁴

5 cos ^23π₁₆ + i sin ^23π₁₆

e pertanto che z₀ cade nel quarto quadrante del piano complesso perch´e −₁₆¹ ∈ (−¹₂, 0), z₁ nel primo dato che ₁₆⁷ ∈ (0,¹₂), z₂ nel terzo poich´e ¹⁵₁₆ ∈ (¹₂, 1) e infine z₃ nel quarto essendo ²³₁₆ ∈ (1,³₂).

x→0⁻

f (x) = lim

x→0⁻

p3

βx − 1 = −1 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, essendo per x → 0, log(1 + αx) = αx + o(x) e sinh x cosh x = (x + o(x))(1 + o(x)) = x + o(x), si ottiene

lim

x→0⁺

f (x) = lim

x→0⁺

sinh x cos x − log(1 + αx)

x = lim

x→0⁺

(1 − α)x + o(x)

x = 1 − α

(8)

Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f⁰(x) = ^β₃(βx − 1)⁻²³ e che lim

x→0⁻f⁰(x) = ^β₃ per ogni β ∈ R. Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x₀ = 0 con f₋⁰ (0) = ^β₃.

Riguardo alla derivata destra, per α = 2, osservato che per x → 0 risulta log(1+2x) = 2x−2x²+o(x²) e sinh x cos x = (x + o(x²))(1 + o(x)) = x + o(x²) otteniamo

lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x = lim

x→0⁺

sinh x cos x − log(1 + 2x)x + 1 x

= lim

x→0⁺

x + o(x²) − 2x + 2x²+ o(x²) + x

x² = lim

x→0⁺

2x²+ o(x²) x² = 2

Quindi la funzione ammette derivata destra in x₀ = 0 con f₊⁰(0) = 2. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x₀ = 0 solo per α = 2 e β = 6 e dunque b `e vera.

(3) La risposta corretta `e la c . Ricordando che cosh y = 1 +^y₂² +^y₂₄⁴ + o(y⁴) per y → 0 posto y = x^α, dato che α > 0 per x → 0⁺ otteniamo cosh(x^α) = 1 +^x^2α₂ +^x₂₄^4α + o(x^4α). Abbiamo poi che

√

e^{sinh x}= e¹²^{sinh x} = 1 + ¹₂sinh x +¹₈ sinh²x + o(sinh²x)

= 1 + ¹₂(x + o(x²)) + ¹₈(x + o(x²))²+ o((x + o(x²))²)

= 1 + ^x₂ +^x₈² + o(x²) Ne segue che

f_α(x) =

√

e^{sinh x}− cosh(x^α) = ^x₂ +^x₈² + o(x²) − ^x^2α₂ − ^x₂₄^4α + o(x^4α)

=







x

2 + o(x) se 2α > 1

x²

12 se 2α = 1

−^x^2α₂ + o(x^2α) se 2α < 1

Quindi fα(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α > ¹₂, 2 per α = ¹₂ e 2α per ogni 0 < α < ¹₂. Ne segue che c `e vera mentre a e c sono false.

Nota: se per α = ¹₂ non avessimo considerato lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di cosh(x^α) = cosh(√ x) non sarebbe stato possibile concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 2 ma solo che `e maggiore di 1.

(4) La risposta corretta `e la d . Studiamo la funzione g_α(x) = parctan²(x − 1) + α al variare di α ≥ 0. Si ha che g_α(x) `e definita e continua in tutto R. Se α > 0, la funzione risulta ovunque positiva mentre per α = 0 si ha che risulta positiva per x 6= 1, nulla per x = 1. Abbiamo

x→+∞lim g_α(x) = q

π²

4 + α e lim

x→−∞f_α(x) = q

π² 4 + α Pertanto ammette un asintoto orizzontale in y =

qπ²

4 + α per x → ±∞ qualunque sia α ≥ 0. Se α = 0 la funzione non risulta derivabile in x = 1, dove presenta un punto angoloso, in quanto

lim

h→0^±

g0(1 + h) − g0(1)

h = lim

h→0^±

√

arctan²h

h = lim

h→0^±

|h|

h = ±1 e dunque b `e falsa. `E invece derivabile in ogni x ∈ R \ {1}, con

f₀⁰(x) = arctan(x − 1)

parctan²(x − 1) · 1 1 + (x − 1)²

(9)

Se α > 0 la funzione risulta derivabile in ogni x ∈ R con g_α⁰(x) = arctan(x − 1)

parctan²(x − 1) + α · 1 1 + (x − 1)²

Per ogni α ≥ 0 otteniamo allora che g_α⁰(x) < 0 per ogni x < 1 e g_α⁰(x) > 0 per ogni x > 1. Ne segue che g_α(x) è strettamente decrescente in (−∞, 1], è strettamente crescente in [1, +∞) e che x = 1 è punto di minimo assoluto con g_α(1) =√

α per ogni α ≥ 0, quindi a `e falsa. Dal teorema dei valori intermedi, osservato che

qπ²

4 + α > 1 per ogni α ≥ 0, otteniamo inoltre che l’equazione gα(x) = 1 ammette soluzione solo se √

α ≤ 1, ovvero per α ≤ 1, e precisamente, dalla monotonia stretta, una sola soluzione se α = 1 e due soluzioni se α < 1. Dunque la funzione assume il valore y₀ = 1 solo per α ≤ 1 e anche c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, Operando la sostituzione 2x − 3 = y (e quindi dx = ¹₂dy) e integrando per parti due volte si ottiene

Z

log²(2x−3)

(2x−3)² dx = ¹₂ Z

log²y

y² dy = ¹₂

−^log_y²^y + 2 Z

log y y² dy

= ¹₂

−^log_y²^y − ^{2 log y}_y + 2 Z

1 y² dy

= ¹₂

−^log_y²^y − ^{2 log y}_y − ²_y + c

= −^log²y+2 log y+2

2y + c

= −^log²(2x−3)+2 log(2x−3)+2

2(2x−3) + c

Z +∞

2

log²(2x−3)

(2x−3)² dx = lim

b→+∞

Z b 2

log²(2x−3)

(2x−3)² dx = lim

b→+∞

h−^log²(2x−3)+2 log(2x−3)+2 2(2x−3)

ib 2

= lim

b→+∞1 − ^log²(2b−3)+2 log(2b−3)+2

2(2b−3) = 1

(10)

essendo ^{log x}_xp → 0 per x → +∞ per ogni p > 0.

(6) La risposta corretta è a . Osserviamo innanzitutto che la serie è a termini positivi e che per n → +∞ risulta n^αnsin^{3 1}_n! ∼ _(n!)ⁿ^αn3. Quindi, dal criterio del confronto asintotico il comportamente della serie data è il medesimo della serie P+∞

n=1 (n!)³

n^αn. Per studiare il comportamento di quest’ultima applichiamo il criterio del rapporto. Posto a_n= _(n!)ⁿ^αn3, per n → +∞ si ha

a_n+1

a_n = ((n + 1)!)³

(n + 1)^α(n+1) · n^αn

(n!)³ = (n + 1)^3−α 1

1 + _n¹αn →







+∞ se α < 3 e⁻³ se α = 3 0 se α > 3 Dal criterio del rapporto, la serie P+∞

n=1 n^αn

(n!)³, e dunque anche la serie data, risulta divergente se e solo se α < 3.

(11)

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 13 gennaio 2018

(1) Delle radici quarte di w = (2 − i) · (3 − i) a nessuna appartiene al secondo quadrante c una appartiene all’asse immaginario

b una appartiene al primo quadrante d nessuna delle precedenti

(sinh x−log(1+αx)

x se x > 0

√3

βx − 1 se x ≤ 0 nel punto x₀ = 0 a `e continua per ogni α, β ∈ R

b `e derivabile per α = 2 e β = 6 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione f_α(x) = √

e^{sinh x}− cosh(x^α) con α > 0 per x → 0⁺ `e a 1 per ogni α > 0

c 2 per qualche α < 1

b maggiore di 2 per qualche α > 1 d nessuna delle precedenti

(4) La funzione g_α(x) = q

log²(x − 1) + α per ogni α > 0 a non ammette asintoti

c assume il valore y₀ = 1

b ammette punto di massimo relativo d nessuna delle precedenti

2

log(2x − 3)

(2x − 3)² dx vale a +∞

c −¹₄

b 1

+∞

X

n=0

n^αnsin^{3 1}_n! converge

a per ogni α > 2 c per nessun α ∈ R

b solo per α < 3

(12)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo che

w = (2 − i) · (3 − i) = 5 − 5i = 5√

2(cos(−^π₄) + i sin(−^π₄)) e le sue radici quarte sono date da

z_k = ⁴ q

5√ 2

cos₋π 4+2kπ

4

+ i sin₋π 4+2kπ

4

= ⁴ q

5√

2 cos ^−π+8kπ₁₆ + i sin ^−π+8kπ₁₆ , i = 0, 1, 2, 3, cio`e sono

z₀ = ⁴ q

5√

2 cos −₁₆^π + i sin −₁₆^π

z₁ = ⁴ q

5√

2 cos ^7π₁₆ + i sin ^7π₁₆

z₂ = ⁴ q

5√

2 cos ^15π₁₆ + i sin ^15π₁₆

z₃ = ⁴ q

5√

2 cos ^23π₁₆ + i sin ^23π₁₆

Pertanto z₀ cade nel quarto quadrante del piano complesso perch´e −₁₆¹ ∈ (−¹₂, 0), z₁ nel primo dato che ₁₆⁷ ∈ (0,¹₂), z2 nel terzo poich´e ¹⁵₁₆ ∈ (¹₂, 1) e infine z3 nel quarto essendo ²³₁₆ ∈ (1,³₂).

x→0⁻f (x) = lim

x→0⁻

p3

βx − 1 = −1 = f (0)

per ogni β ∈ R. Mentre, essendo per x → 0, log(1 + αx) = αx + o(x) e sinh x = x + o(x), si ottiene lim

x→0⁺f (x) = lim

x→0⁺

sinh x − log(1 + αx)

x = lim

x→0⁺

(1 − α)x + o(x)

x = 1 − α

(13)

Riguardo alla derivabilit`a osserviamo che f (x) `e derivabile in ogni x < 0 con f⁰(x) = ^β₃(βx − 1)⁻²³ e che lim

x→0⁻f⁰(x) = ^β₃ per ogni β ∈ R. Quindi, per ogni β ∈ R, la funzione ammette derivata sinistra in x₀ = 0 con f₋⁰ (0) = ^β₃.

Riguardo alla derivata destra, per α = 2, osservato che per x → 0 risulta log(1+2x) = 2x−2x²+o(x²) e sinh x = x + o(x²) otteniamo

lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x = lim

x→0⁺

sinh x − log(1 + 2x)x + 1 x

= lim

x→0⁺

x + o(x²) − 2x + 2x²+ o(x²) + x

x² = lim

x→0⁺

2x²+ o(x²) x² = 2

Quindi la funzione ammette derivata destra in x₀ = 0 con f₊⁰(0) = 2. Ne segue che la funzione risulta derivabile in x₀ = 0 solo per α = 2 e β = 6 e dunque b `e vera.

(3) La risposta corretta `e la c . Ricordando che cosh y = 1 +^y₂² +^y₂₄⁴ + o(y⁴) per y → 0 posto y = x^α, dato che α > 0 per x → 0⁺ otteniamo cosh(x^α) = 1 + ^x^2α₂ + ^x₂₄^4α + o(x^4α). Per x → 0⁺ Abbiamo poi che

√

e^{sinh x}= e¹²^{sinh x} = 1 + ¹₂sinh x +¹₈ sinh²x + o(sinh²x)

= 1 + ¹₂(x + o(x²)) + ¹₈(x + o(x²))²+ o((x + o(x²))²)

= 1 + ^x₂ +^x₈² + o(x²) da cui

f_α(x) =

√

e^{sinh x}− cosh(x^α) = ^x₂ +^x₈² + o(x²) − ^x^2α₂ − ^x₂₄^4α + o(x^4α)

=







x

2 + o(x) se 2α > 1

x²

12 se 2α = 1

−^x^2α₂ + o(x^2α) se 2α < 1

Quindi f_α(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α > ¹₂, 2 per α = ¹₂ e 2α per ogni 0 < α < ¹₂. Ne segue che c `e vera mentre a e c sono false.

Nota: se per α = ¹₂ non avessimo considerato lo sviluppo di Taylor di ordine 2 di cosh(x^α) = cosh(√ x) non sarebbe stato possibile concludere che l’ordine di infinitesimo della funzione `e 2 ma solo che `e maggiore di 1.

(4) La risposta corretta `e la d . Studiamo la funzione g_α(x) = q

log²(x − 1) + α al variare di α > 0.

Si ha che f_α(x) `e definita, continua e positiva in tutto (1, +∞) per ogni α > 0. Abbiamo

x→+∞lim g_α(x) = +∞ e lim

x→1⁺g_α(x) = +∞

Pertanto ammette un asintoto verticale in x = 1 qualunque sia α ≥ 0, quindi a `e falsa. Per ogni α > 0 la funzione risulta derivabile in ogni x ∈ (1, +∞) con

g_α⁰(x) = log(x − 1) q

log²(x − 1) + α

· 1 x − 1

(14)

Otteniamo allora che g⁰_α(x) < 0 per ogni 1 < x < 2 e g_α⁰(x) > 0 per ogni x > 2. Ne segue che g_α(x) è strettamente decrescente in (1, 2], è strettamente crescente in [2, +∞) e che x = 2 è punto di minimo assoluto con g_α(2) =√

α per ogni α > 0. Non ammette quindi punti di massimo e dunque b `e falsa.

Dal teorema dei valori intermedi segue inoltre che l’equazione gα(x) = 1 ammette soluzione solo per

√α ≤ 1, ovvero per α ≤ 1, e precisamente, dalla monotonia stretta, una sola soluzione se α = 1 e due soluzioni se α < 1. Dunque la funzione assume il valore y₀ = 1 solo per α ≤ 1 e anche c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, Operando la sostituzione 2x − 3 = y (e quindi dx = ¹₂dy) e integrando per parti due volte si ottiene

Z

log(2x−3)

(2x−3)² dx = ¹₂ Z

log y

y² dy = ¹₂

−^{log y}_y + Z

1 y² dy

= ¹₂

−^{log y}_y − ¹_y + c

= −^{log y+1}_2y + c

= −log(2x−3)+1 2(2x−3) + c

Z +∞

2

log(2x−3)

(2x−3)² dx = lim

b→+∞

Z b 2

log(2x−3)

(2x−3)² dx = lim

b→+∞

h−log(2x−3)+1 2(2x−3)

ib 2

= lim

b→+∞

1

2 − log(2b−3)+1 2(2b−3) = ¹₂ essendo ^{log x}_xp → 0 per x → +∞ per ogni p > 0.

(6) La risposta corretta è a . Osserviamo innanzitutto che la serie è a termini positivi e che per n → +∞ risulta n^αnsin^{3 1}_n! ∼ _(n!)ⁿ^αn3. Quindi, dal criterio del confronto asintotico il comportamente della serie data è il medesimo della serie P+∞

n=1 n^αn

(n!)³. Per studiare il comportamento di quest’ultima applichiamo il criterio del rapporto. Posto a_n= _(n!)ⁿ^αn3, per n → +∞ si ha

a_n+1

a_n = (n + 1)^α(n+1)

((n + 1)!)³ · (n!)³

n^αn = (n + 1)^α−3 1 + _n¹αn

→







+∞ se α > 3 e³ se α = 3 0 se α < 3 Dal criterio del rapporto, la serie P+∞

n=1 (n!)³

n^αn, e quindi anche la serie data, risulta convergente se e solo se α < 3.

(15)

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 3 febbraio 2018

(1) Delle radici quadrate di w = i · (√

3 + 3i) · (i − 1)³ a nessuna appartiene al secondo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al quarto quadrante d nessuna delle precedenti

(2) La successione a_n = n³ cosh_n¹ −p1 + _n^α2 per n → +∞

a converge per ogni α ∈ R c diverge per ogni α ∈ R

b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti (3) L’ordine di infinitesimo della funzione f_α(x) = ^√^{sin x}_{cos x} − log(1 + αx) per x → 0⁺ `e

a 1 per ogni α ∈ R c 2 per qualche α ∈ R

b 3 per qualche α > 0 d nessuna delle precedenti (4) L’equazione arctan^x−2_x+2 = αx ammette

a al pi`u una soluzione per ogni α ∈ R c due soluzioni per ogni α > 0

b nessuna soluzione per qualche α < 0 d nessuna delle precedenti

(5) L’area della regione del piano compresa tra il grafico della funzione f (x) = x cos x e l’asse delle ascisse nell’intervallo [−π, π] vale

a π c 0

b 2π

(6) La serie di potenze

+∞

X

n=1

xⁿ 1 −_n²n²

ha insieme di convergenza

a (−e², e²) c R

b [−^√¹_e,^√¹_e)

(16)

Soluzione

(1) La risposta esatta `e b . Abbiamo infatti che i · (√

3 + 3i) = −3 +√

3i = 2√ 3(−

√ 3

2 +¹₂i) = 2√

3(cos^5π₆ + i sin^5π₆ ) mentre, essendo i − 1 =√

2(cos^3π₄ + i cos^3π₄ ) si ha (i − 1)³ =√

8(cos^9π₄ + i cos^9π₄ ) = 2√

2(cos^π₄ + i cos^π₄) Pertanto

w = i · (√

3 + 3i) · (i − 1)³ = 4√

6(cos(^π₄ +^5π₆ ) + i cos(^π₄ +^5π₆ )) = 4√

6(cos^13π₁₂ + i cos^13π₁₂) e le sue radici quadrate sono date da

z_k= q

4√

6(cos13π 12 +2kπ

2

+ i sin13π 12+2kπ

2

) = 2√⁴

6 cos ^13π₂₄ + kπ + i sin ^13π₂₄ + kπ , i = 0; 1, cio`e sono

z₀ = 2√⁴

6 cos ^13π₂₄ + i sin ^13π₂₄ = 2√⁴

6 cos ₂₄^π + ^π₂ + i sin ₂₄^π + ^π₂

z1 = 2√⁴

6 cos ^13π₂₄ + π + i sin ^13π₂₄ + π = 2√⁴

6 cos ₂₄^π +^3π₂ + i sin ₂₄^π +^3π₂

Quindi z₀ cade nel secondo quadrante del piano complesso mentre z₁ nel quarto.

(2) La risposta esatta `e b . Dagli sviluppi notevoli, per n → +∞ abbiamo che cosh_n¹ −q

1 + _n^α2 = 1 +_2n¹2 + _24n¹4 + o(_n¹4) −

1 + _2n^α2 − _8n^α²4 + o(_n¹4)

= ^1−α_2n2 + ^1+3α_24n4² + o(_n¹4)

e quindi a_n= n³ cosh¹_n−p1 + _n^α2 = n³(^1−α_2n2 + ^1+3α_24n4² + o(_n¹4)) = ^(1−α)n₂ +^1+3α_24n² + o(¹_n) da cui a_n∼

(1−α

2 n se α 6= 1

1

6n se α = 1 Pertanto si ha

n→+∞lim a_n=







+∞ se α < 1 0 se α = 1

−∞ se α > 1

Nota: considerando lo sviluppo di ordine 2 delle successioni coinvolte si otteneva che aⁿ = n³(^1−α_2n2 + o(_n¹2)) =

(1−α)n

2 + o(n) da cui non si poteva concludere nulla sul comportamento della successione nel caso in cui α = 1.

(3) La risposta corretta `e la c . Per x → 0 abbiamo infatti che sin x

√cos x = sin x · (cos x)⁻¹² = sin x · (1 + (cos x − 1))⁻¹²

= (x − ^x₆³ + o(x³)) · (1 − ¹₂(cos x − 1) + ³₈(cos x − 1)²+ o(cos x − 1)²)

= (x − ^x₆³ + o(x³)) · (1 + ¹₄x²+ o(x³)) = x − ^x₆³ + o(x³) + ¹₄x³+ o(x³)

= x + ₁₂¹ x³ + o(x³)

(17)

mentre log(1 + αx) = αx −¹₂α²x²+¹₃x³+ o(x³), da cui fα(x) = sin x

√cos x − log(1 + αx) = (1 − α)x +¹₂α²x²+ (₁₂¹ − ^α₃³)x³+ o(x³)

=

((1 − α)x + o(x) se α 6= 1

1

2x²+ o(x²) se α = 1

Quindi f_α(x) ha ordine di infinitesimo 1 per ogni α 6= 1, 2 per α = 1.

Nota: per determinare l’ordine di infinitesimo di fα(x) era sufficiente determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 2, quello riportato, per completezza, `e lo sviluppo di ordine 3.

(4) La risposta corretta `e la d . Per determinare le soluzioni dell’equazione arctan^x−2_x+2 = αx, studiamo la funzione fα(x) = arctan^x−2_x+2 − αx e determiniamone gli zeri. La funzione risulta definita e continua in R \ {−2} con

x→±∞lim f_α(x) = arctan^x−2_x+2 − αx =







∓∞ se α > 0

π

4 se α = 0

±∞ se α < 0

e lim

x→−2^±f (x) = ∓^π₂ + 2α.

Osserviamo che se α < 0, dato che la funzione `e continua in (−2, +∞) e che lim

x→+∞f_α(x) = +∞ mentre lim

x→−2⁺f_α(x) = −^π₂+2α < 0, dal Teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione ammette almeno uno zero in (−2, +∞) per ogni α < 0, dunque b `e falsa.

In modo analogo, dato che la funzione `e continua in (−∞, −2) e che se 0 > α > −^π₄ si ha lim

x→−∞f_α(x) =

−∞ mentre lim

x→−2⁻f_α(x) = ^π₂ + 2α > 0, dal Teorema dei valori intermedi abbiamo che la funzione ammette almeno uno zero in (−∞, −2). Quindi, per quanto osservato sopra, per ogni −^π₄ < α < 0 la funzione ammette almeno due zeri e pertanto anche a `e falsa.

La funzione `e derivabile in ogni x ∈ R \ {−2} con f⁰(x) = 1

1 + (^x−2_x+2)² · 4

(x + 2)² − α = 2

x²+ 4 − α = 2 − αx²− 4α

x²+ 4 = −αx²+ 2(2α − 1) x²+ 4

(18)

Per α > ¹₂ otteniamo allora che f_α⁰(x) < 0 per ogni x 6= −2 e quindi che f_α(x) risulta strettamente decrescente in (−∞, −2) e in (−2, +∞). Osservato che per tali valori di α, lim

x→−2⁻

f_α(x) = ^π₂+ 2α > 0, dalla monotonia stretta otteniamo che fα(x) > 0 per ogni x ∈ (−∞, −2). Poich´e invece lim

x→+∞fα(x) =

−∞ mentre lim

x→−2⁺

f_α(x) = −^π₂ + 2α > 0 per ogni α > ^π₄, dal Teorema dei valori intermedi e dalla monotonia stretta abbiamo che per tali valori la funzione ammette uno ed un solo zero in (−2, +∞).

Quindi per α > ^π₄ la funzione ammette uno ed un solo zero nel suo dominio e c `e falsa.

(5) La risposta corretta `e b . Infatti, osserviamo innanzitutto che x cos x ≥ 0 per ogni x ∈ [0,^π₂] ∪ [−π, −^π₂] mentre x cos x ≤ 0 per ogni x ∈ [^π₂, π] ∪ [−^π₂, 0], l’area cercata sar`a quindi data da

A = Z π

−π

|x cos x| dx = Z −^π₂

−π

x cos x dx − Z 0

−^π₂

x cos x dx + Z ^π₂

0

x cos x dx − Z π

π 2

x cos x dx

Integrando per parti otteniamo Z

x cos x dx = x sin x − Z

sin x dx = x sin x + cos x + c, c ∈ R

(19)

e dunque dalla formula fondamentale del calcolo possiamo concludere che A = [x sin x + cos x]⁻

π 2

−π − [x sin x + cos x]⁰₋π

2 + [x sin x + cos x]

π 2

0 − [x sin x + cos x]^ππ 2

= (^π₂ + 1) − (1 −^π₂) + (^π₂ − 1) − (−1 − ^π₂) = 2π

Nota: Dato che |x cos x| `e funzione pari, i conti potevano semplificarsi osservato che

A = Z π

−π

|x cos x| dx = 2 Z π

0

|x cos x| dx = 2(

Z ^π₂

0

x cos x dx − Z π

π 2

x cos x dx)

(6) La risposta corretta `e a . Per determinare l’insieme di convergenza della serie di potenze

+∞

X

n=1

xⁿ 1 −_n²n²

calcoliamo innanzitutto il raggio di convergenza utilizzando il metodo della radice¹. Abbiamo

n→+∞lim

n

r

1 −_n²n²

= lim

n→+∞ 1 − _n²n

= e⁻² dato che per ogni α ∈ R abbiamo che 1 +^α_nn

= e^α. Il raggio di convergenza della serie `e pertanto ρ = e² e quindi che la serie converge per ogni |x| < e² e non converge per |x| > e².

Osserviamo inoltre che per x = e² la serie diviene

+∞

X

n=1

e²ⁿ 1 −²_nn²

e che

(∗) lim

n→+∞e²ⁿ 1 − ²_nn²

= lim

n→+∞e²ⁿ⁺ⁿ²^log(1−ⁿ²⁾ = _e¹2

siccome 2n + n²log(1 − _n²) = 2n + n²(−_n² − _n²2 + o(_n¹2)) = −2 + o(1) → −2 per n → +∞. Dalla condizione necessaria alla convergenza di una serie possiamo concludere che la serie

+∞

X

n=1

e²ⁿ 1 −_n²n²

non converge. Dal precedente limite otteniamo inoltre che non esiste il limite

n→+∞lim (−1)ⁿe²ⁿ 1 − ²_nn²

e pertanto, sempre della condizione necessaria alla convergenza di una serie, possiamo concludere che la serie di potenze data non converge anche per x = −e².

Da quanto trovato possiamo concludere che la serie di potenze converge se e solo se |x| < e² e quindi che l’insieme di convergenza `e l’intervallo (−e², e²).

1Volendo applicare il metodo del rapporto, abbiamo

n→+∞lim

|(1 − _n+1² )⁽ⁿ⁺¹⁾

2

|

|(1 −_n²)ⁿ²|

= lim

n→+∞

e⁽ⁿ⁺¹⁾²^log(1−ⁿ⁺¹² ⁾

eⁿ²^log(1−ⁿ²⁾ = lim

n→+∞e⁽ⁿ⁺¹⁾²^log(1−ⁿ⁺¹² ⁾⁻ⁿ²^log(1−ⁿ²⁾= e⁻² dato che per n → +∞ dallo sviluppo di Taylor del logaritmo si ha

(n + 1)²log(1 −_n+1² ) − n²log(1 −_n²) = (n + 1)²(−_n+1² −_(n+1)² 2 + o(_(n+1)¹ 2)) − n²(−²_n−_n²2 + o(_n¹2))

= −2(n + 1) − 2 + 2n + 2 + o(1) = −2 + o(1) → −2

Nota: per n → +∞ si ha (1 −_n²)ⁿ

2

= (1 −_n²)ⁿⁿ

6∼ e⁻²ⁿma (1 − ²_n)ⁿ

2

∼_e¹2e⁻²ⁿ, vedi (∗)

(20)

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 24 febbraio 2018 – A

(1) Delle soluzioni in campo complesso dell’equazione z²+ (i − 1)z + i = 0 a nessuna appartiene al secondo quadrante

c una appartiene all’asse reale

b una appartiene al quarto quadrante d nessuna delle precedenti

(per rispondere alla domanda `e sufficiente valutare il segno della parte reale e immaginaria delle soluzioni)

(2) La successione a_n = (2n)^αn

n³ · n! per n → +∞

a converge per ogni α ≤ 1 c diverge per ogni α > 0

b converge se e solo se α = 1 d nessuna delle precedenti

(e^{x cos x}−cosh x+α sin²x

x se x > 0

(1 + 3x²)^β se x ≤ 0 nel punto x₀ = 0 a `e continua ma non derivabile per ogni α, β ∈ R

c `e derivabile solo per α = 6β

b `e continua solo per α = 0 d nessuna delle precedenti (4) Il volume massimo di un cono circolare retto inscritto in una sfera di raggio 3 `e

a maggiore di 10π c minore di 2π

b compreso tra 8π e 10π d nessuna delle precedenti

(si ricorda che il volume di un cono di raggio r e altezza h `e ^π₃r²h)

9

√ 1

x³(x − 4)dx vale a +∞

c ¹₄log 5 − ¹₃

b ^√¹

3

(6) La serie

+∞

X

n=1

3ⁿ

1

1 − ₃¹n

− e³ⁿ^α

converge

a per ogni α > 0 c solo per α = 1

b per nessun α ∈ R